Oppgave

Hva er en stokastisk variabel?

Her kan du jobbe med oppgaver som handler om stokastiske variabler.

4.3.1

a) Forklar, med dine egne ord, til en av dine medelever hva som menes med en stokastisk variabel.

b) Gi tre eksempler på stokastiske forsøk, og forklar hva som kan være en stokastisk variabel, i hvert av eksemplene.

Løsning

Her finnes det mange eksempler, men vi kan bidra med tre (husk at det finnes mange flere, og at vi kan lage ulike stokastiske variabler i hvert forsøk):

Eksempel 1:
– forsøk: kaste to mynter
– variabel: antall krone

Eksempel 2:
– forsøk: trille terninger
– variabel: antall toere

Eksempel 3:
– forsøk: tilfeldig trekning av elever i en klasse
– variabel: antall jenter

4.3.2

Vi definerer den stokastiske variabelen $X$ som antallet mynt når vi kaster to femkroner.

a) Hvilke verdier kan $X$ ha i dette tilfellet?

Løsning

$X$ kan ha verdiene 0, 1 eller 2.

b) Finn sannsynlighetsfordelingen til den stokastiske variabelen $X$ .

Løsning

Denne får den samme fordelingen som kast av to tikroner:

X	0	1	2
$P (X = k)$	0,25	0,5	0,25

c) Finn $P (X = 1)$ .

Løsning

Vi leser av tabellen og ser at $P (X = 1) = 0, 5$ .

d) Finn $P (X \geq 0)$ .

Løsning

Vi ser at $X$ må være større enn eller lik 0, altså er sannsynligheten lik 1.

e) Hvilken verdi skal summen av sannsynlighetene til en stokastisk variabel ha?

Løsning

Summen av sannsynlighetene til en stokastisk variabel skal alltid bli 1, det vil si 100 %.

4.3.3

Vi definerer den stokastiske variabelen $X$ som antallet krone ved kast av tre mynter. Tabellen viser sannsynlighetsfordelingen for $X$ .

X	0	1	2	3
$P (X = k)$	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$

a) Finn $P (X < 1)$ .

Løsning

$P (X < 1) = P (X = 0) = \frac{1}{8}$

b) Finn $P (X > 1)$ .

Løsning

$P (X > 1) = P (X = 2) + P (X = 3) = \frac{3}{8} + \frac{1}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

c) Hvor stor sannsynlighet har du for å få mer enn én krone når du kaster tre mynter?

Løsning

Det var denne sannsynligheten vi fant i b). Det er 50 % sannsynlighet for å få mer enn én krone når man kaster tre femkroner.

4.3.4

På en spesiell terning er det tre toere, én firer og fire seksere. Vi kaster terningen én gang. Vi lar $X$ være antallet øyne terningen viser.

a) Finn sannsynlighetsfordelingen til $X$ .

Løsning

X	2	4	6
$P (X = k)$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{2}$

b) Finn $P (X \leq 4)$ .

Løsning

$P (X \leq 4) = P (X = 2) + P (X = 4) = \frac{3}{8} + \frac{1}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

c) Finn $1 - P (X = 6)$ .

Løsning

$1 - P (X = 6) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

4.3.5

Sannsynlighetsfordelingen til en stokastisk variabel $X$ er gitt ved:

X	2	4	8	12
$P (X = k)$	0,35	0,20	a	0,30

a) Finn verdien $a$ .

Løsning

Summen av sannsynlighetene i tabellen skal være 1. Vi får dermed:

$a = 1 - (0, 35 + 0, 20 + 0, 30) = 1 - 0, 85 = 0, 15$

b) Finn $P (X > 2)$ .

Løsning

$P (X > 2) = 1 - P (X = 2) = 1 - 0, 35 = 0, 65$

Stokastiske forsøk

4.3.1

4.3.2

4.3.3

4.3.4

4.3.5