Fagartikkel

Regning med vektorer på koordinatform

Koordinatform gjør det lettere å regne med vektorer.

Sum av vektorer på pilform tegnet i et koordinatsystem. p-vektor er ett skritt til høyre og to skritt opp. Minus q-vektor er tre skritt til venstre og ett skritt ned. Vektorsummen er p-vektor pluss q-vektor og er fire skritt til høyre og tre skritt opp. Skjermutklipp. — Bilde: Tove Annette Holter / CC BY-SA 4.0

Gitt vektorene

$\vec{p} = [1, 2] og \vec{q} = [3, 1]$

Vi ser av tegningen at

$\vec{p} + \vec{q} = [4, 3]$

Vi har altså at

$[1, 2] + [3, 1] = [4, 3]$

CAS-utregning i GeoGebra. I linje 1 står det a kolon er lik parentes 1 komma 2 parentes slutt. I linje 2 står det b kolon er lik parentes 3 komma 1 parentes slutt. I linje 3 står det w kolon er lik a pluss b. Svaret er gitt som parentes 4 over 3 parentes slutt. Skjermutklipp. — Bilde: Tove Annette Holter / CC BY-SA 4.0

Med CAS i GeoGebra kan du legge sammen to vektorer $\vec{a}$ og $\vec{b}$ ved først å definere de to i CAS.

Ser du sammenhengen?

$[1, 2] + [3, 1] = [1 + 3, 2 + 1] = [4, 3]$

Vi finner summen av to vektorer på koordinatform ved å addere førstekoordinatene og andrekoordinatene hver for seg.

Vi kan vise at denne setningen er riktig ved å skrive vektorene som en sum av enhetsvektorer.

$\begin{array}{rcl} [x_{1}, y_{1}] + [x_{2}, y_{2}] & = & (x_{1} \cdot \vec{e_{x}} + y_{1} \cdot \vec{e_{y}}) + (x_{2} \cdot \vec{e_{x}} + y_{2} \cdot \vec{e_{y}}) \\ = & x_{1} \cdot \vec{e_{x}} + x_{2} \cdot \vec{e_{x}} + y_{1} \cdot \vec{e_{y}} + y_{2} \cdot \vec{e_{y}} \\ = & (x_{1} + x_{2}) \cdot \vec{e_{x}} + (y_{1} + y_{2}) \cdot \vec{e_{y}} \\ = & [x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2}] \end{array}$

Subtraksjon av vektorer på koordinatform

Vi husker at å trekke en vektor fra en annen er det samme som å addere den negative vektoren som på denne måten:

$\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (- \vec{b})$

Da kommer det kanskje heller ikke som en overraskelse at vi finner differansen mellom to vektorer slik som dette:

Differanse mellom vektorer på pilform tegnet i et koordinatsystem. p-vektor er ett skritt til høyre og to skritt opp. Minus q-vektor er tre skritt til venstre og ett skritt ned. Vektorsummen er p-vektor minus q-vektor og er to skritt til venstre og ett skritt opp. Skjermutklipp. — Bilde: Tove Annette Holter / CC BY-SA 4.0

Gitt vektorene

$\vec{p} = [1, 2] og \vec{q} = [3, 1]$

Vi ser at

$\vec{p} - \vec{q} = [- 2, 1]$

Vi har altså at

$[1, 2] - [3, 1] = [- 2, 1]$

Du ser sikkert sammenhengen her?

$[1, 2] - [3, 1] = [1 - 3, 2 - 1] = [- 2, 1]$

Vi finner differansen mellom to vektorer på koordinatform ved å subtrahere førstekoordinatene og andrekoordinatene hver for seg.

$[x_{1}, y_{1}] - [x_{2}, y_{2}] = [x_{1} - x_{2}, y_{1} - y_{2}]$

Vi kan, på samme måte som ved addisjon, vise at denne setningen er riktig ved å skrive vektorene som en sum av enhetsvektorer.

$\begin{array}{rcl} [x_{1}, y_{1}] - [x_{2}, y_{2}] & = & (x_{1} \cdot \vec{e_{x}} + y_{1} \cdot \vec{e_{y}}) - (x_{2} \cdot \vec{e_{x}} + y_{2} \cdot \vec{e_{y}}) \\ = & x_{1} \cdot \vec{e_{x}} - x_{2} \cdot \vec{e_{x}} + y_{1} \cdot \vec{e_{y}} - y_{2} \cdot \vec{e_{y}} \\ = & (x_{1} - x_{2}) \cdot \vec{e_{x}} + (y_{1} - y_{2}) \cdot \vec{e_{y}} \\ = & [x_{1} - x_{2}, y_{1} - y_{2}] \end{array}$

Multiplikasjon av vektor med tall

Vi multipliserer en vektor på koordinatform med et tall ved å multiplisere begge vektorkoordinatene med tallet.

Vektorer på pilform tegnet i et koordinatsystem. p-vektor er ett skritt til høyre og to skritt opp. 2p-vektor er to skritt til høyre og fire skritt opp. Skjermutklipp. — Bilde: Tove Annette Holter / CC BY-SA 4.0

Gitt vektoren

$\vec{p} = [1, 2]$

Vi ser av figuren at

$2 \cdot \vec{p} = [2, 4]$

Vi har altså at

$2 \cdot [1, 2] = [2 \cdot 1, 2 \cdot 2] = [2, 4]$

Multiplikasjon av vektor med tall i CAS i GeoGebra. I linje 1 står det a kolon er lik parentes 1 komma 2. I linje 2 står det 2 multiplisert med a. Svaret er gitt som parentes 2 over 4 parentes slutt. Skjermutklipp. — Bilde: Tove Annette Holter / CC BY-SA 4.0

Med CAS i GeoGebra får vi det samme resultatet. Vi minner om at det er viktig å definere vektoren for å kunne regne videre med den, og at den lille bokstaven a gjør at CAS tolker dette som en vektor.

Vi multipliserer en vektor med et tall ved å multiplisere begge vektorkoordinatene med tallet.

$t \cdot [x, y] = [t \cdot x, t \cdot y]$

Vi kan igjen vise at denne setningen er riktig ved å skrive vektorene som en sum av enhetsvektorer.

$\begin{array}{rcl} t \cdot [x, y] & = & t \cdot (x \cdot \vec{e_{x}} + y \cdot \vec{e_{y}}) \\ = & (t \cdot x \cdot \vec{e_{x}} + t \cdot y \cdot \vec{e_{y}}) \\ = & [t \cdot x, t \cdot y] \end{array}$

Videoer om regning med vektorer på koordinatform

Addisjon

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-NC-SA 4.0

Subtraksjon

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0

Multiplikasjon

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0