Fag

Fagstoff

Video

Eksponentiallikninger

Hvordan løser vi likninger av typen aˣ = b?

Hva er en eksponentiallikning?

Likninger med potensuttrykk der eksponenten er ukjent, kalles eksponentiallikninger. Vi kan bruke logaritmesetningene til å løse slike likninger.

Gitt eksponentiallikningen

$a^{x} = b$

Siden logaritmen til to like tall er like, er

$\lg a^{x} = \lg b$

Tredje logaritmesetning gir da at

$x \lg a = \lg b$

Det gir løsningen på eksponentiallikningen:

$x = \frac{\lg b}{\lg a}$

Her kan vi også like gjerne bruke den naturlige logaritmen.

Eksempel 1

Vi skal løse likningen

$2^{3 x - 1} = 16$

Vi løser likningen ved å bruke logaritmesetningene:

$\begin{array}{rcl} \lg (2^{3 x - 1}) & = & \lg 16 \\ (3 x - 1) lg2 & = & {lg2}^{4} \\ 3 x - 1 & = & \frac{4 lg2}{lg2} \\ 3 x & = & 5 \\ x & = & \frac{5}{3} \end{array}$

Eksempel 2

Fire norske tohundrelapper. Foto.

Anne har plassert 1 000 kroner på en konto i banken. Hvor lenge må pengene stå i banken før beløpet er fordoblet dersom hun får en rente på 6,0 prosent per år?

Vi finner vekstfaktoren først.

$100 % + 6 % = 106 % = 1, 06$

Vi kan da sette opp følgende likning der x er tida pengene må stå i banken:

$1 000 \cdot 1, 06^{x} = 2 \cdot 1 000$

Vi forsøker å løse likningen ved å bruke logaritmesetningene.

$\begin{array}{rcl} 1 000 \cdot 1, 06^{x} & = & 2 \cdot 1 000 \\ 1, 06^{x} & = & \frac{2 000}{1 000} \\ 1, 06^{x} & = & 2 \\ \lg 1, 06^{x} & = & \lg 2 \\ x \cdot \lg 1, 06 & = & \lg 2 \\ x & = & \frac{\lg 2}{\lg 1, 06} \end{array}$

Her må vi bruke et digitalt verktøy, eller en logaritmetabell, for å få en tilnærmet verdi. I praktiske oppgaver løser vi derfor eksponentiallikninger i et CAS-verktøy.

CAS-løsning med GeoGebra. På linje 1 er det skrevet inn 1000 multiplisert med 1,06 opphøyd i x er lik 2000. Svaret med N Løs er x er lik 11,9. Skjermutklipp.

Med CAS i GeoGebra får vi det tilnærmede svaret 11,9 som løsning på likningen.

Pengene må altså stå i omtrent 12 år i banken før beløpet er fordoblet.

Grafisk løsning av eksponentiallikningen i eksempelet med GeoGebra. Grafen til funksjonen f av x er lik 1000 multiplisert med 1,06 opphøyd i x er tegnet for x-verdier mellom 0 og 16. Linja y er lik 2000 er også tegnet. Skjæringspunktet mellom linja og grafen til f er markert og har koordinatene 11,9 og 2000. Skjermutklipp.

Vi kan også løse likningen grafisk. I koordinatsystemet har vi tegnet grafen til funksjonen f gitt ved $f (x) = 1 000 \cdot 1, 06^{x}$ og linja $y = 2 000$ og løst likningen $f (x) = 2 000$ grafisk.

I den første og den andre videoen nederst på siden får du en gjennomgang av dette eksempelet.

Eksempel 3

Vi antar at innbyggertallet i Småby vokser med 1,5 prosent hvert år. Det bor i dag 13 000 personer i Småby. Hvor mange år går det før innbyggertallet er 15 000?

Vi finner først vekstfaktoren.

$100 % + 1, 5 % = 101, 5 % = 1, 015$

Så setter vi opp og løser likningen $13 000 \cdot 1, 015^{x} = 15 000$ med CAS i GeoGebra.

CAS-løsning med GeoGebra. På linje 1 er det skrevet inn 13000 multiplisert med 1,015 opphøyd i x er lik 15000. Svaret med N Løs er x er lik 9,61. Skjermutklipp.

Innbyggertallet vil være 15 000 om snaue 10 år.

Eksempel 4

Kari kjøper en fire år gammel bil for 200 000 kroner. Bilen har sunket i verdi med 10 prosent hvert år siden den var ny, og Kari regner med at denne verdireduksjonen vil fortsette de neste årene.

Vekstfaktoren blir

$100 % - 10 % = 90 % = 0, 90$

Bilens verdi, $V (x)$ , x antall år etter at Kari kjøpte den, er da gitt ved

$V (x) = 200 000 \cdot 0, 90^{x}$

Grafisk løsning av eksponentiallikningen i eksempelet med GeoGebra. Grafen til funksjonen V av x er lik 200000 multiplisert med 0,9 opphøyd i x er tegnet for x-verdier mellom minus 4 og 13. Linja y er lik 100000 er også tegnet. Punktet på grafen til V med x-koordinat minus 4 har y-koordinat 304831,58. Skjæringspunktet mellom linja og grafen til V er markert og har koordinatene 6,58 og 100000. Skjermutklipp.

Av grafen til V kan vi lese at bilens verdi vil ha sunket til 100 000 kroner etter 6,6 år.

Avlesning på grafen viser også at bilens verdi for 4 år siden, det vil si når $x = - 4$ , altså da den var ny, var nærmere 305 000 kroner.

Vi skal også se hvordan vi kan regne ut dette med CAS i GeoGebra.

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er det skrevet V av x kolon er lik 200000 multiplisert med 0,9 opphøyd i x. Svaret er det samme. På linje 2 er det skrevet V av x er lik 100000. Svaret med Løs er l n 2 delt på parentes l n 2 pluss l n 5 minus l n 9 parentes slutt. På linje 3 er det skrevet dollartegn 2. Svaret med tilnærming er x er lik 6,58. På linje 4 er det skrevet V av minus 4. Svaret med tilnærming er 304831,58. Skjermutklipp.

På linje 1 skriver vi inn funksjonen $V (x)$ . Så regner vi ut hvor lang tid det går før bilens verdi har sunket til 100 000 kroner ved å løse likningen $V (x) = 100 000$ . Vi løser likningen eksakt med "Løs" først og trykker på knappen "tilnærmet lik" etterpå for å få svaret i linje 2 som et enkelt tall.

Til slutt på linje 4 regner vi ut hvor mye bilen var verdt for 4 år siden.

Vi får det samme svaret som vi fant grafisk.

I eksempel 5 skal vi se litt på en annerledes eksponentiallikning.

Eksempel 5

$\begin{array}{rcl} 2 \cdot 3^{x} & = & 3 \cdot 4^{x} \\ \lg (2 \cdot 3^{x}) & = & \lg (3 \cdot 4^{x}) \\ \lg 2 + \lg 3^{x} & = & \lg 3 + \lg 4^{x} \\ \lg 2 + x \cdot \lg 3 & = & \lg 3 + x \cdot \lg 4 \\ x \cdot \lg 3 - x \cdot \lg 4 & = & \lg 3 - \lg 2 \\ x (\lg 3 - \lg 4) & = & \lg 3 - \lg 2 \\ x & = & \frac{\lg 3 - \lg 2}{\lg 3 - \lg 4} \end{array}$

Vi har her gitt svaret på eksakt form. Det kan ofte være greit når vi arbeider med teoretiske problemstillinger.

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er det skrevet 2 multiplisert med 3 opphøyd i x er lik 3 multiplisert med 4 opphøyd i x. Svaret med Løs er x er lik parentes l n 2 minus l n 3 parentes slutt delt på parentes 2 l n 2 minus l n 3 parentes slutt. På linje 3 er det skrevet dollartegn 1. Svaret med tilnærming er x er lik minus 1,41. Skjermutklipp. — Eksakt og tilnærmet løsning på eksponentiallikningen i eksempelet

I praktiske oppgaver som eksemplene 2, 3 og 4, er det vanlig å bruke tilnærmingsverdier. Utklippet fra CAS i GeoGebra viser hvordan vi først løser likningen eksakt og deretter finner tilnærmingsverdien ved å trykke på knappen "tilnærmet lik", eller skriver $1 på linja under den eksakte løsningen. (Hva betyr det?) Legg merke til at GeoGebra bruker den naturlige logaritmen "ln" i stedet for den briggske logaritmen "lg". Det kunne vi også gjort da vi regnet ut svaret manuelt over.

🤔Tenk over: Det er to andre forskjeller også mellom svaret med den manuelle, eksakte utregningen og det eksakte svaret med CAS. Hva er forskjellene?

Forklaring

Rekkefølgen på leddene i teller og nevner i brøken er byttet om. Hvorfor spiller ikke det noen rolle?
I CAS-løsningen er $\ln 4$ gjort om til $2 \ln 2$ . Vis at de to uttrykkene er det samme.

Eksempel 6

Noen likninger inneholder flere ledd med potensuttrykk, som for eksempel

$3^{2 x} - 4 \cdot 3^{x} - 12 = 0$

Hva slags likning er dette, og hvordan kan vi løse denne manuelt?

Vi ser at i likningen inngår både 3 opphøyd i 2x og 3 opphøyd i x. Fra potensregningen vet vi at $3^{2 x} = {(3^{x})}^{2}$ . Likningen vår kan da skrives som

${(3^{x})}^{2} - 4 \cdot 3^{x} - 12 = 0$

Vi kaller nå $3^{x}$ for u. Likningen blir da

$u^{2} - 4 \cdot u - 12 = 0$

Nå ser vi at vi har en andregradslikning med u som den ukjente.

Ei jente som tenker. Foto.

Andregradslikningen har løsningen

$\begin{array}{rcl} u^{2} - 4 \cdot u - 12 & = & 0 \\ u & = & \frac{- (- 4) \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 12)}}{2 \cdot 1} \\ u & = & \frac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2} = \frac{4 \pm 8}{2} \\ u & = & - 2 \lor u = 6 \end{array}$

Vi begynte med å sette $3^{x} = u$ . Når vi nå har funnet at $u = - 2$ eller $u = 6$ , må det bety $3^{x} = - 2$ eller $3^{x} = 6$ .

Løsningen $3^{x} = - 2$ gir ingen mening siden potensen $3^{x}$ alltid er positiv.

Løsningen blir

$3^{x} = 6 \Rightarrow x = \frac{\lg 6}{\lg 3} \approx 1, 6$

Også her kunne vi oppgitt svaret på eksakt form som $x = \frac{\lg 6}{\lg 3}$ .

Metoden her går altså ut på å skifte variabel ved å sette $u = u (x)$ , for å få en enklere likning. Når vi har løst denne og funnet u, må vi gå tilbake og finne x. Vanligvis vil vi løse slike likninger med CAS, men det er viktig å kjenne til denne løsningsteknikken.

I den tredje videoen nedenfor får du en gjennomgang av dette eksempelet.

Film: Eksponentiallikninger 1

I filmen under (lengde 3:49) får du en gjennomgang av første del av eksempel 2.

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0

Film: Eksponentiallikninger 2

I filmen under (lengde 2:24) får du en gjennomgang av eksempel 2 løst med GeoGebra. NB! Filmen viser en gammel versjon av GeoGebra.

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0

Film: Eksponentiallikninger 3

I filmen under (lengde 3:34) får du en gjennomgang av eksempel 6.

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0