Rasjonale ulikheter

Telleren er null når $x-1=0$, det vil si når $x=1$.

Nevneren er null når $2x+1=0$, det vil si når $x=-\frac{1}{2}$.

Det er bare for disse verdiene av $x$ at brøken kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøver for $x$-verdier i intervallene $⟨\leftarrow , -\frac{1}{2}⟩$, $⟨-\frac{1}{2}, 1⟩$ og $⟨1, \to ⟩$.

For $x=-1$ får vi $\frac{-1-1}{2·\left(-1\right)+1}=\frac{\left(-2\right)}{\left(-1\right)}$. Uttrykket er positivt.

For $x=0$ får vi $\frac{0-1}{2·0+1}=\frac{\left(-1\right)}{1}$. Uttrykket er negativt.

For $x=2$ får vi $\frac{2-1}{2·2+1}=\frac{1}{5}$. Uttrykket er positivt.

Vi kan nå sette opp fortegnsskjema for brøken $\frac{x-1}{2x+1}$.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen

NB: Legg merke til at brøken $\frac{x-1}{2x+1}$ ikke er definert for $x=-\frac{1}{2}$.

Oppgaven vår var å finne ut for hvilke verdier av $x$ det stemte at brøken $\frac{x-1}{2x+1}$ er mindre enn null. Det er når

$x\in ⟨-\frac{1}{2}, 1⟩$

Løsning med CAS:

$$ \begin{array}{c}\begin{array}{c}\boxed{\begin{array}{ccl}& & \frac{\text{x}-1}{2\text{x}+1}<0\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{Løs}: \left\{-\frac{1}{2}<\text{x}<1\right\}\end{array}}\begin{array}{c}\\ \\ \end{array}\end{array}\end{array}$$

Først må vi samle alt i én brøk for å få null på høyre side.

$\begin{array}{rcl}\frac{x+1}{x-1}-2& > & 0\\ & & \\ \frac{x+1}{x-1}-\frac{2\left(x-1\right)}{x-1}& >& 0\\ & & \\ \frac{x+1-2x+2}{x-1}& >& 0\\ & & \\ \frac{-x+3}{x-1}& >& 0\end{array}$

Telleren er null når$-x+3=0$, det vil si når $x=3$.

Nevneren er null når $x-1=0$, det vil si når $x=1$.

Det er bare for disse verdiene av $x$ at brøken kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøver for $x$-verdier i intervallene $⟨\leftarrow , 1⟩$, $⟨1, 3⟩$ og $⟨3, \to ⟩$.

For $x=0$ får vi $\frac{0+3}{0-1}=\frac{3}{\left(-1\right)}$. Uttrykket er negativt.

For $x=2$ får vi $\frac{-2+3}{2-1}=\frac{1}{1}$. Uttrykket er positivt.

For $x=4$ får vi $\frac{-4+3}{4-1}=\frac{\left(-1\right)}{3}$. Uttrykket er negativt.

Vi kan nå sette opp fortegnsskjema for brøken $\frac{-x+3}{x-1}$.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen

NB: Legg merke til at brøken $\frac{-x+3}{x-1}$ ikke er definert for $x=1$.

Oppgaven vår var å finne ut for hvilke verdier av $x$ det stemte at

$\frac{x+1}{x-1}>2$. Det er når $\frac{-x+3}{x-1}>0$, og det er når

$x\in ⟨1, 3⟩$

Løsning med CAS:

$$ \begin{array}{c}\begin{array}{c}\boxed{\begin{array}{ccl}& & \frac{\text{x}+1}{\text{x}-1}>2\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{Løs}: \left\{1<\text{x}<3\right\}\end{array}}\begin{array}{c}\\ \\ \end{array}\end{array}\end{array}$$

Først må vi samle alt i én brøk for å få null på høyre side.

$\begin{array}{rcl}\frac{2x-2}{x-1}-1& \le & 0\\ & & \\ \frac{2x-2}{x-1}-\frac{x-1}{x-1}& \le & 0\\ & & \\ \frac{2x-2-x+1}{x-1}& \le & 0\\ & & \\ \frac{x-1}{x-1}& \le & 0\end{array}$

Både telleren og nevneren er null når $x-1=0$, det vil si når $x=1$.

Det er bare for denne verdien av $x$ at brøken kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøver for $x$-verdier i intervallene $⟨\leftarrow , 1⟩$ og $⟨1, \to ⟩$.

For $x=0$ får vi $\frac{0-1}{0-1}=\frac{\left(-1\right)}{\left(-1\right)}$. Uttrykket er positivt.

For $x=2$ får vi $\frac{2-1}{2-1}=\frac{1}{1}$. Uttrykket er positivt.

Vi kan nå sette opp fortegnsskjema for brøken $\frac{x-1}{x-1}$.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen

NB: Legg merke til at brøken $\frac{x-1}{x-1}$ ikke er definert for $x=1$.

Oppgaven vår var å finne ut for hvilke verdier av $x$ det stemte at $\frac{2x-2}{x-1}\le 1$. Det er når $\frac{x-1}{x-1}\le 0$, og det skjer aldri.

Ulikheten har ingen løsning.

Løsning med CAS:

$$ \begin{array}{c}\begin{array}{c}\boxed{\begin{array}{ccl}& & \frac{2\text{x}-2}{\text{x}-1}\le 1\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{Løs}: \left\{\right\}\end{array}}\begin{array}{c}\\ \\ \end{array}\end{array}\end{array}$$

Kommentar: Dette går det an å finne ut uten å tegne fortegnsskjema. Siden det står det samme i teller og nevner, kan brøken aldri få en annen verdi enn 1, ogg 1 er ikke mindre enn null.

Først må vi samle alt i én brøk for å få null på høyre side.

$\begin{array}{rcc}\frac{2x-2}{x-1}-2& \ge & 0\\ & & \\ \frac{2x-2}{x-1}-\frac{2\left(x-1\right)}{x-1}& \ge & 0\\ & & \\ \frac{2x-2-2x+2}{x-1}& \ge & 0\\ & & \\ \frac{0}{x-1}& \ge & 0\end{array}$

Telleren er alltid null.

Nevneren er null når $x-1=0$, det vil si når $x=1$.

Brøken $\frac{0}{x-1}$ er ikke definert for $x=1$. Ellers har den verdien null, og null er alltid større eller lik null. Ulikheten stemmer derfor for alle verdier av $x$ unntatt for $x=1$. Vi får

$\mathrm{L}=\mathrm{ℝ}\backslash \left\{1\right\}$

Løsning med CAS:

$$ \begin{array}{c}\begin{array}{c}\boxed{\begin{array}{ccl}& & \frac{2\text{x}-2}{\text{x}-1}\ge 2\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{Løs}: \left\{\text{x=x}\right\}\end{array}}\begin{array}{c}\\ \\ \end{array}\end{array}\end{array}$$

I skrivende stund ser det ikke ut som om GeoGebra håndterer denne spesielle ulikheten særlig godt.

Vi ordner først ulikheten slik at vi får 0 på høyre side. Så finner vi nullpunktene til telleren og nevneren.

$\begin{array}{rcc}\frac{x-1}{x+2}-\left(x+1\right)& < & 0\\ & & \\ \frac{x-1}{x+2}-\frac{\left(x+2\right)\left(x+1\right)}{x+2}& <& 0\\ & & \\ \frac{x-1-\left(x^2+3x+2\right)}{x+2}& <& 0\\ & & \\ \frac{-x^2-2x-3}{x+2}& <& 0\end{array}$

Vi må se når telleren er null. Vi kan for eksempel prøve å faktorisere ved å danne et fullstendig kvadrat. Vi får

$\begin{array}{rcl}-x^2-2x-3& = & -\left(x^2+2x+3\right)\\ & & \\ & =& -\left(x^2+2x+1+3-1\right)\\ & & \\ & =& -\left({\left(x+1\right)}^2+2\right)\end{array}$

Det som står inne i parentesen er alltid positivt. Telleren er derfor alltid negativ.

Nevneren er null når $x+2=0$, det vil si når $x=-2$.

Det er bare for denne verdien av $x$ at brøken kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøver for $x$-verdier i intervallene $⟨\leftarrow , -2⟩$ og $⟨-2, \to ⟩$. Vi skriver bare (–) for telleren siden den alltid er negativ.

For $x=-3$ får vi $\frac{\left(-\right)}{-3+2}=\frac{\left(-\right)}{\left(-1\right)}$. Uttrykket er positivt.

For $x=0$ får vi $\frac{\left(-\right)}{0+2}=\frac{\left(-\right)}{2}$. Uttrykket er negativt.

Vi kan nå sette opp fortegnsskjema for brøken $\frac{-x^2-2x-3}{x+2}$.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen

NB: Legg merke til at brøken $\frac{-x^2-2x-3}{x+2}$ ikke er definert for $x=-2$.

Oppgaven vår var å finne ut for hvilke verdier av $x$ det stemte at $\frac{x-1}{x+2}<x+1$. Det er når brøken $\frac{-x^2-2x-3}{x+2}$ er mindre enn null, og det er når

$x\in ⟨-2, \to ⟩$

Løsning med CAS:

$$ \begin{array}{c}\begin{array}{c}\boxed{\begin{array}{ccl}& & \frac{\text{x}-1}{\text{x}+2}<\text{x}+1\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{Løs}: \left\{\text{x}>-2\right\}\end{array}}\end{array}\end{array}$$

Vi ordner først ulikheten slik at vi får 0 på høyre side. Vi finner så nullpunktene til uttrykket på venstre side.

$\begin{array}{rcc}\frac{2x-1}{2+x}-\left(2x-1\right)& < & 0\\ & & \\ \frac{2x-1}{2+x}-\frac{\left(2x-1\right)\left(2+x\right)}{2+x}& <& 0\\ & & \\ \frac{2x-1-\left(4x+2x^2-2-x\right)}{2+x}& <& 0\\ & & \\ \frac{2x-1-4x-2x^2+2+x}{2+x}& <& 0\\ & & \\ \frac{-2x^2-x+1}{2+x}& <& 0\\ & & \\ \frac{-2\left(x^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}{2+x}& <& 0\\ & & \\ \frac{-2\left(x+1\right)\left(x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}{2+x}& <& 0\end{array}$

Telleren er null når $x+1=0$ og når $x-\frac{1}{2}=0$, det vil si når

$x=-1$ og når $x=\frac{1}{2}$.

Nevneren er null når $2+x=0$, det vil si når $x=-2$.

Det er bare for disse verdiene av $x$ at uttrykket kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøver for $x$-verdier i intervallene $⟨\leftarrow , -2⟩$, $⟨-2, -1⟩$, $⟨-1, \frac{1}{2}⟩$ og $⟨\frac{1}{2}, \to ⟩$.

Vi bruker det faktoriserte uttrykket når vi tar stikkprøvene.

For $x=-3$ får vi $\frac{-2\left(-3+1\right)\left(-3-\frac{1}{2}\right)}{2+\left(-3\right)}=\frac{\left(-\right)·\left(-\right)·\left(-\right)}{\left(-\right)}$. Uttrykket er positivt.

For $x=-\frac{3}{2}$ får vi $\frac{-2\left(-\frac{3}{2}+1\right)\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}{2+\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}=\frac{\left(-\right)·\left(-\right)·\left(-\right)}{\left(+\right)}$. Uttrykket er negativt.

For $x=0$ får vi $\frac{-2\left(0+1\right)\left(0-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}{2+0}=\frac{\left(-\right)·\left(+\right)·\left(-\right)}{\left(+\right)}$. Uttrykket er positivt.

For $x=1$ får vi $\frac{-2\left(1+1\right)\left(1-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}{2+1}=\frac{\left(-\right)·\left(+\right)·\left(+\right)}{\left(+\right)}$. Uttrykket er negativt.

Vi kan da sette opp fortegnsskjema for brøken $\frac{-2\left(x+1\right)\left(x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}{2+x}$:

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen

NB: Legg merke til at brøken $\frac{-2\left(x+1\right)\left(x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}{2+x}$ ikke er definert for $x=-2$.

$\frac{2x-1}{2+x}<2x-1$ når $x\in ⟨-2, -1⟩\cup ⟨\frac{1}{2}, \to ⟩$.

Løsning med CAS:

$$ \begin{array}{c}\begin{array}{c}\boxed{\begin{array}{ccl}& & \frac{2\text{x}-1}{2+\text{x}}<2\text{x}-1\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{Løs}: \left\{-2<\text{x}<-1, \text{x}>\frac{1}{2}\right\}\end{array}}\end{array}\end{array}$$

Vi ordner først ulikheten slik at vi får 0 på høyre side. Vi finner så nullpunktene til uttrykket på venstre side.

$\begin{array}{rcc}\frac{2x-1}{3x}-\left(x+2\right)& \ge & 0\\ & & \\ \frac{2x-1}{3x}-\frac{\left(x+2\right)3x}{3x}& \ge & 0\\ & & \\ \frac{2x-1-\left(3x^2+6x\right)}{3x}& \ge & 0\\ & & \\ \frac{2x-1-3x^2-6x}{3x}& \ge & 0\\ & & \\ \frac{-3x^2-4x-1}{3x}& \ge & 0\\ & & \\ \frac{-3\left(x^2+{\displaystyle \frac{4}{3}}x+{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}{3x}& \ge & 0\\ & & \\ \frac{-3\left(x+{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)\left(x+1\right)}{3x}& \ge & 0\end{array}$

Telleren er null når $x+\frac{1}{3}=0$ og når $x+1=0$, det vil si når

$x=-\frac{1}{3}$ og når $x=-1$

Nevneren er null når $3x=0$, det vil si når $x=0$.

Det er bare for disse verdiene av $x$ at uttrykket kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøver for $x$-verdier i intervallene $⟨\leftarrow , -1⟩$, $⟨-1, -\frac{1}{3}⟩$, $⟨-\frac{1}{3}, 0⟩$ og $⟨0, \to ⟩$.

Vi bruker det faktoriserte uttrykket når vi tar stikkprøvene.

For $x=-2$ får vi $\frac{-3\left(-2+{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)\left(-2+1\right)}{3·\left(-2\right)}=\frac{\left(-\right)·\left(-\right)·\left(-\right)}{\left(-\right)}$. Uttrykket er positivt.

For $x=-\frac{1}{2}$ får vi $\frac{-3\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}+1\right)}{3·\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}=\frac{\left(-\right)·\left(-\right)·\left(+\right)}{\left(-\right)}$. Uttrykket er negativt.

For $x=-\frac{1}{4}$ får vi $\frac{-3\left(-{\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)\left(-{\displaystyle \frac{1}{4}}+1\right)}{3·\left(-{\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}=\frac{\left(-\right)·\left(+\right)·\left(+\right)}{\left(-\right)}$. Uttrykket er positivt.

For $x=1$ får vi $\frac{-3\left(1+{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)\left(1+1\right)}{3·1}=\frac{\left(-\right)·\left(+\right)·\left(+\right)}{\left(+\right)}$. Uttrykket er negativt.

Vi kan da sette opp fortegnsskjema for brøken $\frac{-3\left(x+{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)\left(x+1\right)}{3x}$:

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen

NB: Legg merke til at brøken $\frac{-3\left(x+{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)\left(x+1\right)}{3x}$ ikke er definert for $x=0$

$\frac{2x-1}{3x}\ge x+2$ når $x\in ⟨\leftarrow , -1]\cup [-\frac{1}{3}, 0⟩$.

Løsning med CAS:

$$ \begin{array}{c}\begin{array}{c}\boxed{\begin{array}{ccl}& & \frac{2\text{x}-1}{3\text{x}}\ge \text{x}+2\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{Løs}: \left\{\text{x}\le -1, -\frac{1}{3}\le \text{x}<0\right\}\end{array}}\end{array}\end{array}$$

Vi setter $x=1$ inn i telleren og får

$2·1^3+4·1^2-2·1-4=2+4-2-4=0$

Brøken blir dermed lik null for $x=1$.

Vi faktoriserer telleren. $\left(x-1\right)$ er en faktor i telleren, og vi utfører først polynomdivisjonen.

$$ \begin{array}{ccccccccccccccccccc}& (2x^3& +& 4& x^2& -& 2& x& -& 4& )& :& (& x& -& 1& )& =& 2x^2+6x+4 \\ -(& 2x^3& -& 2& x^2& )& & & & & & & & & & & & & \\ & & & 6& x^2& -& 2& x& -& 4& & & & & & & & & \\ & -& (& 6& x^2& -& 6& x& )& & & & & & & & & & \\ & & & & & & 4& x& -& 4& & & & & & & & & \\ & & & & -& (& 4& x& -& 4& )& & & & & & & & \\ & & & & & & & & & 0& & & & & & & & & \end{array}$$

Vi finner så nullpunktene til uttrykket $2x^2+6x+4$.

$\begin{array}{rcc}2x^2+6x+4& = & 2\left(x^2+3x+2\right)\\ & & \\ & =& 2\left(x+2\right)\left(x+1\right)\end{array}$

Telleren har da nullpunktene

$x=-2$, $x=-1$ og $x=1$.

Nevneren er null for $x=-1$.

Likningen $\frac{2x^3+4x^2-2x-4}{x+1}=0$ har dermed løsningene

$x=-2 \vee x=1$

Løsning med CAS:

$$ \begin{array}{c}\begin{array}{c}\boxed{\begin{array}{ccl}& & \frac{2{\text{x}}^3+4{\text{x}}^2-2\text{x}-4}{\text{x}+1}=0\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{Løs}: \left\{\text{x}=-2, \text{x}=1\right\}\end{array}}\end{array}\end{array}$$

Vi bruker det vi har funnet i b).

Telleren er null for $x=-2$, $x=-1$ og $x=1$.

Nevneren er null for $x=-1$.

Med uttrykket på venstre side på faktorisert form blir ulikheten

$\frac{2\left(x+2\right)\left(x+1\right)\left(x-1\right)}{x+1}>0$

Det er bare for disse verdiene av $x$ der teller eller nevner er null at uttrykket kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøver for $x$-verdier i intervallene $⟨\leftarrow , -2⟩$, $⟨-2, -1⟩$, $⟨-1, 1⟩$ og $⟨1, \to ⟩$ og bruker det faktoriserte uttrykket i utregningen.

For $x=-3$ får vi $\frac{2\left(-3+2\right)\left(-3+1\right)\left(-3-1\right)}{-3+1}=\frac{\left(-\right)·\left(-\right)·\left(-\right)}{\left(-\right)}$. Uttrykket er positivt. (Hvorfor tok vi ikke med 2-tallet i fortegnsvurderingen?)

For $x=-\frac{3}{2}$ får vi $\frac{2\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}}+2\right)\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}}+1\right)\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}}-1\right)}{-{\displaystyle \frac{3}{2}}+1}=\frac{\left(+\right)·\left(-\right)·\left(-\right)}{\left(-\right)}$. Uttrykket er negativt.

For $x=0$ får vi $\frac{2\left(0+2\right)\left(0+1\right)\left(0-1\right)}{0+1}=\frac{\left(+\right)·\left(+\right)·\left(-\right)}{\left(+\right)}$. Uttrykket er negativt.

For $x=2$ får vi $\frac{2\left(2+2\right)\left(2+1\right)\left(2-1\right)}{2+1}=\frac{\left(+\right)·\left(+\right)·\left(+\right)}{\left(+\right)}$. Uttrykket er positivt.

Vi kan da sette opp fortegnsskjema for brøken $\frac{2\left(x+2\right)\left(x+1\right)\left(x-1\right)}{x+1}$.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Stein Aanensen, Olav Kristensen

Legg merke til at brøken $\frac{2\left(x+2\right)\left(x+1\right)\left(x-1\right)}{x+1}$ ikke er definert for $x=-1$.

Vi får til slutt

$\frac{2x^3+4x^2-2x-4}{x+1}>0$ når $x\in ⟨\leftarrow , -2⟩\cup ⟨1, \to ⟩$.

Løsning med CAS:

$$ \begin{array}{c}\begin{array}{c}\boxed{\begin{array}{ccl}& & \frac{2{\text{x}}^3+4{\text{x}}^2-2\text{x}-4}{\text{x}+1}>0\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{Løs}: \left\{\text{x}<-2, \text{x}>1\right\}\end{array}}\end{array}\end{array}$$

Når ulikheten er ordnet slik at det står null på høyre side, skal uttrykket på venstre side være null når $x=-3$.

Vi ordner først ulikheten slik at vi får 0 på høyre side. Så finner vi nullpunktene til telleren og nevneren.

$\begin{array}{rcc}\frac{-3x^3-18x^2-11x+40}{2x+2}-2& \ge & 0\\ & & \\ \frac{-3x^3-18x^2-11x+40}{2x+2}-\frac{2\left(2x+2\right)}{2x+2}& \ge & 0\\ & & \\ \frac{-3x^3-18x^2-11x+40-\left(4x+4\right)}{2x+2}& \ge & 0\\ & & \\ \frac{-3x^3-18x^2-15x+36}{2x+2}& \ge & 0\end{array}$

Vi faktoriserer telleren. $\left(x+3\right)$ er en faktor i telleren siden uttrykket er null når $x=-3$, og vi utfører først polynomdivisjonen.

$$ \begin{array}{ccccccccccccccccccc}(-& 3x^3& -& 18& x^2& -& 15& x& +& 36& )& :& (& x& +& 3& )& =& -3x^2-9x+12 \\ -(& 3x^3& -& 9& x^2& )& & & & & & & & & & & & & \\ & & -& 9& x^2& -& 15& x& +& 36& & & & & & & & & \\ & -& (-& 9& x^2& -& 27& x& )& & & & & & & & & & \\ & & & & & & 12& x& +& 36& & & & & & & & & \\ & & & & -& (& 12& x& +& 36& )& & & & & & & & \\ & & & & & & & & & 0& & & & & & & & & \end{array}$$

Vi finner så nullpunktene til uttrykket$-3x^2-9x+12$.

$\begin{array}{ccc}-3x^2-9x+12& = & -3\left(x^2+3x-4\right)\\ & & \\ & =& -3\left(x+4\right)\left(x-1\right)\end{array}$

Telleren har da nullpunktene

$x=-4$, $x=-3$ og $x=1$.

Nevneren er null for $2x+2=0$, det vil si for $x=-1$.

Dersom vi bruker faktorisert form på telleren i uttrykket i den ordnede ulikheten over, får vi

$\frac{-3\left(x+4\right)\left(x+3\right)\left(x-1\right)}{2x+2}\ge 0$

Det er bare for disse verdiene av $x$ der teller eller nevner er null at uttrykket kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøver for $x$-verdier i intervallene $⟨\leftarrow , -4⟩$, $⟨-4, -3⟩$, $⟨-3, -1⟩$, $⟨-1, 1⟩$ og $⟨1, \to ⟩$ og bruker det faktoriserte uttrykket i utregningen.

For $x=-5$ får vi $\frac{-3\left(-5+4\right)\left(-5+3\right)\left(-5-1\right)}{2·\left(-5\right)+2}=\frac{\left(-\right)·\left(-\right)·\left(-\right)·\left(-\right)}{\left(-\right)}$. Uttrykket er negativt.

For $x=-3,5$ får vi $\frac{-3\left(-3,5+4\right)\left(-3,5+3\right)\left(-3,5-1\right)}{2·\left(-3,5\right)+2}=\frac{\left(-\right)·\left(+\right)·\left(-\right)·\left(-\right)}{\left(-\right)}$. Uttrykket er positivt.

For $x=-1,5$ får vi $\frac{-3\left(-1,5+4\right)\left(-1,5+3\right)\left(-1,5-1\right)}{2·\left(-1,5\right)+2}=\frac{\left(-\right)·\left(+\right)·\left(+\right)·\left(-\right)}{\left(-\right)}$. Uttrykket er negativt.

For $x=0$ får vi $\frac{-3\left(0+4\right)\left(0+3\right)\left(0-1\right)}{2·0+2}=\frac{\left(-\right)·\left(+\right)·\left(+\right)·\left(-\right)}{\left(+\right)}$. Uttrykket er positivt.

For $x=2$ får vi $\frac{-3\left(2+4\right)\left(2+3\right)\left(2-1\right)}{2·2+2}=\frac{\left(-\right)·\left(+\right)·\left(+\right)·\left(+\right)}{\left(+\right)}$. Uttrykket er negativt.

Vi kan da sette opp fortegnsskjema for brøken $\frac{-3\left(x+4\right)\left(x+3\right)\left(x-1\right)}{2x+2}$.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Bjarne Skurdal

Legg merke til at brøken $\frac{-3\left(x+4\right)\left(x+3\right)\left(x-1\right)}{2x+2}$ ikke er definert for $x=-1$.

Vi får til slutt

$\frac{-3\left(x+4\right)\left(x+3\right)\left(x-1\right)}{2x+2}\ge 0$ når $x\in [-4, -3]\cup ⟨-1, 1]$.

Løsning med CAS:

$$ \begin{array}{c}\begin{array}{c}\boxed{\begin{array}{ccl}& & \frac{-3{\text{x}}^3-18{\text{x}}^2-11\text{x}+40}{2\text{x}+2}\ge 2\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{Løs}: \left\{-1<\text{x}\le 1, -4\le \text{x}\le -3\right\}\end{array}}\end{array}\end{array}$$

(Hvorfor skal ikke –1 være med i løsningen?)