Oppgave

Ulikheter med eksponentialuttrykk og logaritmeuttrykk

Her finner du oppgaver til ulikheter med eksponentialuttrykk og logaritmeuttrykk. Nederst på siden kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.

Oppgave 1

Løs ulikhetene uten hjelpemidler.

a) $5^{x} > 125$

Løsning

$\begin{array}{rcl} 5^{x} & > & 125 \\ 5^{x} & > & 5^{3} \\ x & > & 3 \end{array}$

b) $4 \cdot 6^{x} < 36 \cdot 2^{x}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} 4 \cdot 6^{x} & < & 36 \cdot 2^{x} \\ \frac{6^{x}}{2^{x}} & < & \frac{36}{4} \\ \lg \frac{6^{x}}{2^{x}} & < & \lg 9 \\ \lg \frac{2^{x} \cdot 3^{x}}{2^{x}} & < & \lg 3^{2} \\ x \lg 3 & < & 2 \lg 3 \\ x & < & 2 \end{array}$

Kommentar: Vi trenger ikke snu ulikhetstegnet siden både $2^{x}$ og $\lg 3$ er større enn 0.

c) $300 000 \cdot {(\frac{1}{3})}^{x} < 100 000$

Løsning

$\begin{array}{rcl} 300 000 \cdot (\frac{1}{3})^{x} & < & 100 000 \\ (\frac{1}{3})^{x} & < & \frac{1 00 000}{3 00 000} \\ x \lg \frac{1}{3} & < & \lg \frac{1}{3} \end{array}$

$\lg \frac{1}{3}$ er negativ, derfor snur vi ulikhetstegnet.

$x > 1$

d) $3, 5 + \lg x > 6, 5$

Løsning

$\begin{array}{rcl} 3, 5 + \lg x & > & 6, 5 \\ \lg x & > & 3 \\ 10^{\lg x} & > & 10^{3} \\ x & > & 1 000 \end{array}$

e) $3 \ln x^{2} + 2 > 14$

Løsning

$\begin{array}{rcl} 3 \ln x^{2} + 2 & > & 14 \\ 3 \ln x^{2} & > & 12 \\ \ln x^{2} & > & 4 \\ x^{2} & > & e^{4} \\ x^{2} - {(e^{2})}^{2} & > & 0 \\ x & < & - e^{2} \lor x > e^{2} \end{array}$

Alternativ løsning med absoluttverdi:

$\begin{array}{rcl} 3 \ln x^{2} + 2 & > & 14 \\ 3 \cdot 2 \ln |x| & > & 12 \\ \ln |x| & > & 2 \\ | x | & > & e^{2} \\ x & < & - e^{2} \lor x > e^{2} \end{array}$

Oppgave 2

a) Vi har gitt ulikheten $(\lg x)^{2} + \lg x - 2 < 0$ .

1) For hvilke verdier av x er ulikheten gyldig?

Løsning

$\lg x$ er gyldig for $x > 0$ .

2) Løs ulikheten uten hjelpemidler.

Løsning

Vi løser først likningen $(\lg x)^{2} + \lg x - 2 = 0 .$

$\begin{array}{rcl} \lg x & = & \frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1} \\ \lg x & = & \frac{- 1 \pm 3}{2} \\ \lg x & = & 1 \lor \lg x = - 2 \\ x & = & 10^{1} \lor x = 10^{- 2} \\ x & = & 10 \lor x = 0, 01 \end{array}$

Det er bare i nullpunktene at uttrykket kan skifte fortegn. Vi undersøker fortegnet til uttrykket i intervallene $⟨ 0, 0.01 ⟩, ⟨ 0.01, 10 ⟩$ og $⟨ 10, \to ⟩$ .

For $x = 10^{- 3}$ får vi:

$(lg 10^{- 3})^{2} + \lg 10^{- 3} - 2 = (- 3)^{2} + (- 3) - 2 = 9 - 3 - 2 = 4$

Uttrykket er positivt.

For $x = 1$ får vi:

${(lg1)}^{2} + \lg 1 - 3 = 0^{2} + 1 \cdot 0 - 2 = - 2$

Uttrykket er negativt.

For $x = 10^{2}$ får vi:

$(\lg 1 0^{2})^{2} + \lg 10^{2} - 2 = (2)^{2} + 2 - 2 = 4$

Uttrykket er positivt.

Vi setter opp fortegnsskjema for uttrykket $(\lg x)^{2} + \lg x - 2$ :

Fortegnsskjema til uttrykket parentes lg x parentes slutt i andre pluss lg x minus 2 for x-verdier fra 0 og oppover. Fortegnslinja eksisterer ikke for x mindre eller lik 0, er heltrukken fra x er lik 0 til x er lik 0,01, stipla for x-verdier mellom 0,01 til 10, og heltrukken fra x er lik 10 og oppover. Illustrasjon.

Vi får at $(\lg x)^{2} + \lg x - 2 < 0$ når $x \in ⟨ 0.01, 10 ⟩$ .

b) Vi har gitt ulikheten $\ln (x + 3) + \ln x < \ln 4$ .

1) For hvilke verdier av x er ulikheten gyldig?

Løsning

$\ln (x + 3)$ er gyldig for $x > - 3$ , og $\ln x$ er gyldig for $x > 0$ . Det betyr at vi kun har løsning når $x > 0 .$

2) Løs ulikheten uten hjelpemidler.

Løsning

$\begin{array}{rcl} \ln (x + 3) + \ln x & < & \ln 4 \\ \ln ((x + 3) \cdot x) & < & \ln 4 \\ e^{\ln ((x + 3) \cdot x)} & < & e^{\ln 4} \\ (x + 3) \cdot x & < & 4 \\ x^{2} + 3 x & < & 4 \\ x^{2} + 3 x - 4 & < & 0 \end{array}$

Vi løser først likningen $x^{2} + 3 x - 4 = 0 .$

$\begin{array}{rcl} x & = & \frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 4)}}{2} \\ x & = & \frac{- 3 \pm 5}{2} \\ x & = & 1 \lor x = - 4 \end{array}$

Vi har da $x^{2} + 3 x - 4 = (x - 1) (x + 4) .$

Vi setter opp et fortegnsskjema for uttrykket $(x - 1) (x + 4) :$

Fortegnsskjema til uttrykket parentes x minus 1 parentes slutt multiplisert med parentes x pluss 4 parentes slutt for x-verdier mellom 0 og oppover. Fortegnslinja eksisterer ikke for x er lik 0, er stiplet fra x er lik 0 til x er lik 1 og er heltrukken for x-verdier mellom 1 og oppover. Illustrasjon.

Vi får at $\ln (x +3)+ \ln x < \ln 4$ når $x \in ⟨ 0, 1 ⟩$ .

c) Vi har gitt ulikheten $\lg (6 - x) + \lg x \leq \lg 5$ .

1) For hvilke verdier av x er ulikheten gyldig?

Løsning

$lg (6 - x)$ er gyldig for $x < 6$ , og $\lg x$ er gyldig for $x > 0 .$

Det betyr at vi kun kan ha løsning når $0 < x < 6 .$

2) Løs ulikheten uten hjelpemidler.

Løsning

$\begin{array}{rcl} \lg (6 - x) + \lg x & \leq & \lg 5 \\ \lg ((6 - x) \cdot (x)) & \leq & \lg 5 \\ 10^{\lg ((6 - x) \cdot x)} & \leq & 10^{\lg 5} \\ (6 - x) \cdot x & \leq & 5 \\ - x^{2} + 6 x - 5 & \leq & 0 \end{array}$

Vi løser først likningen:

$\begin{array}{rcl} - x^{2} + 6 x - 5 & = & 0 . \\ x & = & \frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 5)}}{2 \cdot (- 1)} \\ x & = & \frac{- 6 \pm 4}{- 2} \\ x & = & 1 \lor x = 5 \end{array}$

Vi setter opp et fortegnsskjema for uttrykket $- (x - 1) (x - 5) :$

Fortegnsskjema til uttrykket minus parentes x minus 1 parentes slutt multiplisert med parentes x minus 5 parentes slutt for x-verdier mellom 0 og 6. Fortegnslinja eksisterer ikke for x er lik 0, er stiplet fra x er lik 0 til x er lik 1, 0 når x er lik 1, heltrukken for x-verdier mellom 1 og 5, 0 når x er lik 5, stiplet fra x er lik 5 til x er lik 6 og eksisterer ikke for x er lik 6. Illustrasjon.

Vi får at $\lg (6 - x) + \lg x \leq \lg 5$ når $x \in ⟨ 0, 1] \cup [5, 6 ⟩$ .

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokument.