Ulikheter av andre grad

Denne ulikheten er ferdig ordna. Vi finner først nullpunktene til uttrykket på venstre side:

$\begin{array}{rcl}{x}^2-4x-12& = & 0\\ & & \\ x& =& \frac{-(-4)\pm \sqrt{(-4{)}^2-4·1·(-12)}}{2·1}\\ & & \\ x& =& \frac{4\pm \sqrt{64}}{2}\\ & & \\ x& =& \frac{4\pm 8}{2}\\ & & \\ x_1& =& -2 \vee x_2=6\end{array}$

Vi vet nå at uttrykket $x²-4x-12$ er lik 0 når $x=-2$ og når $x=6$. Det er bare for disse verdiene av $x$ at uttrykket kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøver for $x$-verdier i intervallene $\langle \leftarrow , -2\rangle$, $$ ⟨-2, 6⟩$$ og $⟨6, \to ⟩$.

Vi bruker det faktoriserte uttrykket når vi tar stikkprøvene.

$\begin{array}{l}{x}^2-4x-12=(x+2)(x-6)\\ \\ \mathrm{For} x=-3 \mathrm{får} \mathrm{vi} (-3+2)(-3-6)=(-1)·(-9)\\ \mathrm{Uttrykket} \mathrm{er} \mathrm{positivt}.\\ \\ \mathrm{For} x=0 \mathrm{får} \mathrm{vi} (0+2)(0-6)=2·(-6)\\ \mathrm{Uttrykket} \mathrm{er} \mathrm{negativt}.\\ \\ \mathrm{For} x=7 \mathrm{får} \mathrm{vi} (7+2)(7-6)=9·1 \\ \mathrm{Uttrykket} \mathrm{er} \mathrm{positivt}.\end{array}$

Vi kan da sette opp fortegnslinjen:

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Olav Kristensen, Stein Aanensen, Bjarne Skurdal

Oppgaven vår var å finne ut for hvilke verdier av $x$ det stemte at $x²-4x-12<0$. Av fortegnslinjen kan vi lese at ulikheten har løsningen $x\in ⟨-2, 6⟩$.

Løsning med CAS:

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Olav Kristensen, Stein Aanensen, Bjarne Skurdal

Vi finner først nullpunktene:

$\begin{array}{rcl}x-4x^2& = & 0\\ & & \\ x(1-4x)& =& 0\\ & & \\ x& =& 0 \vee 1-4x=0\\ & & \\ x_1& =& 0 \vee x_2=\frac{1}{4}\end{array}$

Vi vet nå at uttrykket $x-4x²$ er lik 0 når $x=0$ og når $x=¼$. Det er bare for disse verdiene av $x$ at uttrykket kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøver for $x$-verdier i intervallene $⟨\leftarrow , 0⟩, ⟨0, \frac{1}{4}⟩$ og $⟨\frac{1}{4}, \to ⟩$.

Vi bruker det faktoriserte uttrykket når vi tar stikkprøvene.

$\begin{array}{l}x-4x^2=x(1-4x)\\ \\ \mathrm{For} x=-1 \mathrm{får} \mathrm{vi} -1(1-4·(-1\left)\right)=(-1)·5 \\ \mathrm{Uttrykket} \mathrm{er} \mathrm{negativt}.\\ \\ \mathrm{For} x=-\frac{1}{8} \mathrm{får} \mathrm{vi} \frac{1}{8}\left(1-4·\frac{1}{8}\right)=\frac{1}{8}·\frac{1}{2} \\ \mathrm{Uttrykket} \mathrm{er} \mathrm{positivt}.\\ \\ \mathrm{For} x=1 \mathrm{får} \mathrm{vi} 1(1-4·1)=1·(-4) \\ \mathrm{Uttrykket} \mathrm{er} \mathrm{negativt}.\end{array}$

Vi kan da sette opp fortegnslinjen:

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Olav Kristensen, Stein Aanensen, Bjarne Skurdal

Oppgaven vår var å finne ut for hvilke verdier av $x$ det stemte at $x-4x²>0$. Av fortegnslinjen kan vi lese at ulikheten har løsningen $x\in ⟨0, \frac{1}{4}⟩$.

Løsning med CAS:

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Olav Kristensen, Stein Aanensen, Bjarne Skurdal

Vi finner først nullpunktene:

$\begin{array}{rcl}2x^2+5x-3& = & 0\\ & & \\ x& =& \frac{-5\pm \sqrt{5^2-4·2·\left(-3\right)}}{2·2}\\ & & \\ x& =& \frac{-5\pm 7}{4}\\ & & \\ x_1& =& -3 \vee x_2=\frac{1}{2}\end{array}$

Vi vet nå at uttrykket $2x²+5x-3$ er lik $0$ når $x=-3$ og når $x=½$. Det er bare for disse verdiene av $x$ at uttrykket kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøver for $x$-verdier i intervallene $⟨\leftarrow , -3⟩$,$\langle -3, ½\rangle$, og $\langle \frac{1}{2}, \to \rangle$.

Vi bruker det faktoriserte uttrykket når vi tar stikkprøvene.

$\begin{array}{l}2x^2+5x-3=2\left(x+3\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)\\ \\ \mathrm{For} x=-4 \mathrm{får} \mathrm{vi} 2(-4+3)\left(-4-\frac{1}{2}\right)=2·(-1)·\left(-\frac{9}{2}\right)\\ \mathrm{Uttrykket} \mathrm{er} \mathrm{positivt}.\\ \\ \mathrm{For} x=0 \mathrm{får} \mathrm{vi} 2(0+3)\left(0-\frac{1}{2}\right)=2·3·\left(-\frac{1}{2}\right) \\ \mathrm{Uttrykket} \mathrm{er} \mathrm{negativt}.\\ \\ \mathrm{For} x=1 \mathrm{får} \mathrm{vi} 2(1+3)\left(1-\frac{1}{2}\right)=2·3·\frac{1}{2} \\ \mathrm{Uttrykket} \mathrm{er} \mathrm{positivt}.\end{array}$

Vi kan da sette opp fortegnslinjen:

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Olav Kristensen, Stein Aanensen, Bjarne Skurdal

Oppgaven vår var å finne ut for hvilke verdier av $x$ det stemte at $2x²+5x-3\ge 0$. Av fortegnslinjen kan vi lese at ulikheten har løsningen $x\in ⟨\leftarrow ,-3] \cup [\frac{1}{2},\to ⟩$.

Løsning med CAS:

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Olav Kristensen, Stein Aanensen, Bjarne Skurdal

Vi finner først nullpunktene:

$\begin{array}{rcl}-x^2-x+6 & =& 0\\ & & \\ x& = & \frac{1\pm \sqrt{{\left(-1\right)}^2-4·\left(-3\right)·6}}{2·\left(-1\right)}\\ & & \\ x& =& \frac{1\pm 5}{-2}\\ & & \\ x_1& =& -3 \vee x_2=2\end{array}$

Vi vet nå at uttrykket $x²-x-6$ er lik 0 når $x=-3$ og når $x=2$. Det er bare for disse verdiene av $x$ at uttrykket kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøver for $x$-verdier i intervallene $⟨\leftarrow , -3⟩, ⟨-3, 2⟩$ og $\langle 2, \to \rangle$.

Vi bruker det faktoriserte uttrykket når vi tar stikkprøvene.

$\begin{array}{l}-x^2-x+6=(x+3)\left(x-2\right)\\ \\ \mathrm{For} x=-4 \mathrm{får} \mathrm{vi} -(-4+3)(-4-2)=(-1)·(-1)·(-6) \\ \mathrm{Uttrykket} \mathrm{er} \mathrm{negativt}.\\ \\ \mathrm{For} x=0 \mathrm{får} \mathrm{vi} -(0+3)(0-2)=(-1)·3·(-2) \\ \mathrm{Uttrykket} \mathrm{er} \mathrm{positivt}.\\ \\ \mathrm{For} x=3 \mathrm{får} \mathrm{vi} -(3+3)(3-2)=(-1)·6·1 \\ \mathrm{Uttrykket} \mathrm{er} \mathrm{negativt}.\end{array}$

Vi kan da sette opp fortegnslinjen:

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Olav Kristensen, Stein Aanensen, Bjarne Skurdal

Oppgaven vår var å finne ut for hvilke verdier av $x$ det stemte at $x²-x-6\le 0$. Av fortegnslinjen kan vi lese at ulikheten har løsningen $x\in \langle \leftarrow ,-3] \cup [2,\to \rangle$.

Løsning med CAS:

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Olav Kristensen, Stein Aanensen, Bjarne Skurdal

Vi faktoriserer først uttrykket

$-3x^2+27=-3\left(x^2-9\right)=-3(x-3)(x+3)$

Vi vet nå at uttrykket $-3x²+27$ er lik 0 når $x=-3$ og når $x=3$. Det er bare for disse verdiene av $x$ at uttrykket kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøver for $x$-verdier i intervallene $⟨\leftarrow , -3⟩, ⟨-3, 3⟩$ og $\langle 3, \to \rangle$.

Vi bruker det faktoriserte uttrykket når vi tar stikkprøvene.

$\begin{array}{rcl}\mathrm{For} x& = & -4 \mathrm{får} \mathrm{vi} -3(-4+3)(-4+3)=(-3)·(-7)·(-1) \\ & & \mathrm{Uttrykket} \mathrm{er} \mathrm{negativt}.\\ & & \\ \mathrm{For} x& =& 0 \mathrm{får} \mathrm{vi} -3(0+3)(0-3)=(-3)·3·(-3) \\ & & \mathrm{Uttrykket} \mathrm{er} \mathrm{positivt}.\\ & & \\ \mathrm{For} x& =& 3 \mathrm{får} \mathrm{vi} -3(3+3)(3-3)=(-3)·7·1 \\ & & \mathrm{Uttrykket} \mathrm{er} \mathrm{negativt}.\end{array}$

Vi kan da sette opp fortegnslinjen:

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Olav Kristensen, Stein Aanensen, Bjarne Skurdal

Oppgaven vår var å finne ut for hvilke verdier av $x$ det stemte at $-3x²+27>0$. Av fortegnslinjen kan vi lese at ulikheten har løsningen $x\in ⟨-3, 3⟩$.

Løsning med CAS:

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Olav Kristensen, Stein Aanensen, Bjarne Skurdal

Vi finner først nullpunktene til uttrykket på venstre side.

$\begin{array}{rcl}{x}^2-8x+15& =& 0\\ & & \\ x& = & \frac{8\pm \sqrt{64-4·1·15}}{2·1}\\ & & \\ x& =& \frac{8\pm 2}{2}\\ & & \\ x_1& =& 3 \vee x_2=5\end{array}$

Vi vet nå at uttrykket $x²-8x+15$ er lik 0 når $x=3$ og når $x=5$. Det er bare for disse verdiene av $x$ at uttrykket kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøver for $x$-verdier i intervallene $⟨\leftarrow , 3⟩, ⟨3, 5⟩$ og $\langle 5, \to \rangle$.

Vi bruker det faktoriserte uttrykket når vi tar stikkprøvene.

$\begin{array}{rcl}\mathrm{For} x& = & 0 \mathrm{får} \mathrm{vi} (0-3)(0-5)=(-3)·(-5) \\ & & \mathrm{Uttrykket} \mathrm{er} \mathrm{positivt}.\\ & & \\ \mathrm{For} x& =& 4 \mathrm{får} \mathrm{vi} (4-3)(4-5)=1·(-1) \\ & & \mathrm{Uttrykket} \mathrm{er} \mathrm{negativt}.\\ & & \\ \mathrm{For} x& =& 6 \mathrm{får} \mathrm{vi} (6-3)(6-5)=3·1 \\ & & \mathrm{Uttrykket} \mathrm{er} \mathrm{positivt}.\end{array}$

Vi kan da sette opp fortegnslinjen:

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Olav Kristensen, Stein Aanensen, Bjarne Skurdal

Oppgaven vår var å finne ut for hvilke verdier av $x$ det stemte at $x²-8x+15\le 0$. Av fortegnslinjen kan vi lese at ulikheten har løsningen $x\in [3, 5]$.

Løsning med CAS:

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Olav Kristensen, Stein Aanensen, Bjarne Skurdal

Vi ordner først ulikheten slik at vi får 0 på høyre side.

$\begin{array}{rcl} 1& > & x^2\\ & & \\ -x^2+1& >& 0\end{array}$

Vi finner så nullpunktene til uttrykket på venstre side.

$\begin{array}{rcl}-x^2+1& = & 0\\ & & \\ -x^2& =& -1\\ & & \\ x^2& =& 1\\ & & \\ x& =& -1 \vee x=1\end{array}$

Vi vet nå at uttrykket $-x²+1$ er lik 0 når $x=-1$ og når $x=1$. Det er bare for disse verdiene av $x$ at uttrykket kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøver for $x$-verdier i intervallene $⟨\leftarrow , -1⟩, ⟨-1, 1⟩$ og $<1, \to >$.

Vi bruker det faktoriserte uttrykket når vi tar stikkprøvene.

$\begin{array}{l}\mathrm{For} x=-2 \mathrm{får} \mathrm{vi} (-)(-2+1)(-2-1)=(-1)·(-1)·(-3) \\ \mathrm{Uttrykket} \mathrm{er} \mathrm{negativt}.\\ \\ \mathrm{For} x=0 \mathrm{får} \mathrm{vi} (-)(0+1)(0-1)=(-1)·1·(-1) \\ \mathrm{Uttrykket} \mathrm{er} \mathrm{positivt}.\\ \\ \mathrm{For} x=2 \mathrm{får} \mathrm{vi} (-)(2+1)(2-1)=(-1)·3·1 \\ \mathrm{Uttrykket} \mathrm{er} \mathrm{negativt}.\end{array}$

Vi kan da sette opp fortegnslinjen:

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Olav Kristensen, Stein Aanensen, Bjarne Skurdal

Oppgaven vår var å finne ut for hvilke verdier av $x$ det stemte at $-x²+1>0$. Av fortegnslinjen kan vi lese at ulikheten har løsningen $x\in ⟨-1, 1⟩$.

Løsning med CAS:

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Olav Kristensen, Stein Aanensen, Bjarne Skurdal

Vi ordner først ulikheten slik at vi får 0 på høyre side.

$\begin{array}{rcl}-x& \le & -x^2+6\\ & & \\ x^2-x-6& \le & 0\end{array}$

Vi finner så nullpunktene til uttrykket på venstre side.

$$ \begin{array}{rcl}{x}^2-x-6& = & 0\\ & & \\ x& =& \frac{-\left(-1\right)\pm \sqrt{{\left(-1\right)}^2-4·1·\left(-6\right)}}{}\\ & & \\ & =& \frac{1\pm \sqrt{1+24}}{2}\\ & & \\ x_1& =& -2 \vee x_2=3\end{array}$$

Vi vet nå at uttrykket $x²-x-6$ er lik 0 når $x=-2$ og når $x=3$. Det er bare for disse verdiene av $x$ at uttrykket kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøver for $x$-verdier i intervallene $\langle \leftarrow , -2\rangle , \langle -2, 3\rangle$ og $\langle 3, \to \rangle$.

Vi bruker det faktoriserte uttrykket når vi tar stikkprøvene.

$\begin{array}{l}{x}^2-x-6=(x+2)(x-3)\\ \\ \mathrm{For} x=-3 \mathrm{får} \mathrm{vi} (-3+2)(-3-3)=(-1)·(-6) \\ \mathrm{Uttrykket} \mathrm{er} \mathrm{positivt}.\\ \\ \mathrm{For} x=0 \mathrm{får} \mathrm{vi} (0+2)(0-3)=2·(-3) \\ \mathrm{Uttrykket} \mathrm{er} \mathrm{negativt}.\\ \\ \mathrm{For} x=4 \mathrm{får} \mathrm{vi} (4+2)(4-3)=6·1 \\ \mathrm{Uttrykket} \mathrm{er} \mathrm{positivt}.\end{array}$

Vi kan da sette opp fortegnslinjen:

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Olav Kristensen, Stein Aanensen, Bjarne Skurdal

Oppgaven vår var å finne ut for hvilke verdier av $x$ det stemte at $x²-x-6\le 0$. Av fortegnslinjen kan vi lese at ulikheten har løsningen $x\in [-2, 3]$.

Løsning med CAS:

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Olav Kristensen, Stein Aanensen, Bjarne Skurdal

Vi ordner først ulikheten slik at vi får 0 på høyre side.

$\begin{array}{rcl}1-2x& \ge & -x^2\\ & & \\ x^2-2x+1& \ge & 0\end{array}$

Vi finner så nullpunktene til uttrykket på venstre side.

$\begin{array}{rcl}{x}^2-2x+1& = & 0\\ & & \\ x& =& \frac{2\pm \sqrt{4-4}}{2}\\ & & \\ x_1& =& x_2=1\\ & & \end{array}$

Vi vet nå at uttrykket $x²+2x+1$ er lik 0 når $x=1$. Det er bare for denne verdien av $x$ at uttrykket kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøver for $x$-verdier i intervallene $⟨\leftarrow , 1⟩$ og $⟨1, \to ⟩$.

Vi bruker det faktoriserte uttrykket når vi tar stikkprøvene.

Det er bare for denne verdien av $x$ at uttrykket kan skifte fortegn. Vi tar stikkprøve for $x$-verdi mindre enn 1 og $x$-verdi større enn 1.

$\begin{array}{l}{x}^2-2x+2=(x-1)(x-1)\\ \\ \mathrm{For} x=0 \mathrm{får} \mathrm{vi} (0-1)(0-1)=(-1)·(-1) \\ \mathrm{Uttrykket} \mathrm{er} \mathrm{positivt}.\\ \\ \mathrm{For} x=3 \mathrm{får} \mathrm{vi} (2-1)(2-1)=1·1 \\ \mathrm{Uttrykket} \mathrm{er} \mathrm{positivt}.\end{array}$

Vi kan da sette opp fortegnslinjen:

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Olav Kristensen, Stein Aanensen, Bjarne Skurdal

Oppgaven vår var å finne ut for hvilke verdier av $x$ det stemte at $x²-2x+1\ge 0$. Av fortegnslinjen kan vi lese at ulikheten er oppfylt for alle verdier av $x$.

Vi kunne også sett dette direkte da $x²-2x+1=(x-1)²$. Dette uttrykket aldri kan bli negativt.

Løsning: $x\in \mathrm{ℝ}$

Løsning med CAS:

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Olav Kristensen, Stein Aanensen, Bjarne Skurdal

Merk måten GeoGebra skriver løsningen på her.

Vi ordner først ulikheten slik at vi får 0 på høyre side.

$-x^2+2x-2\ge 0$

Vi finner så nullpunktene til uttrykket på venstre side.

$$ \begin{array}{rcl}-x^2+2x-2& = & 0\\ & & \\ x& =& \frac{-2\pm \sqrt{4-8}}{-2}\end{array}$$

Likningen har ingen reelle løsninger. Uttrykket kan ikke ha verdien 0. Det betyr at uttrykket enten er negativt hele tiden, eller positivt hele tiden. Hvis vi setter inn  $$ x=0$$, har uttrykket verdien $$ -2$$. Med andre ord, uttrykket   $$ -x^2+2x-2$$ vil være negativt for alle verdier av $x$.

Ulikheten spør etter når uttrykket er større eller lik 0. Det er det aldri, så ulikheten har ingen løsning.

Løsning med CAS:

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-SA

Bilde: Olav Kristensen, Stein Aanensen, Bjarne Skurdal

$x²$ kan aldri bli negativ. Uttrykket $1-x²$ blir dermed aldri større enn 1.

Verken$(x+1)²$ eller $(x-1)²$ kan bli mindre enn 0.