Rasjonale uttrykk som inneholder tredjegradspolynomer

Telleren kan faktoriseres ved å sette felles faktor utenfor.

$\frac{x^3-4x^2}{x^2+6x-40}=\frac{x^2(x-4)}{x^2+6x-40}$

Vi ser på nevneren $x^2+6x-40$ og bruker abc-formelen eller "stirremetoden" (ser etter hvilke to tall som til sammen danner sum$=6$ og produkt$=-40$) og faktoriserer nevneren: $x^2+6x-40 =(x-4)(x+10).$

Uttrykket er nå lik

$\frac{x^2(x-4)}{x^2+6x-40}=\frac{x^2\cancel{(x-4)}}{\cancel{(x-4)}(x+10)}=\frac{x^2}{(x+10)}$

Vi undersøker om telleren er delelig med $x-3$. Hvis telleren er delelig med $$ (x-3)$$, vil polynomet $x^3-4x^2+9$ være lik 0 når $$ x=3$$. Vi setter inn $$ x=3$$ og regner ut: $3^3-4·3^2+9=27-36+9=0$

Svaret ble 0, og polynomdivisjonen vil gå opp.

$\begin{array}{ccccccccccccccccccc}& x^3& -& 4& x^2& +& 0& x& +& 9& )& :& (& x& -& 3& )& = & x^2-x-3 \\ -(& x^3& -& 3& x^2& )& & & & & & & & & & & & & \\ & & & -& x^2& +& 0& x& +& 9& & & & & & & & & \\ & -& (& -& x^2& +& 3& x& )& & & & & & & & & & \\ & & & & & -& 3& x& +& 9& & & & & & & & & \\ & & & & -(& -& 3& x& +& 9& )& & & & & & & & \\ & & & & & & & & & 0& & & & & & & & & \end{array}$

Vi får

$\frac{x^3-4x^2+9}{x-3}=x^2-x-3$

Vi faktoriserer nevneren $2x^2-4x=2x(x-2).$ Vi sjekker først om telleren kan deles på en av faktorene i nevneren. Vi ser at telleren ikke kan blir 0 ved å sette inn $x=0$, så eneste mulighet for forkorting er faktoren $(x-2).$ Hvis telleren er delelig med $(x-2)$, så vil telleren bli 0 når vi setter inn $x=2$:

$3·2^3-5·2^2-4=24-20-4=0$

Da vet vi at polynomdivisjonen vil "gå opp".

$$ \begin{array}{ccccccccccccccccccc}& (3x^3& -& 5& x^2& -& 0& x& -& 4& )& :& (& x& -& 2& )& = & 3x^2+x+2\\ -(& 3x^3& -& 6& x^2& )& & & & & & & & & & & & & \\ & & & & x^2& -& 0& x& -& 4& & & & & & & & & \\ & & & -(& x^2& -& 2& x& )& & & & & & & & & & \\ & & & & & & 2& x& -& 4& & & & & & & & & \\ & & & & -& (& 2& x& -& 4& )& & & & & & & & \\ & & & & & & & & & 0& & & & & & & & & \end{array}$$

Vi har faktorisert tredjegradspolynomet i telleren og funnet at $3x^3-5x^2-4=(x-2)(3x^2+x+2)$. Vi kan nå forkorte brøken.

$\frac{3x^3-5x^2-4}{2x^2-4x}=\frac{(x-2)(3x^2+x+2)}{2x\left(x-2\right)}=\frac{3x^2+x+2}{2x}$

(Hvorfor prøvde vi ikke å faktorisere uttrykket $3x^2+x+2$ videre?)

Nevneren kan faktoriseres ved hjelp av konjugatsetningen.

$x^2-9=(x-3)(x+3)$

$\frac{x^3+x^2-9x-9}{x^2-9}=\frac{x^3+x^2-9x-9}{(x-3)(x+3)}$

Vi sjekker om telleren kan deles på en av faktorene i nevneren. Vi prøver $(x-3)$:

$3^3+3^2-9·3-9=27+9-27-9=0$

Da vet vi at polynomdivisjonen vil gå opp:

$$ \begin{array}{ccccccccccccccccccc}& (x^3& +& & x^2& -& 9x& -9)& :& \begin{array}{ccccc}(& x& -& 3& )\end{array}& =& x^2+4x+3& & & & & & & \\ -(& x^3& -& 3& x^2& )& & & & & & & & & & & & & \\ & & & 4& x^2& -& 9& x-9& & & & & & & & & & & \\ & -& (& 4& x^2& -& 12x& )& & & & & & & & & & & \\ & & & & & & 3x& -& 9& & & & & & & & & & \\ & & & & & -(& 3x& -& 9)& & & & & & & & & & \\ & & & & & & & 0& & & & & & & & & & & \end{array}$$

Nå har vi $\frac{x^3+x^2-9x-9}{x^2-9}=\frac{(x-3)(x^2+4x+3)}{(x-3)(x+3)}$.

Vi bruker abc-formelen eller "stirremetoden" for å faktorisere $x^2+4x+3$.$$ x^2+4x+3=(x+1)(x+3)$$

Vi kan nå forkorte brøken: $\frac{x^3+x^2-9x-9}{x^2-9}=\frac{\cancel{(x-3)}\cancel{(x+3)}(x+1)}{\cancel{(x-3)}\cancel{(x+3)}}=x+1$