Aritmetiske og geometriske rekker

Kva er ei aritmetisk rekke?

Som vi har sett, får vi ei rekke ved å legge saman ledda i ei følge. Dersom vi legg saman ledda i ei aritmetisk følge, får vi ei aritmetisk rekke.

Eit døme på ei slik rekke er

$2+5+8+11+ ...$

Vi ser at differansen $d$ mellom eit ledd og det førre leddet er 3.

Vi har tidlegare vist at vi kan finne ledd nummer $n, a_n,$ i ei aritmetisk talfølge ved formelen

$a_n=a_1+\left(n-1\right)d$

Denne formelen gjeld på same måte for ledd nummer $n$ i ei aritmetisk rekke.

Summen av ei endeleg aritmetisk rekke

Vi har sett korleis vi kan rekne ut summar av rekker ved hjelp av digitale hjelpemiddel dersom vi kjenner den eksplisitte formelen for $a_n$. For nokre typar av rekker finst det kjende formlar òg for summen av dei $n$ første ledda. Det gjeld mellom anna dei aritmetiske rekkene.

Vi ønsker å finne ein formel for summen av dei $n$ første ledda i ei aritmetisk rekke. Vi finn først ein formel for summen av dei 5 første ledda.

Vi skriv summen av dei 5 første ledda på to måtar: først ledda i stigande rekkefølge, så ledda i minkande rekkefølge.

$\begin{array}{l}{S}_5=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5\\ \\ S_5=a_5+a_4+a_3+a_2+a_1\end{array}$

Vi summerer venstresidene og høgresidene og får

$S_5+S_5=(a_1+a_5)+(a_2+a_4)+(a_3+a_3)+(a_4+a_2)+(a_5+a_1)$

I parentesane på høgresida vil dei blå ledda til venstre i kvar parentes auke med $d$ for kvar parentes frå venstre mot høgre, mens dei raude ledda til høgre i parentesane vil minke med $d$. Det betyr at summane i kvar av parentesane er like.

$(a_1+a_5)=(a_2+a_4)=(a_3+a_3)=(a_4+a_2)=(a_5+a_1)$

Høgresida blir då lik  $5·\left(a_1+a_5\right)$, og sidan venstresida kan skrivast som  $2·S_5$, får vi at

$2·S_5=5·\left(a_1+a_5\right)$

Ved å dividere med 2 på begge sider av likskapsteiknet får vi

$S_5=5·\frac{a_1+a_5}{2}$

Resonnementet over gjeld òg om vi byter ut talet på ledd i rekka med kva som helst anna naturleg tal enn 5. Den generelle utleiinga skal du gjere i ei oppgåve.

Kva er ei geometrisk rekke?

Tilsvarande som for ei aritmetisk rekke får vi ei geometrisk rekke ved å summere ledda i ei geometrisk følge. Vi har tidlegare vist at vi kan finne ledd nummer $n$ i ei geometrisk følge ved hjelp av formelen

$a_n=a_1·k^{n-1}$

Denne formelen gjeld òg for ledd nummer $n$ i ei geometrisk rekke. Eit døme på ei uendeleg geometrisk rekke kan vere

$3+9+27+81+243+729+2187+6561+...$

Vi ser at  $a_1=3$, og vi kan finne $k$ ved å dele kva ledd som helst med det førre. Vi vel å dele $a_2$ på $a_1$:

$k=\frac{a_2}{a_1}=\frac{9}{3}=3$

Summen av ei endeleg geometrisk rekke

For geometriske rekker kan vi òg finne ein formel for summen av dei $n$ første ledda. Vi finn først summen av dei 5 første ledda.

Vi har at

$\begin{array}{rcl}{S}_5& = & a_1+a_2+a_3+a_4+a_5\\ & & \\ & =& a_1+a_1·k+a_1·k^2+a_1·k^3+a_1·k^4\end{array}$

Vi multipliserer begge sidene i likninga med $k$:

$\begin{array}{rcl}k·S_5& = & k·(a_1+a_1·k+a_1·k^2+a_1·k^3+a_1·k^4)\\ & & \\ & =& a_1·k+a_1·k^2+a_1·k^3+a_1·k^4+a_1·k^5\end{array}$

Vi finn så differansen mellom $k·S_5 \mathrm{og} S_5$:

$\begin{array}{rcl}k·S_5-S_5 & =& a_1·k+a_1·k^2+a_1·k^3+a_1·k^4+a_1·k^5\\ & & -(a_1+a_1·k+a_1·k^2+a_1·k^3+a_1·k^4)\\ & =& \cancel{ a_1·k}+\cancel{a_1·k^2}+\cancel{a_1·k^3}+\cancel{a_1·k^4}+a_1·k^5\\ & & -a_1-\cancel{a_1·k}-\cancel{a_1·k^2}-\cancel{a_1·k^3}-\cancel{a_1·k^4}\end{array}$

Her opptrer dei fleste ledda i par der vi har ledd med same verdi, men motsett forteikn. Det gjer at dei fell bort. Dette gir

$\begin{array}{rcl}k·S_5-S_5& = & a_1·k^5-a_1\\ & & \\ S_5(k-1)& =& a_1(k^5-1)\\ & & \\ S_5& =& a_1·\frac{k^5-1}{k-1}\end{array}$

Vi kan ikkje ha ein brøk med null i nemnaren. Derfor gjeld formelen berre når  $k\ne 1$. Dersom  $k=1$, blir alle ledda i rekka like. Summen av rekka blir då  $S_5=5·a_1$.

Resonnementet over gjeld på same måte om vi byter ut talet på ledd i rekka med kva som helst anna naturleg tal enn 5. Vi får derfor formelen under.

Denne generelle formelen skal du utleie i ei oppgåve.

Reknedøme

Vi skal sjå på eit døme der vi får vite at vi har ei aritmetisk rekke der  $a_1=5$  og  $d =7$. Først skal vi rekne ut $S_8$ ved hjelp av formelen vi viste over. Etterpå skal vi finne ut om 495 er eit ledd i rekka, og om det finst ein $n$ slik at  $S_n=495$.

For å finne $S_8$ treng vi å finne $a_8$. Den enklaste måten å gjere det på er å først finne $a_n$:

$\begin{array}{rcl}{a}_n & =& a_1+d\left(n-1\right)\\ & =& 5+7\left(n-1\right)\\ & =& 5+7n-7\\ & =& 7n-2\\ a_8 & =& 7·8-2\\ & =& 56-2=54\end{array}$

Så set vi inn i formelen for $S_8$:

$\begin{array}{rcl}{S}_8 & =& 8·\frac{a_1+a_8}{2}\\ & =& \frac{8·(5+54)}{2}\\ & =& 4·59\\ & =& 236\end{array}$

For å kunne finne ut om eit tal er eit ledd i ei rekke (eller ei følge), kan vi setje den eksplisitte formelen for $a_n$ lik talet, her 495, og vi løyser likninga. Dersom vi får ein heiltalig $n$, betyr det at 495 er eit ledd i rekka.

På same måte må vi finne ein heiltalig $n$ som løysing på likninga  $S_n=495$  for at vi kan ha ein slik sum.

Tenk gjennom kvifor vi må ha heile $n$ før du les vidare!

Vi set $a_n$ lik 495 og løyser likninga:

$\begin{array}{rcl}7n-2 & =& 495\\ 7n & =& 497\\ n & =& \frac{497}{7}\\ n & =& 71\end{array}$

Vi ser at vi får ein heiltalig $n$ og dermed har vi at 495 er eit ledd i rekka. Vi ser òg at det er ledd nummer 71.

Vi sjekkar om det finst ein $n$ slik at vi har  $S_n=495$:

$\begin{array}{rcl}{S}_n & =& \frac{n·\left(a_1+a_n\right)}{2}\\ & =& \frac{n·\left(5+7n-2\right)}{2}\\ & =& \frac{n·\left(7n+3\right)}{2}\\ 495 & =& \frac{7n^2+3n}{2}\\ 990 & =& 7n^2+3n\\ & & \\ & & \end{array}$

Vi løyser likninga i GeoGebra:

Vi ser at vi ikkje får heile tal som løysingar, og dermed kan vi slå fast at vi ikkje har ein slik $n$. Det vil seie det same som at summen av rekka vår aldri kan bli 495.

Film om aritmetiske talrekker

Film om geometriske rekker