Fag

Fagstoff

Video

Grunnleggende om logikk og bevisføring

Her repeterer vi noe av det mest grunnleggende i bevisføring og jobber videre med det.

I emnet "Implikasjon, ekvivalens og noen matematiske bevistyper" i 1T kunne du lære det mest grunnleggende om matematisk bevisføring. I denne artikkelen vil vi gjenta noe av det som står der og også gå gjennom en ny type bevis.

Implikasjon og ekvivalens

Vi ser på de to matematiske utsagnene:

$\begin{array}{rcl} p : 2 x + 4 & = & 8 \\ q : x & = & 2 \end{array}$

Vi kan si at dersom $p$ er sann, må også $q$ være sann. Vi kan også si at $p$ medfører, eller impliserer, $q$ . Dette skriver vi med matematiske symboler slik:

$p \Rightarrow q$

Dette utsagnet leser vi som " $p$ medfører $q$ ", eller som " $2 x + 4 = 8$ medfører at $x = 2$ ".

Symbolet " $\Rightarrow$ " kaller vi ei implikasjonspil. Denne kan gå enten fra venstre mot høyre eller fra høyre mot venstre. Det vil si at vi like gjerne kunne ha skrevet $q \Leftarrow p$ . Vi vil likevel lese dette som at " $p$ medfører $q$ ". For leservennlighetens skyld er det vanlig å skrive i den rekkefølgen vi leser, med mindre det er gode grunner til å gjøre noe annet. Pilene kan for øvrig også skrives oppover eller nedover.

Er det sånn at $q \Rightarrow p$ også?

Svar

Ja, det er det. Dersom det er sant at $x = 2$ , må det også være sant at $2 x + 4 = 8$ .

I en slik situasjon der vi kan si at implikasjonen går begge veier, har vi det vi kaller for en ekvivalens. Vi har et eget symbol for dette, ei ekvivalenspil, som er en kombinasjon av de to implikasjonspilene. Vi kan skrive

$p \Leftrightarrow q$

Dette leses som " $p$ er ekvivalent med $q$ " og betyr at ingen av utsagnene kan være sanne uten at det andre også er sant.

Vi ser på to nye utsagn:

$\begin{array}{rcl} p : (x - 2)^{2} & = & 16 \\ q : x & = & 6 \end{array}$

Hvilke av utsagnene under er sanne? Tenk nøye gjennom det før du klikker på boksen.

$p \Rightarrow q$
$q \Rightarrow p$
$q \Leftarrow p$
$p \Leftarrow q$
$p \Leftrightarrow q$

Svar

De rette utsagnene er 2 og 4. Disse to utsagnene er egentlig det samme utsagnet, som sier at " $q$ medfører $p$ ".

Vi har at $q : x = 6$ . Dersom dette er sant, må vi også ha at $p$ er sant. Det kan vi vise ved å sette inn $x = 6$ i $p$ :

$\begin{array}{rcl} (x - 2)^{2} & = & (6 - 2)^{2} \\ = & 4^{2} \\ = & 16 \end{array}$

Men hvorfor har vi ikke implikasjon den andre veien? Vi løser likningen i utsagn $p$ :

$\begin{array}{rcl} (x - 2)^{2} & = & 16 \\ x - 2 & = & \pm 4 \\ x & = & 6 \lor x = - 2 \end{array}$

Her ser vi at dersom $p$ er sant, behøver allikevel ikke $q$ å være sant. Vi kan også ha at $x = - 2$ . Her har vi dermed ikke noen ekvivalens, men bare en implikasjon den ene veien.

Når vi skal sjekke om vi har ekvivalens, må vi huske å sjekke om implikasjonen går begge veier!

Ulike typer bevis

Det finnes mange måter å føre matematiske bevis på. I 1T fikk du lære om direkte bevis, kontrapositive bevis og bevis med moteksempel. Du kan lese mer om disse bevistypene i artikkelen "Noen matematiske bevistyper". Direkte bevis er nok det du har møtt mest av, og som regel er det det du har gjort i oppgaver der det står "vis at ...". I R2 skal du få møte flere former for bevis, blant annet induksjonsbevis, som kommer i en senere artikkel.

Bevis ved selvmotsigelse

Her skal vi vise en bevistype som vi kan kalle bevis ved selvmotsigelse. Det innebærer at vi i stedet for å bevise at noe er sant, prøver å bevise at det motsatte er sant. Mot slutten av beviset vil vi da komme fram til en selvmotsigelse, og det opprinnelige utsagnet er bevist.

Påstand: $\sqrt{3}$ er et irrasjonalt tall.

Hva betyr det at et tall er irrasjonalt, igjen?

Et rasjonalt tall er et tall som kan skrives som en brøk med hele tall i telleren og nevneren. Det vil si at et irrasjonalt tall er et tall som ikke kan skrives som en brøk med hele tall i telleren og nevneren.

To vanlige eksempler på irrasjonale tall er $π$ og $e$ .

Vi ønsker å bevise at $\sqrt{3}$ er irrasjonalt ved å prøve å bevise det motsatte, nemlig at det faktisk er rasjonalt. Dersom det er rasjonalt, kan vi skrive $\sqrt{3}$ som en brøk med hele tall i telleren og nevneren. Vi tenker oss at vi forkorter brøken så langt vi kan, slik at telleren og nevneren ikke har noen felles faktorer.

Vi starter med å sette opp det første uttrykket, og så jobber vi oss nedover med implikasjoner og ekvivalenser:

$\begin{array}{rcl} \sqrt{3} & = & \frac{a}{b} \\ ⇓ \\ 3 & = & \frac{a^{2}}{b^{2}} \\ ⇕ \\ 3 b^{2} & = & a^{2} \end{array}$

For at $a^{2}$ skal kunne være lik $3 b^{2}$ , må vi ha at 3 er en faktor i $a$ . Hvorfor det, tror du?

Forklaring

Hvis to tall skal være like, må de også bestå av de samme faktorene. Det betyr at $a^{2}$ må inneholde faktoren 3. Men for at $a^{2}$ skal kunne inneholde faktoren 3, må også $a$ inneholde faktoren 3. Dette er fordi at alle faktorer i et kvadrattall kommer i par (tenk gjennom hvorfor), og dermed må en faktor i et kvadrattall som ikke selv er et kvadrattall, også være en faktor i kvadratrota.

Merk at vi nå hele tida snakker om heltallige røtter.

Siden 3 er en faktor i $a$ , kan vi sette $a = 3 k$ . Vi fortsetter forsøket på å bevise at $\sqrt{3}$ er et rasjonalt tall:

$\begin{array}{rcl} 3 b^{2} & = & (3 k)^{2} \\ ⇕ \\ 3 b^{2} & = & 9 k^{2} \\ ⇕ \\ b^{2} & = & 3 k^{2} \end{array}$

Nå har vi vist at også $b$ må inneholde faktoren 3. Men husk at vi startet med en antagelse om at $a$ og $b$ ikke hadde felles faktorer. Dermed har vi en selvmotsigelse, og vi har bevist at $\sqrt{3}$ ikke kan være et rasjonalt tall. Da er den eneste mulige slutningen at det er et irrasjonalt tall.

Film om implikasjon og ekvivalens

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY 4.0