Dekomponering av vektorer

Når vi finner koordinatformen til en vektor, bruker vi enhetsvektorene. Av figuren ser vi at

$$ \overrightarrow{a}=\overrightarrow{a_x}+\overrightarrow{a_y}$$

Vi sier at vi har dekomponert $$ \overrightarrow{a}$$ i vektorkomponentene $$ \overrightarrow{a_x}$$ og $$ \overrightarrow{a_y}$$.

På koordinatform kan vi skrive

$$ $ \begin{array}{rcl}\overrightarrow{a} & =& \overrightarrow{a_x}+\overrightarrow{a_y}\\ \left[5, 3\right] & =& \left[5, 0\right]+\left[0, 3\right]\end{array}$$$

Vi har tidligere skrevet dette som $$ \overrightarrow{a}=5\overrightarrow{e_x}+3\overrightarrow{e_y}$$.

Vi kan bruke hvilke vektorer vi vil til å dekomponere en vektor. Det vil si at hvis vi har en vektor $$ \overrightarrow{u}$$ og to andre vektorer $$ \overrightarrow{a}$$ og $$ \overrightarrow{b}$$, der $$ \overrightarrow{a}\nparallel \overrightarrow{b}$$ , kan vi alltid skrive $$ \overrightarrow{u}$$ som en sum av vektorer som er multipler av $$ \overrightarrow{a}$$ og $$ \overrightarrow{b}$$.

Vi ser på den samme vektoren som over. På bildet til høyre har vi at

$$ \begin{array}{rcl}\overrightarrow{u} & =& [5,3]\\ \overrightarrow{a} & =& [1,2]\\ \overrightarrow{b} & =& [3,-1]\\ & & \end{array}$$

Her ser vi at vi har funnet veien fra startpunktet til $$ \overrightarrow{u}$$ til endepunktet til $$ \overrightarrow{u}$$ ved å legge sammen $$ 2\overrightarrow{a}$$ og $$ 1\overrightarrow{b}$$. Vi har altså at $$ \begin{array}{rcl}& & \overrightarrow{u}\end{array}=2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$$.

Prøv om du kan dekomponere u hvis vi bruker disse vektorene:

$$ \overrightarrow{a}=[3,2], \overrightarrow{b}=[6,3]$$