Rasjonale funksjoner og vertikal asymptote

Rasjonale funksjoner vil som regel ha en vertikal asymptote der nevneren i funksjonsuttrykket er null. Men dette gjelder ikke alltid!

En rasjonal funksjon er en funksjon som kan skrives som en brøk der telleren og nevneren er polynomer.

Polynomene kan ha grad null, derfor er for eksempel også funksjonen $\frac{1}{x}$ en rasjonal funksjon.

Vertikal asymptote

Vi undersøker funksjonen $f$ gitt ved

$f (x) = \frac{x - 2}{x + 2}$ .

En brøk er ikke definert når nevneren er lik null. Vi undersøker om $f (x)$ har noen grenseverdi når $x$ nærmer seg $- 2$ . Vi regner ut telleren og nevneren hver for seg.

$\begin{array}{rcl} (- 2) - 2 & = & - 4 \\ (- 2) + 2 & = & 0 \end{array}$

Det betyr at $\lim_{x \to - 2} \frac{x - 2}{x + 2}$ ikke eksisterer.

Når $x$ nærmer seg verdien $- 2$ fra venstre, vokser funksjonsverdiene over alle grenser.

Vi skriver

$f (x) \to \infty når x \to - 2^{-} eller \lim_{x \to - 2^{-}} f (x) = \infty$

(Legg merke til hvordan vi markerer at $x$ nærmer seg $- 2$ fra venstre.)

Når $x$ nærmer seg verdien $- 2$ fra høyre, avtar funksjonsverdiene uten grenser.

Vi skriver $f (x) \to - \infty når x \to - 2^{+} eller \lim_{x \to - 2^{+}} f (x) = - \infty$

Grafen til funksjonen f av x er lik parentes x minus 2 parentes slutt delt på parentes x pluss 2 parentes slutt er tegnet for x-verdier mellom minus 9 og 7. I tillegg er den loddrette eller vertikale linja x er lik minus 2 tegna. Grafen til f kryper inntil linja og er stigende når x nærmer seg minus 2 fra den negative siden og kryper inntil linja og er synkende når x nærmer seg minus 2 fra den positive siden. Skjermutklipp.

Hvis en funksjon $f (x) \to \infty eller - \infty når x \to a$ fra den ene eller andre siden, så er linjen $x = a$ en vertikal asymptote for grafen til $f$ .

Når $x$ nærmer seg $a$ , så vil grafen nærme seg linjen $x = a$ .

Dette betyr at linjen $x = - 2$ er en vertikal asymptote for grafen til $f (x)$ i eksempelet over.

Ut fra ovenstående kan vi si at $x = a$ er en vertikal asymptote for en rasjonal funksjon $f (x)$ hvis nevneren blir null og telleren blir et tall forskjellig fra null for $x = a$ .

Video: Tom Jarle Christiansen, //www.youtube.com/user/tomjch, Tom Jarle Christiansen / CC BY 4.0

Eksempel

$f (x) = \frac{3 x^{2}}{x^{2} - x}$

Vi finner når nevneren er lik null.

$\begin{array}{rcl} x^{2} - x & = & 0 \\ x (x - 1) & = & 0 \\ x & = & 0 \lor x - 1 = 0 \\ x & = & 0 \lor x = 1 \end{array}$

Det er her to mulige vertikale asymptoter, $x = 0 og x = 1$ .

Vi undersøker først om $x = 1$ er en vertikal asymptote ved å sette 1 inn i telleren.

$3 \cdot 1^{2} = 3$

Telleren er et tall forskjellig fra null og nevneren er null for $x = 1$ , så $x = 1$ er en vertikal asymptote.

Vi undersøker så om $x = 0$ er en vertikal asymptote.

$3 \cdot 0^{2} = 0$

Både teller og nevner er null for $x = 0$ .

Funksjonen kan da ha en grenseverdi når $x$ nærmer seg null.

Grenseverdien finner vi slik

$\lim_{x \to 0} f (x) = \lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{x^{2} - x} = \lim_{x \to 0} \frac{3 \cdot x \cdot x}{x \cdot (x - 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{3 \cdot x}{(x - 1)} = \frac{3 \cdot 0}{0 - 1} = 0$

Grenseverdien eksisterer og vi får ingen asymptote for $x = 0$ .

Video: Tom Jarle Christiansen, Tom Jarle Christiansen, Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0