Oppgave

Interaktivt innhold

Koordinatsystem i tre dimensjoner. Avstand mellom punkter

Her kan du jobbe med oppgaver om punkter i et tredimensjonalt koordinatsystem. Nederst på siden kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.

Oppgave 1

a) Tegn en skisse for hånd av et koordinatsystem med tre akser, $x$ , $y$ og $z$ . Skriv på tall på aksene.

Løsning

Skissen kan for eksempel se ut som på bildet.

Tredimensjonalt koordinatsystem som er tegnet for x-verdier mellom minus 2 og 7, y-verdier mellom minus 4 og 5 og z-verdier mellom minus 2 og 5. Illustrasjon. — Tredimensjonalt koordinatsystem

b) Skriv opp koordinatene til 2 vilkårlige punkter som ligger på hver av de tre aksene.

Tegn punktene inn på skissen fra oppgave a).

Tegn punktene i 3D-grafikkfeltet i GeoGebra ved å skrive dem inn i algebrafeltet. Dra i koordinatsystemet med musepekeren for å se punktene fra flere sider.

Løsning

Punkter som ligger på $x$ -aksen, må ha $y$ - og $z$ -koordinat lik 0. Vi velger $(5, 0, 0)$ og $(- 2, 0, 0)$ .

Punkter som ligger på $y$ -aksen, må ha $x$ - og $z$ -koordinat lik 0. Vi velger $(0, 4, 0)$ og $(0, - 3, 0)$ .

Punkter som ligger på $z$ -aksen, må ha $x$ - og $y$ -koordinat lik 0. Vi velger $(0, 0, 3)$ og $(0, 0, - 2)$ .

Tredimensjonalt koordinatsystem. Totalt 6 punkter, 2 på hver av de tre koordinataksene, er tegnet inn. Koordinatene til punktene er beskrevet i teksten på siden. Illustrasjon. — Punkter på x-, y- og z-aksen

c) Skriv opp koordinatene til 2 vilkårlige punkter som ligger i

$x y$ -planet
$x z$ -planet
$y z$ -planet

Tegn punktene inn for hånd på en ny skisse av et tredimensjonalt koordinatsystem.

Tegn punktene i 3D-grafikkfeltet i GeoGebra ved å skrive dem inn i algebrafeltet. Dra i koordinatsystemet med musepekeren for å se punktene fra flere sider.

Løsning

I $x y$ -planet må $z$ -koordinaten være lik 0. Vi velger punktene $(5, 2, 0)$ og $(0, 4, 0)$ .

I $x z$ -planet må $y$ -koordinaten være lik 0. Vi velger punktene $(- 1, 0, - 2)$ og $(- 2, 0, 1)$ .

I $y z$ -planet må $x$ -koordinaten være lik 0. Vi velger punktene $(0, 2, - 2)$ og $(0, - 3, 1)$ .

Tredimensjonalt koordinatsystem der totalt 6 punkter, 2 i hvert av de tre koordinatplanene, er tegnet inn. Koordinatene til punktene er beskrevet i teksten på siden. Illustrasjon. — Punkter i xy-, xz- og yz-planet

Oppgave 2

a) Skriv opp koordinatene til 2 vilkårlige punkter som ligger i både $x y$ -planet og i $x z$ -planet.

Løsning

$x y$ -planet og $x z$ -planet skjærer hverandre i ei linje – $x$ -aksen. Vi velger punktene $(5, 0, 0)$ og $(- 2, 0, 0)$ fra oppgave 1 b) over.

b) Skriv opp koordinatene til 2 vilkårlige punkter som ligger i både $x y$ -planet og i $y z$ -planet.

Løsning

$x y$ -planet og $y z$ -planet skjærer hverandre i ei linje – $y$ -aksen. Vi velger punktene $(0, 4, 0)$ og $(0, - 3, 0)$ fra oppgave 1 b) over.

c) Skriv opp koordinatene til 2 vilkårlige punkter som ligger i både $x z$ -planet og i $y z$ -planet.

Løsning

$x z$ -planet og $y z$ -planet skjærer hverandre i ei linje – $z$ -aksen. Vi velger punktene $(0, 0, 3)$ og $(0, 0, - 2)$ fra oppgave 1 b) over.

d) Skriv opp koordinatene til 2 vilkårlige punkter som ligger i både $x y$ -planet, $x z$ -planet og i $y z$ -planet.

Løsning

De tre koordinatplanene møtes i ett punkt: origo. Det finnes derfor ikke to punkter som oppfyller kriteriene, bare ett.

Oppgave 3

Tegn punktene $A (1, 1, 0)$ og $B (5, 4, 0)$ i GeoGebra.

a) Hvilket koordinatplan ligger punktene i?

Løsning

Siden $z$ -koordinatene er 0, vil begge punktene ligge i $x y$ -planet.

b) Finn uten hjelpemidler et nytt punkt $C$ i $x y$ -planet slik at punktet danner en rettvinklet trekant med $A$ og $B$ . Kontroller at resultatet stemmer, ved å tegne punktet og bruke vinkelverktøyet i GeoGebra.

Løsning

Punktet $C$ kan for eksempel ha $x$ -koordinaten til $B$ og $y$ -koordinaten til $A$ , det vil si at $C = (5, 1, 0)$ .

Finner du flere løsninger?

c) Finn uten hjelpemidler et nytt punkt $D$ utenfor $x y$ -planet slik at punktet danner en rettvinklet trekant med $A$ og $B$ . Kontroller at resultatet stemmer, ved å tegne punktet og bruke vinkelverktøyet i GeoGebra.

Løsning

Dersom punktet $D$ ligger rett over enten $A$ eller $B$ , vil de tre punktene utgjøre en rettvinklet trekant. Hvis $D$ ligger for eksempel rett over $A$ med avstand 2, betyr det at koordinatene til $D$ er lik koordinatene til $A$ med unntak av at $z$ -koordinaten til $D$ må være 2. Vi får at $D = (1, 1, 2)$ .

Oppgave 4

Finn koordinatene til punktet i det interaktive GeoGebra-arket nedenfor.

Tips til oppgaven

Du kan snu på koordinatsystemet ved å dra i det.

Last ned simuleringen her hvis den ikke vises.(GGB)

Løsning

Punktet har koordinatene $(- 2, 3, 1)$ .

Oppgave 5

Vi skal komme fram til et uttrykk eller en formel for avstanden $O P$ fra origo til punktet $P (x, y, z)$ . I den interaktive figuren nedenfor kan du rotere på koordinatsystemet.

Last ned simuleringen her hvis den ikke vises.(GGB)

a) Skriv opp koordinatene til punktene $C$ og $D$ , og finn lengden av linjestykkene $O D$ og $C D$ .

Tips til oppgaven

Ta utgangspunkt i at $P = (x, y, z)$ .

Løsning

Siden $C$ ligger i $x y$ -planet rett under punktet $P$ , må $z$ -koordinaten til $C$ være lik 0, mens de to andre koordinatene må være lik tilsvarende koordinater i $P$ . Derfor får vi

$C = (x, y, 0)$

Siden $D$ ligger på $x$ -aksen, må $y$ - og $z$ -koordinaten til punktet være 0. Linjestykket $C D$ står normalt (vinkelrett) på $x$ -aksen. Da må de to punktene $C$ og $D$ ha samme $x$ -koordinat. Derfor får vi

$D = (x, 0, 0)$

$O D$ har derfor lengde lik $| x |$ . Siden $C D$ er parallell med $y$ -aksen, må lengden av linjestykket være lik forskjellen i $y$ -koordinater mellom $C$ og $D$ , altså $| y |$ . Vi får

$\begin{array}{rcl} O D & = & | x | \\ C D & = & | y | \end{array}$

b) Finn et uttrykk for avstanden $O C$ fra origo til punktet $C$ .

Løsning

Vi kan bruke pytagorassetningen på linjestykkene $O C$ , $O D$ og $C D$ siden de utgjør en rettvinklet trekant. Da får vi

$O C = \sqrt{O D^{2} + C D^{2}} = \sqrt{{|x|}^{2} + {|y|}^{2}} = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

c) Finn et uttrykk for avstanden $O P$ fra origo til punktet $P$ ved å bruke resultatet i oppgave b).

Løsning

Vi kan igjen bruke pytagorassetningen på linjestykkene $O P, O C$ og $C P$ . Siden $C P$ er parallell med $z$ -aksen, må lengden av linjestykket være lik forskjellen i $z$ -koordinater mellom $C$ og $P$ , altså $| z |$ . Vi får

$O P = \sqrt{O C^{2} + C P^{2}} = \sqrt{{(\sqrt{x^{2} + y^{2}})}^{2} + {|z|}^{2}} = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$

Oppgave 6

Vi skal komme fram til et uttrykk eller en formel for avstanden mellom to punkter $A (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ og $B (x_{2}, y_{2}, z_{2})$ . I den interaktive figuren nedenfor kan du rotere på koordinatsystemet.

Last ned simuleringen her hvis den ikke vises.(GGB)

Finn en slik formel.

Tips til oppgaven

Vi kan bruke samme framgangsmåte som i forrige oppgave.

Løsning

Linjestykket $A D$ er parallelt med $x$ -aksen og vil derfor ha lengde lik absoluttverdien av forskjellen i $x$ -koordinater. Tilsvarende får vi for linjestykket $C D$ . Vi får

$\begin{array}{rcl} A D & = & |x_{2} - x_{1}| \\ C D & = & |y_{2} - y_{1}| \end{array}$

Dette gir oss

$\begin{array}{rcl} A C & = & \sqrt{A D^{2} + C D^{2}} \\ = & \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}} \end{array}$

Tilsvarende får vi at $B C = |z_{2} - z_{1}|$ . Dersom vi bruker pytagorassetningen på nytt, får vi

$\begin{array}{rcl} A B & = & \sqrt{A C^{2} + B C^{2}} \\ = & \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2} + {(z_{2} - z_{1})}^{2}} \end{array}$

Oppgave 7

a) Hva er avstanden fra punktet $A (- 5, 4, 3)$ til hvert av de tre koordinatplanene?

Løsning

Med avstand menes alltid den korteste mulige avstanden. Avstanden fra $A$ til $x y$ -planet er lik avstanden fra punktet $A$ til punktet $B$ på figuren nedenfor. Vi kan bruke formelen vi fant i forrige oppgave, men siden $B$ ligger i $x y$ -planet rett under $A$ , blir avstanden lik absoluttverdien av $z$ -koordinaten til $A$ . Se figuren nedenfor.

Tredimensjonalt koordinatsystem der punktet A med koordinatene minus 5, 4 og 3 er tegnet inn. Punktet B ligger i xy-planet rett under punktet A og har koordinatene minus 5, 4 og 0. Linjene fra B vinkelrett på x-aksen og y-aksen er markert. Illustrasjon. — Avstand mellom et punkt og xy-planet

Ved å gjøre tilsvarende betraktning med de to andre koordinatplanene får vi at avstanden fra $A$ til $x z$ -planet blir lik absoluttverdien av $y$ -koordinaten til $A$ , og avstanden fra $A$ til $y z$ -planet blir lik absoluttverdien til $z$ -koordinaten til $A$ . Dette gir disse resultatene:

Avstand fra $A$ til $x y$ -planet: $|z| = 3$
Avstand fra $A$ til $x z$ -planet: $|y| = 4$
Avstand fra $A$ til $y z$ -planet: $|x| = 5$

b) Hva er avstanden fra punktet $A$ til hver av de tre koordinataksene?

Løsning

Vi begynner med avstanden til $x$ -aksen. Den korteste mulige avstanden til $x$ -aksen blir lengden av linjestykket $A P_{x}$ på figuren nedenfor.

Tredimensjonalt koordinatsystem der punktet A med koordinatene minus 5, 4 og 3, punktet B med koordinatene minus 5, 4 og 0, punktet P X med koordinatene minus 5, 0 og 0 og punktet P Y med koordinatene minus 5, 4 og 0 er tegnet inn. Flere av linjestykkene mellom punktene er tegnet inn, og rette vinkler er markert. Illustrasjon. — Avstand fra punktet A til x- og y-koordinaten

Sammen med punktet $B$ danner punktene $A$ og $P_{x}$ en rettvinklet trekant der katetene har lengde lik $|y|$ og $|z|$ . Det betyr at avstanden fra $A$ til $x$ -aksen blir

$\sqrt{y^{2} + z^{2}} = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = \sqrt{25} = 5$

Tilsvarende blir avstanden fra $A$ til $y$ -aksen lik lengden av linjestykket $A P_{y}$ :

$\sqrt{x^{2} + z^{2}} = \sqrt{{(- 5)}^{2} + 3^{2}} = \sqrt{34}$

Vi kan tilsvarende tenke oss et punkt $P_{z}$ på $z$ -aksen slik at linjestykket $A P_{z}$ står vinkelrett på $z$ -aksen. Avstanden fra $A$ til $z$ -aksen blir derfor

$\sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{{(- 5)}^{2} + 4^{2}} = \sqrt{41}$

c) Hva er avstanden fra punktet $A$ til origo?

Løsning

Her kan vi bruke formelen for avstand mellom et punkt og origo. Avstanden blir

$\begin{array}{rcl} \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} & = & \sqrt{{(- 5)}^{2} + 4^{2} + 3^{2}} \\ = & \sqrt{50} \\ = & \sqrt{2 \cdot 25} \\ = & 5 \sqrt{2} \end{array}$

Oppgave 8

Vi har gitt punktene $A (3, 2, 1), B (- 1, 3, \frac{1}{2})$ og $C (4, - 2, - 1)$ .

a) Finn avstanden til origo fra hvert punkt.

Løsning

Her bruker vi avstandsformelen $\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}$ . Vi kaller origo $O$ .

Punkt $A$ :

$O A = \sqrt{3^{2} + 2^{2} + 1^{2}} = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14}$

Punkt $B$ :

$O B = \sqrt{{(- 1)}^{2} + 3^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}} = \sqrt{1 + 9 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{41}{4}} = \frac{1}{2} \sqrt{41}$

Punkt $C$ :

$O A = \sqrt{4^{2} + {(- 2)}^{2} + {(- 1)}^{2}} = \sqrt{16 + 4 + 1} = \sqrt{21}$

b) Finn lengden av linjestykkene $A B, A C$ og $B C$ .

Løsning

Her bruker vi avstandsformelen $\sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2} + {(z_{2} - z_{1})}^{2}}$

$\begin{array}{rcl} A B & = & \sqrt{{(- 1 - 3)}^{2} + {(3 - 2)}^{2} + {(\frac{1}{2} - 1)}^{2}} \\ = & \sqrt{16 + 1 + \frac{1}{4}} \\ = & \sqrt{\frac{69}{4}} \\ = & \frac{1}{2} \sqrt{69} \end{array}$

$\begin{array}{rcl} A C & = & \sqrt{{(4 - 3)}^{2} + {(- 2 - 2)}^{2} + {(- 1 - 1)}^{2}} \\ = & \sqrt{1 + 16 + 4} \\ = & \sqrt{21} \end{array}$

$\begin{array}{rcl} B C & = & \sqrt{{(4 - (- 1))}^{2} + {(- 2 - 3)}^{2} + {(- 1 - \frac{1}{2})}^{2}} \\ = & \sqrt{25 + 25 + \frac{9}{4}} \\ = & \sqrt{\frac{209}{4}} \\ = & \frac{1}{2} \sqrt{209} \end{array}$

c) Kontroller svarene i a) og b) med CAS.

Løsning

Skjermutklipp fra CAS-feltet i GeoGebra. På linjene 1, 2, 3 og 4 er de fire punktene O, A, B og C i oppgaven definert. O har koordinatene 0, 0 og 0, A har koordinatene 3, 2 og 1, B har koordinatene minus 1, 3 og z-koordinat en halv. C har koordinatene 4, minus 2 og minus 1. På linje 5 er det skrevet inn ei liste med kommandoene Avstand parentes O komma, A parentes slutt, Avstand parentes O komma, B parentes slutt og Avstand parentes O komma, C parentes slutt. Svarene er ei liste med rot 14, ei halv rot 41 og rot 21. På linje 6 er det skrevet inn ei liste med kommandoene Avstand parentes A komma, B parentes slutt, Avstand parentes A komma, C parentes slutt og Avstand parentes B komma, C parentes slutt. Svarene er ei liste med ei halv rot 69, rot 21 og ei halv rot 209.

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.

Vektorer i rommet