Omdreiningstall, utveksling og hastighet

I formelen  $$ i=\frac{n_1}{n_2}$$  må vi ha at  $$ n_1=2 000 \mathrm{omdr}/\min $$  siden den drivende sida har dette omdreiningstallet. Utvekslingen er

$$ $ i=\frac{n_1}{n_2}$=\frac{2 000 \mathrm{omdr}/\min }{1 400 \mathrm{omdr}/\min }\hspace{0.17em}=\frac{20}{14}=\frac{10}{7}=1,43$$

(Her har vi vist hvordan vi kan forkorte ned brøken $$ \frac{2 000}{1 400}$$, men vi må ikke gjøre det for å regne ut svaret.)

Vi kan snu på formelen i oppgave a) slik vi har gjort på sida Utveksling og omdreiningstall (ndla.no). Da får vi

$$ n_2=\frac{n_1}{i}=\frac{2 500 \mathrm{omdr}/\min }{1,43}=1 748,3 \mathrm{omdr}/\min $$

For å få mest mulig eksakt svar bruker vi heller brøken $$ \frac{10}{7}$$ fra oppgave a) som mål på utvekslingen. Da får vi

$$ \begin{array}{rcl}$ n_2 $ & =& \frac{n_1}{i}\\ & =& \frac{2 500 \mathrm{omdr}/\min }{{\displaystyle \frac{10}{7}}}\\ & =& 2 500 \mathrm{omdr}/\min :\frac{10}{7}\\ & =& 2 500 \mathrm{omdr}/\min ·\frac{7}{10}\\ & =& 1 750 \mathrm{omdr}/\min \end{array}$$

Her fikk vi et pent og eksakt tall som svar. Legg også merke til at vi fikk bruk for regelen om at når vi deler på en brøk, er det det samme som å multiplisere med den omsnudde brøken.

Vi kan uttrykke utvekslingen som

$$ i=\frac{Z_2}{Z_1}$$

Det betyr at vi har at  $$ Z_1=14$$. Hvis vi snur på formelen, får vi

$$ \begin{array}{rcl}i & =& \frac{Z_2}{Z_1}\\ i·Z_1 & =& \frac{Z_2}{\cancel{Z_1}}·\cancel{Z_1}\\ Z_2 & =& i·Z_1=\frac{10}{7}·14=\frac{10·14}{7}=20\end{array}$$

Dersom vi regner ut svaret med å bruke at  $$ i=1,43$$, får vi et desimaltall til svar, og et tannhjul må ha et helt antall tenner.

Går det an å finne svaret direkte ved å se på opplysningene øverst i oppgaven?

Vi har at utvekslingen  $$ i=\frac{10}{7}$$, og vi har fra den forrige oppgaven at kombinasjonen av tannhjul med 20 og 14 tenner gir den samme utvekslingen. Vi så i oppgave a) at brøken $$ \frac{20}{14}$$ kunne forkortes ned til $$ \frac{10}{7}$$. Det må bety at en utveksling med tannhjul med 10 og 7 tenner også gir den samme utvekslingen.

Telleren i brøkene vil stå for antall tenner på det drevne tannhjulet, og nevneren vil stå for antall tenner i det drivende tannhjulet. Hvis du kan finne andre brøker som har den samme verdien, har du samtidig nye kombinasjoner av tannhjul som gir den samme utvekslingen.

Det må du finne selv!

a) Tannhjulet til venstre har 14 tenner, det til høyre har 28 tenner. I formelen  $$ i=\frac{Z_2}{Z_1}$$  får vi at $$ Z_1=14$$ siden dette tannhjulet er drivende. Utvekslingen blir

$$ $ i=\frac{Z_2}{Z_1}$=\frac{28}{14}=2$$

b) Her blir det motsatt av i oppgave a). Da får vi at

$$ i=\frac{14}{28}=\frac{1}{2}$$

Hvis vi multipliserer svarene i a) og b), får vi

$$ 2·\frac{1}{2}=\frac{2·1}{2}=1$$

Det vil alltid bli slik fordi vi regner ut svaret i b) ved å snu på brøken i forhold til utregningen i a).

Vi får utvekslingen $$ \frac{a}{b}$$ den ene veien og $$ \frac{b}{a}$$ den andre veien. Dersom vi multipliserer disse brøkene, får vi

$$ \frac{a}{b}·\frac{b}{a}=\frac{a·b}{b·a}=\frac{ab}{ab}=1$$

$$ i=3$$

$$ i=\frac{1}{3}$$

$$ i=1$$

$$ i=1$$

Tannhjulene har 14, 28 og 42 tenner. Utvekslingen $$ i_a$$ mellom det første og det andre tannhjulet blir

$$ i_a=\frac{28}{14}=2$$

Utvekslingen $$ i_b=\frac{42}{28}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$$.

Den totale utvekslingen får vi ved å multiplisere disse to utvekslingene.

$$ i=i_a·i_b=2·\frac{3}{2}=\frac{2·3}{2}=3$$

Her kan vi bruke resultatet fra oppgave 2 c), som sier at hvis vi multipliserer utvekslingen fra den ene sida til den andre med utvekslingen når vi går motsatt vei, får vi alltid resultatet 1. Det betyr at

$$ i=\frac{1}{3}$$

Hvis vi sammenlikner med løsningen i oppgave a), får vi

$$ i_a=\frac{Z_2}{Z_1}$$  og  $$ i_b=\frac{Z_3}{Z_2}$$

Den totale utvekslingen blir

$$ i=i_a·i_b=\frac{Z_2}{Z_1}·\frac{Z_3}{Z_2}=\frac{\cancel{Z_2}·Z_3}{Z_1·\cancel{Z_2}}=\frac{Z_3}{Z_1}$$

Antall tenner $$ Z_2$$ på tannhjulet i midten er ikke med i formelen. Formelen er uavhengig av størrelsen på tannhjulet i midten. Det betyr at vi får den samme totale utvekslingen $$ i$$ uansett størrelse på dette tannhjulet. Vi får også den samme totale utvekslingen om vi kobler det første tannhjulet direkte på det tredje og ikke har noe tannhjul i midten.

Hva er da poenget med å sette inn et tannhjul i midten?

Utvekslingen er

$$ i=\frac{n_1}{n_2}=\frac{3 000 \mathrm{omdr}/\min }{2 000 \mathrm{omdr}/\min }=\frac{3}{2}$$

Vi har at  $$ i=\frac{Z_2}{Z_1}$$. Vi snur på formelen og får at antall tenner $$ Z_2$$ på det drevne tannhjulet blir

 $$ \begin{array}{rcl}i & =& \frac{Z_2}{Z_1}\\ i·Z_1 & =& \frac{Z_2}{\cancel{Z_1}}·\cancel{Z_1}\\ Z_2 & =& i·Z_1=\frac{3}{2}·24=\frac{3·24}{2}=36\end{array}$$

Tannhjulet med 24 tenner kan både være det drivende og det drevne tannhjulet. I oppgave b) er det det drivende tannhjulet. Dersom tannhjulet er det drevne tannhjulet, får vi at antall tenner $$ Z_1$$ på det drivende tannhjulet blir

$$ $ \begin{array}{rcl}i & =& \frac{Z_2}{Z_1}\\ i·Z_1 & =& \frac{Z_2}{\cancel{Z_1}}·\cancel{Z_1}\\ \frac{\cancel{i}·Z_1}{\cancel{i}} & =& \frac{Z_2}{i}\\ Z_1 & =& \frac{Z_2}{i}=\frac{24}{{\displaystyle \frac{3}{2}}}=24:\frac{3}{2}=24·\frac{2}{3}=\frac{24·2}{3}=16\\ & & \end{array}$$$

Gjennomfør utregningene i oppgave b) og c), og forklar hva svarene betyr.

$$ \begin{array}{rcl}v & =& \frac{n·O·3,6}{i_t·60}\\ & =& \frac{8 200·1,76·3,6}{0,78·60} \mathrm{km}/\mathrm{h}\\ & =& 1 110 \mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Du synes kanskje den teoretiske toppfarten var unødig høy på denne bilen? Det kan jo være kjekt med en lav utveksling for å få et behagelig lavt turtall og drivstofforbruk på en motorvei, men om bilen skal brukes på en bane, er det kanskje fornuftig å sette inn en høyere utveksling i girkassen og/eller bakakselen.

Hvorfor vil (mest sannsynlig) bilen ikke gå så fort uansett?

$$ $ \begin{array}{rcl}v & =& \frac{n·O·3,6}{i_t·60}\\ & =& \frac{4 000·1,688·3,6}{1,28·4,125·60} \mathrm{km}/\mathrm{h}\\ & =& 77 \mathrm{km}/\mathrm{h}\\ & & \end{array}$$$

Farten til bilen er 77 km/h. Dette kan også regnes med CAS:

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Bjarne Skurdal

Rett etter giringen har bilen fortsatt den samme hastigheten. Da kan vi sette opp en likning som vi kan løse med CAS.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Bjarne Skurdal

Motorens omdreiningstall blir 3 125 omdr/min rett etter giring.

De grafiske framstillingene lages i et koordinatsystem der omdreiningstallet $$ n$$ til motoren er på $$ x$$-aksen, og der hastigheten $$ v$$ til bilen er på $$ y$$-aksen. Tegn helst for hånd, eller bruk GeoGebra eller et regneark.

Lag en verditabell med minst 3 samhørende verdier av $$ n$$ og $$ v$$, én verditabell for tredje gir og én verditabell for fjerde gir. Nedenfor har vi begynt å fylle ut verditabellen for tredje gir med tall vi vet fra oppgave a).

Verditabell for tredje gir:

2 686 omdr/min

Bruk at

• $$ 1 \mathrm{m}=0,001 \mathrm{km}$$

• $$ 1 \mathrm{s}=\frac{1}{60} \min =\frac{1}{3 600} \mathrm{h}$$

Vi sier at farten er $$ v \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$$. Så bruker vi informasjonen fra boksen "Tips til oppgaven".

$$ \begin{array}{rcl}v \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} & =& v·\frac{0,001 \mathrm{km}}{{\displaystyle \frac{1}{3 600}} \mathrm{h}}\\ & =& v·0,001:\frac{1}{3 600}\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\\ & =& v·0,001·\frac{3 600}{1} \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\\ & =& v·3,6 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\end{array}$$

Vi kan også vise dette med CAS i GeoGebra.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Bjarne Skurdal

Legg merke til at GeoGebra velger å sette "km" foran brøken i stedet for "v". Det er fordi GeoGebra ikke vet hva som er en størrelse, og hva som er en måleenhet av de tre "konstantene" i utregningen: v, km og h.

Svaret betyr altså at vi må multiplisere hastigheten $$ v$$, som måles i m/s, med tallet 3,6 for å få den regnet om til km/h.