Aritmetiske og geometriske rekker

Hva er ei aritmetisk rekke?

Som vi har sett, får vi ei rekke ved å legge sammen leddene i en følge. Dersom vi legger sammen leddene i en aritmetisk følge, får vi ei aritmetisk rekke.

Et eksempel på ei slik rekke er

$2+5+8+11+ ...$

Vi ser at differansen $d$ mellom et ledd og det foregående leddet er 3.

Vi har tidligere vist at vi kan finne ledd nummer $n, a_n,$ i en aritmetisk tallfølge ved formelen

$a_n=a_1+\left(n-1\right)d$

Denne formelen gjelder på samme måte for ledd nummer $n$ i ei aritmetisk rekke.

Summen av ei endelig aritmetisk rekke

Vi har sett hvordan vi kan regne ut summer av rekker ved hjelp av digitale hjelpemidler dersom vi kjenner den eksplisitte formelen for $a_n$. For noen typer av rekker finnes det kjente formler også for summen av de $n$ første leddene. Det gjelder blant annet de aritmetiske rekkene.

Vi ønsker å finne en formel for summen av de $n$ første leddene i ei aritmetisk rekke. Vi finner først en formel for summen av de 5 første leddene.

Vi skriver summen av de 5 første leddene på to måter: først leddene i stigende rekkefølge, så leddene i synkende rekkefølge.

$\begin{array}{l}{S}_5=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5\\ \\ S_5=a_5+a_4+a_3+a_2+a_1\end{array}$

Vi summerer venstresidene og høyresidene og får

$S_5+S_5=(a_1+a_5)+(a_2+a_4)+(a_3+a_3)+(a_4+a_2)+(a_5+a_1)$

I parentesene på høyresiden vil de blå leddene til venstre i hver parentes øke med $d$ for hver parentes fra venstre mot høyre, mens de røde leddene til høyre i parentesene vil avta med $d$. Det betyr at summene i hver av parentesene er like.

$(a_1+a_5)=(a_2+a_4)=(a_3+a_3)=(a_4+a_2)=(a_5+a_1)$

Høyresiden blir da lik  $5·\left(a_1+a_5\right)$, og siden venstresiden kan skrives som  $2·S_5$, får vi at

$2·S_5=5·\left(a_1+a_5\right)$

Ved å dividere med 2 på begge sider av likhetstegnet får vi

$S_5=5·\frac{a_1+a_5}{2}$

Resonnementet over gjelder også om vi bytter ut antall ledd i rekka med et hvilket som helst annet naturlig tall enn 5. Den generelle utledningen skal du gjøre i en oppgave.

Hva er ei geometrisk rekke?

Tilsvarende som for ei aritmetisk rekke får vi ei geometrisk rekke ved å summere leddene i en geometrisk følge. Vi har tidligere vist at vi kan finne ledd nummer $n$ i en geometrisk følge ved hjelp av formelen

$a_n=a_1·k^{n-1}$

Denne formelen gjelder også for ledd nummer $n$ i ei geometrisk rekke. Et eksempel på ei uendelig geometrisk rekke kan være

$3+9+27+81+243+729+2187+6561+...$

Vi ser at  $a_1=3$, og vi kan finne $k$ ved å dele hvilket som helst ledd med det foregående. Vi velger å dele $a_2$ på $a_1$:

$k=\frac{a_2}{a_1}=\frac{9}{3}=3$

Summen av ei endelig geometrisk rekke

Også for geometriske rekker kan vi finne en formel for summen av de $n$ første leddene. Vi finner først summen av de 5 første leddene.

Vi har at

$\begin{array}{rcl}{S}_5& = & a_1+a_2+a_3+a_4+a_5\\ & & \\ & =& a_1+a_1·k+a_1·k^2+a_1·k^3+a_1·k^4\end{array}$

Vi multipliserer begge sidene i likningen med $k$:

$\begin{array}{rcl}k·S_5& = & k·(a_1+a_1·k+a_1·k^2+a_1·k^3+a_1·k^4)\\ & & \\ & =& a_1·k+a_1·k^2+a_1·k^3+a_1·k^4+a_1·k^5\end{array}$

Vi finner så differansen mellom $k·S_5 \mathrm{og} S_5$:

$\begin{array}{rcl}k·S_5-S_5 & =& a_1·k+a_1·k^2+a_1·k^3+a_1·k^4+a_1·k^5\\ & & -(a_1+a_1·k+a_1·k^2+a_1·k^3+a_1·k^4)\\ & =& \cancel{ a_1·k}+\cancel{a_1·k^2}+\cancel{a_1·k^3}+\cancel{a_1·k^4}+a_1·k^5\\ & & -a_1-\cancel{a_1·k}-\cancel{a_1·k^2}-\cancel{a_1·k^3}-\cancel{a_1·k^4}\end{array}$

Her opptrer de fleste leddene i par der vi har ledd med samme verdi, men motsatt fortegn. Det gjør at de faller bort. Dette gir

$\begin{array}{rcl}k·S_5-S_5& = & a_1·k^5-a_1\\ & & \\ S_5(k-1)& =& a_1(k^5-1)\\ & & \\ S_5& =& a_1·\frac{k^5-1}{k-1}\end{array}$

Vi kan ikke ha en brøk med null i nevneren. Derfor gjelder formelen bare når  $k\ne 1$. Dersom  $k=1$, blir alle leddene i rekka like. Summen av rekka blir da  $S_5=5·a_1$.

Resonnementet over gjelder på samme måte om vi bytter ut antall ledd i rekka med et hvilket som helst annet naturlig tall enn 5. Vi får derfor formelen under.

Denne generelle formelen skal du utlede i en oppgave.

Regneeksempel

Vi skal se på et eksempel der vi får vite at vi har ei aritmetisk rekke der  $a_1=5$  og  $d =7$. Først skal vi regne ut $S_8$ ved hjelp av formelen vi viste over. Etterpå skal vi finne ut om 495 er et ledd i rekka, og om det finnes en $n$ slik at  $S_n=495$.

For å finne $S_8$ trenger vi å finne $a_8$. Den enkleste måten å gjøre det på er å først finne $a_n$:

$\begin{array}{rcl}{a}_n & =& a_1+d\left(n-1\right)\\ & =& 5+7\left(n-1\right)\\ & =& 5+7n-7\\ & =& 7n-2\\ a_8 & =& 7·8-2\\ & =& 56-2=54\end{array}$

Så setter vi inn i formelen for $S_8$:

$\begin{array}{rcl}{S}_8 & =& 8·\frac{a_1+a_8}{2}\\ & =& \frac{8·(5+54)}{2}\\ & =& 4·59\\ & =& 236\end{array}$

For å kunne finne ut om et tall er et ledd i ei rekke (eller en følge), kan vi sette den eksplisitte formelen for $a_n$ lik tallet, her 495, og vi løser likningen. Dersom vi får en heltallig $n$, betyr det at 495 er et ledd i rekka.

På samme måte må vi finne en heltallig $n$ som løsning på likningen  $S_n=495$  for at vi kan ha en slik sum.

Tenk gjennom hvorfor vi må ha hele $n$ før du leser videre!

Vi setter $a_n$ lik 495 og løser likningen:

$\begin{array}{rcl}7n-2 & =& 495\\ 7n & =& 497\\ n & =& \frac{497}{7}\\ n & =& 71\end{array}$

Vi ser at vi får en heltallig $n$ og dermed har vi at 495 er et ledd i rekka. Vi ser også at det er ledd nummer 71.

Vi sjekker om det finnes en $n$ slik at vi har  $S_n=495$:

$\begin{array}{rcl}{S}_n & =& \frac{n·\left(a_1+a_n\right)}{2}\\ & =& \frac{n·\left(5+7n-2\right)}{2}\\ & =& \frac{n·\left(7n+3\right)}{2}\\ 495 & =& \frac{7n^2+3n}{2}\\ 990 & =& 7n^2+3n\\ & & \\ & & \end{array}$

Vi løser likningen i GeoGebra:

Vi ser at vi ikke får hele tall som løsninger, og dermed kan vi slå fast at vi ikke har en slik $n$. Det vil si det samme som at summen av rekka vår aldri kan bli 495.

Film om aritmetiske tallrekker

Film om geometriske rekker