Oppgave

Utforsking av grenseverdier

Hva er en grenseverdi? Vi bruker rekker og funksjoner til å utforske hva som skjer når vi nærmer oss en grenseverdi. Oppgavene inneholder deler med programmering. Nederst på siden kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.

En pizza som er delt opp i biter. Illustrasjon.

Oppgave 1

Tenk deg at en venn har 4 runde pizzaer, og at du får halvparten av disse, det vil si 2 pizzaer. Vennen din fortsetter å gi deg av sine pizzaer, men hver gang du får pizza, så får du halvparten så mye som du fikk sist. Aller først får du altså 2 pizzaer. Halvparten av 2 er 1, så du får deretter 1 pizza. Nå har du til sammen 3 hele pizzaer. Deretter får du en halv pizza, og da har du 3 og en halv pizza til sammen. Så får du en kvart pizza, deretter får du en åttendedels pizza, og slik fortsetter det. Hvordan kan vi uttrykke dette matematisk? Hvordan vil dette ende?

Utforskende oppgave

Bruk ulike strategier for å finne hva summen av tallene 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8 og så videre må være. Tallene fortsetter i det samme mønsteret i det uendelige.

Under vil du finne noen spørsmål som kan hjelpe deg til å utvikle det matematiske språket ditt. Du vil også få noen strategier som du kan bruke i den utforskende oppgaven over.

a) Startverdien er 2. Det neste leddet er alltid halvparten av det forrige leddet. Hva blir de 6 første leddene i rekka?

Løsning

$\begin{matrix} 2 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} \end{matrix}$

b) Hvordan kan vi uttrykke summen av de 10 første leddene ved hjelp av potenser med 2 som grunntall?

Løsning

$\begin{array}{rcl} 2 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64} + \frac{1}{128} + \frac{1}{256} \\ = & 2^{1} + 2^{0} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + \frac{1}{2^{4}} + \frac{1}{2^{5}} + \frac{1}{2^{6}} + \frac{1}{2^{7}} + \frac{1}{2^{8}} \\ = & 2^{1} + 2^{0} + 2^{- 1} + 2^{- 2} + 2^{- 3} + 2^{- 4} + 2^{- 5} + 2^{- 6} + 2^{- 7} + 2^{- 8} \end{array}$

c) Bruk n som nummeret på leddet i rekka. Da vil $n = 3$ bety $\frac{1}{2}$ . Hvordan kan vi uttrykke et ledd ved hjelp av n?

Løsning

$\frac{1}{2^{n - 2}}$

d) Hva blir summen av de 6 første leddene?

Løsning

$\begin{array}{rcl} 2 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} \\ = & \frac{2 \cdot 64}{64} + \frac{1 \cdot 64}{64} + \frac{1 \cdot 32}{2 \cdot 32} + \frac{1 \cdot 16}{4 \cdot 16} + \frac{1 \cdot 8}{8 \cdot 8} + \frac{1 \cdot 4}{16 \cdot 4} \\ = & \frac{128}{64} + \frac{64}{64} + \frac{32}{64} + \frac{16}{64} + \frac{8}{64} + \frac{4}{64} \\ = & \frac{252}{64} \\ \approx & 3, 9375 \end{array}$

e) Regn ut summen av de sju første leddene. Deretter summerer du de åtte første, så de ni første og til sist de ti første leddene. Hva blir de ulike summene?

Løsning

7 ledd:

$\begin{array}{rcl} \frac{252}{64} + \frac{1 \cdot 2}{32 \cdot 2} & = & \frac{252}{64} + \frac{2}{64} = \frac{254}{64} \approx 3, 9688 \end{array}$

8 ledd:

$\frac{254}{64} + \frac{1}{64} = \frac{255}{64} \approx 3, 9844$

9 ledd:

$\frac{255}{64} + \frac{1}{128} = \frac{510}{128} + \frac{1}{128} = \frac{511}{128} \approx 3, 9922$

10 ledd:

$\frac{511}{128} + \frac{1}{256} = \frac{1022}{256} + \frac{1}{256} = \frac{1023}{256} \approx 3, 9961$

f) Hva kan vi si foreløpig om summen av rekka?

Løsning

Hvert nye ledd er mye mindre enn det forrige leddet, og etter hvert blir de nye leddene mikroskopiske. Det ser ut som om summen av leddene nærmer seg 4.

g) Lag en algoritme som gir oss de 10 første leddene i rekka og deretter gir oss summen av de 10 første leddene.

Løsning

Det første leddet legges inn som startverdi.
Programmet beregner neste ledd ved at det første leddet multipliseres med $\frac{1}{2}$ .
Programmet lager ei løkke som gjentar linja over 8 ganger.
Leddene summeres, og 4 desimaler tas med.
Programmet skriver ut de 10 første leddene.
Programmet skriver ut summen av de 10 første leddene.

h) Lag et program som gir oss summen av de 10 første leddene i rekka.

Løsningsforslag 1

Python

1rekke = [2]            #oppretter liste for rekka og setter inn det første leddet
2n = 10
3    
4for i in range (1, n):           #lager ei løkke for de 9 neste leddene
5    rekke.append(2*(1/2)**i)     #beregner neste ledd og setter det inn i lista
6    
7sum = 0                          #lager variabel til summen av rekka
8
9for ledd in list(rekke):         #løkke for å summere leddene i rekka
10    sum = sum + ledd             
11    
12print(f"Rekka med {n} ledd er: {rekke}")   #skriver ut leddene i rekka
13print(f"Summen av rekka er: {sum:.4f}")    #skriver ut summen av leddene i rekka

Løsningsforslag 2

Python

1startverdi = 2     #første ledd i rekka
2n = 10             #antall ledd i rekka
3rekke = []         #lager tom liste til rekka
4sum = 0            #lager variabel til summen av rekka
5
6for i in range (n):                    #regner ut de 10 første leddene i rekka
7    rekke.append(startverdi**(1 - i))  #og legger de til i lista
8    sum = sum + rekke[i]               #summerer leddene i rekka
9
10print(f"Rekka med {n} ledd er: {rekke}")   #skriver ut leddene i rekka
11print(f"Summen av rekka er: {sum:.4f}")    #skriver ut summen av leddene i rekka

i) Sammenlign svarene du fikk i e) og h).

Løsning

Vi ser at både koden og vår egen utregning viser at summen av leddene går mot 4.

j) Hva skjer med summen av rekka hvis vi summerer de 15 første leddene? Gjør om på koden.

Løsning

Vi endrer koden i linje 2 til n = 15. Da får vi at summen av rekka er 3,999. Prøv med enda større verdier for n. Hva får du?

k) Hva blir konklusjonen på den utforskende oppgaven? Vi har prøvd å regne på det ved hjelp av ulike strategier. Hva skjer hvis vi gjør den som en praktisk oppgave og prøver å legge sammen alle pizzadelene? Kommer vi fram til det samme svaret?

Oppgave 2

Gitt funksjonen

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

a) Hva er definisjonsmengden til $f (x)$ ? Hva betyr det for funksjonen?

Løsning

$D_{f} = ℝ \ \{1\}$

Funksjonen er ikke definert for $x = 1$ .

b) Hva skjer med $f (x)$ hvis x får verdien 1?

Løsning

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & \frac{x^{2} - 1}{x - 1} \\ f (1) & = & \frac{1^{2} - 1}{1 - 1} \\ = & \frac{0}{0} \end{array}$

$\frac{0}{0}$ er ikke definert.

c) Siden $f (x)$ for $x = 1$ er udefinert, vil vi prøve å regne ut verdiene i nærheten av $x = 1$ . Bruk tabellen til å regne ut noen funksjonsverdier nær $x = 1$ .

$\begin{matrix} x & 0, 8 & 0, 9 & 0, 99 & 0, 999 & 1, 001 & 1, 01 & 1, 1 & 1, 2 \\ f (x) \end{matrix}$

Løsning

$\begin{matrix} x & 0, 8 & 0, 9 & 0, 99 & 0, 999 & 1, 001 & 1, 01 & 1, 1 & 1, 2 \\ f (x) & 1, 8 & 1, 9 & 1, 99 & 1, 999 & 2, 001 & 2, 01 & 2, 1 & 2, 2 \end{matrix}$

d) Hva kan man si om $f (x)$ når $x$ nærmer seg 1 ut ifra verdiene i tabellen over?

Løsning

Når vi studerer verdiene vi har regnet ut i tabellen, ser det ut som om $f (x)$ nærmer seg verdien 2 når x nærmer seg 1. Dette gjelder fra begge sider, det vil si både når vi nærmer oss $x = 1$ for verdier lavere enn 1 og for verdier høyere enn 1:

$\begin{matrix} x : & \overset{0, 999}{\to} & 1 & \overset{1, 001}{\leftarrow} \\ f (x) : & \overset{1, 999}{\to} & 2 & \overset{2, 001}{\leftarrow} \end{matrix}$

e) Hvordan kan vi, med matematisk notasjon, beskrive hva som skjer med $f (x)$ når $x$ nærmer seg 1?

Løsning

$\lim_{x \to 1} f (x) = \lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

f) Prøv å finne grenseverdien ved hjelp av algebra. Start med å faktorisere telleren.

Løsning

Vi bruker tredje kvadratsetning (konjugatsetningen) baklengs: $(a + b) \cdot (a - b) = a^{2} - b^{2} .$

$x^{2} - 1 = (x + 1) (x - 1)$

g) Finn grenseverdiene til $f (x)$ med den faktoriserte telleren.

Løsning

$\begin{array}{rcl} \lim_{x \to 1} f (x) & = & \lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{x - 1} \\ = & \lim_{x \to 1} \frac{(x + 1) \cdot (x - 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x + 1)}{1} \\ = & \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2 \end{array}$

h) Tegn grafen til $f (x)$ .

Løsning

Grafen til funksjonen f av x er lik parentes x i andre minus 1 parentes slutt delt på parentes x minus 1 parentes slutt er tegnet for x-verdier mellom minus 2 og 5. Grafen er ei rett linje, men for x er lik 1 er det et brudd i linja. Det er markert med to blå piler mot hverandre. Illustrasjon.

Oppgave 3

Gitt funksjonen

$f (x) = \frac{x^{2} - 4}{x - 2}$

Funksjonen er ikke definert for $x = 2$ , for da blir nevneren lik null. Det er likevel aktuelt å spørre seg hva som skjer med verdiene til funksjonen når x-verdiene nærmer seg 2.

$\begin{matrix} x & 1, 99000 & 1, 99990 & 1, 99999 & 2 & 2, 00001 & 2, 00010 & 2, 01000 \\ f (x) & 3, 99000 & 3, 99900 & 3, 99999 & - & 4, 00001 & 4, 00010 & 4, 01000 \end{matrix}$

Vi skal lage et program som regner ut noen funksjonsverdier for x nær 2.

a) Skriv algoritmen til programmet. Husk at programmet skal regne ut funksjonsverdier for x-verdier som er både større enn 2 og mindre enn 2 slik som i tabellen.

Løsning

Algoritmen til den egendefinerte funksjonen f(x):

Ta imot en x-verdi og regn ut $f (x) = \frac{x^{2} - 4}{x - 2}$ .
Returner svaret (funksjonsverdien).

Algoritmen til selve programmet:

Sett startverdien lik 2.
Sett differansen lik 0,1.
Gjør 5 ganger:
- Sett variabelen xVerdi lik startverdien minus differansen.
- Skriv ut xVerdi til skjermen.
- Regn ut f(xVerdi) ved hjelp av den egendefinerte funksjonen og skriv ut svaret til skjermen.
- Del differansen på 10.
Sett differansen tilbake til 0,1.
Gjør 5 ganger:
- Sett variabelen xVerdi lik startverdien pluss differansen.
- Skriv ut xVerdi til skjermen.
- Regn ut f(xVerdi) ved hjelp av den egendefinerte funksjonen og skriv ut svaret til skjermen.
- Del differansen på 10.

b) Skriv koden til programmet.

Løsningsforslag

Python

1def f(x):
2    return ((x**2 - 4)/(x - 2))  #definerer funksjonen f
3
4startX = 2      #x-verdien vi er interessert i
5#regner ut f(x) for x-verdier som er mindre enn startX
6diff = 0.1     #definerer startdifferansen
7for i in range (5):    #for-løkke som gjentas 5 ganger
8    xVerdi = startX - diff
9    print(f"f({xVerdi}) = {f(xVerdi):.5f}")  #viser x-verdi og funksjonsverdi
10    diff = diff/10
11
12#Gjør det samme, men nå for x-verdier som er større enn startX
13diff = 0.1
14for i in range(5):
15    xVerdi = startX + diff
16    print(f"f({xVerdi}) = {f(xVerdi):.5f}")   #viser x-verdi og funksjonsverdi
17    diff = diff/10

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokument.

Grenseverdi

Oppgave 1

Utforskende oppgave

Oppgave 2

Oppgave 3

Nedlastbare filer