Grunnleggende om logikk og bevisføring

Vi beviser implikasjonen fra høyre mot venstre med et direkte bevis:

Vi setter $a = k·m$.

Dette gir

$a^2 = {\left(k·m\right)}^2=k^2·m^2$

Dermed har vi bevist at

$k$ er faktor i $a$    $\Rightarrow$   $k$ er faktor i $a^2$

Vi viser at implikasjonen fra venstre mot høyre ikke gjelder ved et moteksempel:

$a^2=36, k =4$

$\begin{array}{rcl}{a}^2 & =& 36\\ & =& 4·9\\ a & =& \sqrt{36}\\ & =& 6\\ & =& 2·3\end{array}$

Vi ser at 4 er en faktor i $a^2$ uten å være en faktor i $a$.

Den ene delen av beviset er den samme som i a), så vi har at

$k$ er faktor i $a$    $\Rightarrow$   $k$ er faktor i $a^2$

Her gjelder også implikasjonen den andre veien. Vi beviser dette med et kontrapositivt bevis og beviser påstanden:

$k$ er ikke faktor i $a$   $\Rightarrow$   $k$ er ikke faktor i $a^2$

Vi faktoriserer $a$ i alle primtallfaktorene tallet inneholder. Husk at ingen av disse faktorene kan være $k$, og heller ikke kan produktet av noen av disse faktorene være $k$. Noen kan være like, men det behøver vi ikke skille mellom.

$\begin{array}{rcl}a & =& p_1·p_2·p_3 · ... ·p_n\\ & \Downarrow & \\ a^2 & =& {p_1}^2·{p_2}^2·{p_3}^2 · ... · {p_n}^2\\ & & \end{array}$

Vi ser at alle primtallsfaktorene i $a^2$ kan finnes igjen i $a$. Så lenge $k$ ikke inneholder kvadratet av en av $p$-faktorene, kommer vi aldri i den situasjonen at $k$ er faktor i $a^2$, men ikke i $a$. For eksempel vil $k={p_1}^2·p_2$ være faktor i $a^2$, men ikke i $a$ (dersom ingen av de andre faktorene i $a$ er lik $p_1$). Ingen av primtallsfaktorene i $k$ kan derfor være like. Dermed har vi bevist at dersom $k$ ikke er en faktor i $a$, er $k$ heller ikke faktor i $a^2$ når $k$ ikke har et kvadrattall som faktor.

Dermed gjelder ekvivalensen.

Vi sjekker implikasjonen begge veier:

Fra venstre mot høyre:

$\begin{array}{rcl}\sqrt{5+x} & =& 2\\ & \Downarrow & \\ 5+x & =& 4\\ & \Updownarrow & \\ x & =& 4-5\\ & \Updownarrow & \\ x & =& -1\end{array}$

Vi sjekker fra høyre mot venstre:

$\sqrt{5+\left(-1\right)}=\sqrt{4}=2$

Vi ser at vi har implikasjon begge veier, og ekvivalensen gjelder.

Vi sjekker først fra venstre mot høyre:

$(4-3{)}^2 = 1^2 = 1$

Denne implikasjonen holder. Så sjekker vi fra høyre mot venstre:

$\begin{array}{rcl}{\left(x-3\right)}^2 & =& 1\\ x^2-6x+9-1 & =& 0\\ x^2-6x+8 & =& 0\\ \left(x-4\right)\left(x-2\right) & =& 0\\ x & =& 4 \vee x = 2\end{array}$

Vi ser at vi får to ulike mulige løsninger, så vi har ikke implikasjon fra høyre mot venstre.

Ekvivalensen holder ikke.

Vi følger mønsteret fra teorisiden og beviser dette ved å anta det motsatte for så å komme fram til en selvmotsigelse. Vi starter med å sette $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$, der $a$ og $b$ ikke har felles faktorer:

$\begin{array}{rcl}\sqrt{2} & =& \frac{a}{b}\\ & \Downarrow & \\ 2 & =& \frac{a^2}{b^2}\\ & \Updownarrow & \\ a^2 & =& 2b^2\end{array}$

Dette betyr at dersom $\sqrt{2}=\frac{a}{b}$, er $a^2$ et partall. Det betyr at også $a$ er et partall, og vi kan skrive $a=2k$:

$\begin{array}{rcl}{\left(2k\right)}^2 & =& 2b^2\\ & \Updownarrow & \\ 4k^2 & =& 2b^2\\ & \Updownarrow & \\ b^2 & =& 2k^2\end{array}$

Vi har nå kommet fram til at $b^2$, og dermed også $b$, er et partall. Men dette innebærer at både $a$ og $b$ inneholder faktoren 2, noe som er en selvmotsigelse. Vi har dermed bevist at $\sqrt{2}$ ikke kan være et rasjonalt tall. Det innebærer at $\sqrt{2}$ er irrasjonalt.

Kall det første tallet for $k$.

Vi kaller det første tallet for $k$, det andre for $k+1$ og det tredje for $k+2$. Vi legger sammen og får

$k+k+1+k+2=3k+3=3(k+1)$

Her ser vi at 3 er en faktor i summen uavhengig av hvilket tall vi har startet med, og dermed har vi bevist at summen av tre påfølgende tall alltid er delelig med 3.

Her holder det å finne et moteksempel. For eksempel er ikke $3+4+5+6 = 18$ delelig med 4.

Vi setter det ene oddetallet lik $2m+1$ og det andre oddetallet lik $2n+1$. Vi finner summen:

$\begin{array}{rcl}2m+1+2n+1 & =& 2m+2n+2\\ & =& 2(m+n+1)\end{array}$

Vi ser at dette kan skrives på formen $2k$, altså har vi et partall.

Vi setter det ene oddetallet lik $2n+1$ og det andre lik $2m+1$. Så finner vi produktet:

$\begin{array}{rcl}\left(2n+1\right)\left(2m+1\right) & =& 2n·2m+2n·1+1·2m+1·1\\ & =& 4nm+2n+2m+1\\ & =& 2\left(2nm+n+m\right)+1\end{array}$

Uttrykket som står inne i parentesen i nederste linje, er et heltall, og det betyr at produktet er på formen $2k+1$ og dermed et oddetall.