Modellering med prosentvis vekst

Vanligvis vil renta endre seg noe i løpet av 6 år, men her regner vi med at renta er lik alle de 6 årene. Det innestående beløpet øker da med 5,5 prosent for hvert år. Da er det lurt å bruke vekstfaktoren, for da multipliserer vi bare arven med vekstfaktoren 6 ganger, som er det samme som å multiplisere med vekstfaktoren opphøyd i 6.

Innestående beløp blir 68 942 kroner.

Innestående beløp, $B$, er en funksjon av antall år $$ x$$ beløpet står inne i banken, og funksjonsuttrykket blir

$$ B\left(x\right)=50 000·1,{055}^x$$

Funksjonen kalles en eksponentialfunksjon siden variabelen $$ x$$ opptrer som eksponent i en potens.

Vi skriver inn funksjonsuttrykket i algebrafeltet, og for å få riktig navn på funksjonen, skriver vi  B(x)=50000·1.055^x. Så skriver vi inn  y=75000  for å få den vannrette linja. Vi finner skjæringspunktet mellom linja og grafen med verktøyet "Skjæring mellom to objekt".

Fra $$ y$$-koordinaten til skjæringspunktet får vi at det tar cirka 7,5 år før pengene har vokst til 75 000 kroner.

Matematisk betyr oppgaven at vi ønsker å finne ut når funksjonen $$ B$$ har verdien 75 000. Dette gir oss likningen

$$ B\left(x\right)=75 000$$

Denne løser vi direkte i CAS. Siden vi har kalt funksjonen $$ B\left(x\right)$$ i GeoGebra, kan vi referere direkte til den i CAS-feltet.

Vi får det samme svaret som ved grafisk løsning.

Siden $$ B\left(x\right)$$ er en eksponentialfunksjon, kalles likningen vi løser for en eksponentiallikning.

Siden pengene vokser eksponentielt, kan vi prøve å finne en eksponentialfunksjon som passer best mulig med tallene i tabellen over. Dette gjør vi med regresjon, og vi bruker et verktøy som GeoGebra.

Vi sier at den eksponentialfunksjonen vi kommer fram til, er en modell for sparingen.

1. Vi skriver tallene i tabellen inn i regnearkdelen i GeoGebra.

2. Vi markerer tallene.

3. Så åpner vi regresjonsanalyseverktøyet og velger regresjonsmodellen "Eksponentiell". Da lager GeoGebra den eksponentialfunksjonen som passer best med tallene.

4. Vi velger "Kopier til grafikkfeltet" for å få eksponentialfunksjonen over i grafikkfeltet i GeoGebra (og i algebrafeltet).

Funksjonen $$ B\left(x\right)$$ gir oss svaret. Når sparingen starter, er  $$ x=0$$. Det betyr at vi må finne $$ B\left(0\right)$$. Det kan vi gjøre grafisk og med CAS, men her er det enkelt å finne svaret for hånd siden vi skal sette inn tallet 0 i funksjonen.

$$ B\left(0\right)=50 487,672·1,{059}^0=50 488$$

Etter modellen satte du inn 50 488 kroner da du startet sparingen.

Stikkordet her er vekstfaktor.

Vi leser av vekstfaktoren som grunntallet 1,059 i potensen i eksponentialfunksjonen. Det betyr at den gjennomsnittlige årlige veksten, det vil si renta, har vært på 5,9 prosent.

Vi kan vise dette ved å sette opp uttrykket for vekstfaktoren, som gir likningen

$$ 1+\frac{x}{100}=1,059$$

Likningen løser vi ved regning for hånd eller med CAS. Nedenfor har vi løst likningen med CAS.