Lengden av en vektor gitt på koordinatform

$\overrightarrow{AB}=\left[5-2,7-3\right]=\left[3,4\right]$

$\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\left[3,4\right]\right|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$

$\begin{array}{rcl}\left|\overrightarrow{AC}\right| & =& 4\\ \left|\left[2-2,y-3\right]\right| & =& 4\\ \sqrt{0^2+{\left(y-3\right)}^2} & =& 4\\ {\left(y-3\right)}^2 & =& 16\\ y-3 & =& 4 \vee y-3=-4\\ y & =& 7 \vee y=-1\end{array}$

Avstanden mellom A og B er det samme som lengden av $\overrightarrow{AB}$:

$\begin{array}{l}\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\left[4-1,10-6\right]\right|=\\ \sqrt{3^2+4^2}=5\end{array}$

Vi begynner med å finne lengden til $\overrightarrow{CD}$ , som er 10.

Videre har vi at $\overrightarrow{CD}=\left[x-4,y-8\right]$ og at $\overrightarrow{CD}=t\left[\frac{3}{2},-2\right]=\left[\frac{3}{2}t,-2t\right]$.

Nå kan vi finne t. Vi vet at t må være positiv, siden $\overrightarrow{CD}$ skal gå i samme retning som $\left[\frac{3}{2},-2\right]$.

$\begin{array}{l}\left|\overrightarrow{CD}\right|=\sqrt{{\left(\frac{3}{2}\right)}^2{t}^2+{\left(-2\right)}^2{t}^2}=\sqrt{t^2\left(\frac{9}{4}+4\right)}=t\sqrt{\frac{25}{4}}=t·\frac{5}{2}\\ \left|\overrightarrow{CD}\right|=10\Rightarrow t·\frac{5}{2}=10\Rightarrow t=4\end{array}$

Siste trinn: Vi setter inn 4 for t og finner koordinatene til D:

$\begin{array}{llll}\overrightarrow{CD}=4\left[\frac{3}{2},-2\right]=\left[6,-8\right]& & & \\ \overrightarrow{CD}=\left[x-4,y-8\right]=\left[6,-8\right]& & & \\ x-4=6& & y-8=-8& \\ x=10& & y=0& \end{array}$

Punktet D er altså $\left(10,0\right)$.

Vi bruker formelen for skalarproduktet:

$\begin{array}{l}\overrightarrow{AB}=\left[3,4\right]\\ \overrightarrow{CD}=\left[6,-8\right]\\ \left|\overrightarrow{AB}\right|=5\\ \left|\overrightarrow{CD}\right|=10\\ \overrightarrow{AB}·\overrightarrow{CD}=\left[3,4\right]·\left[6,-8\right]=3·6+4·\left(-8\right)=18-32=-14\\ \cos \angle \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\right)=\frac{\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{CD}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|·\left|\overrightarrow{CD}\right|}=\frac{-14}{5·10}=\frac{-14}{50}\\ \angle \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\right)=106,26°\approx 106,3°\end{array}$

Vi begynner med sidelengdene:

$\begin{array}{l}\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\left[2-\left(-3\right),)-1-\left(-2\right)\right]\right|=\left|\left[5,1\right]\right|=\sqrt{5^2+1^2}=\sqrt{26}\\ \left|\overrightarrow{AC}\right|=\left|\left[1-\left(-3\right),4-\left(-2\right)\right]\right|=\left|\left[4,6\right]\right|=\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{52}\\ \left|\overrightarrow{BC}\right|=\left|\left[1-2,4-\left(-1\right)\right]\right|=\left|\left[-1,5\right]\right|=\sqrt{{\left(-1\right)}^2+5^2}=\sqrt{26}\end{array}$

Vi observerer at trekanten er likebeint der $\angle BAC=\angle ACB$. Det betyr at vi kan finne $\angle CBA$ ved hjelp av vektorregning og så finne resten ved at vinkelsummen i en trekant er 180 grader.

$\begin{array}{l}\overrightarrow{BC}·\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BC}·\left(-\overrightarrow{AB}\right)=\\ \left[-1,5\right]·\left[-5,-1\right]=\\ \left(-1\right)·\left(-5\right)+5·\left(-1\right)=5-5=0\end{array}$

Siden skalarproduktet er lik 0, har vi at vinkelen er 90 grader. Siden de to andre vinklene er like store og 90 grader til sammen, er disse 45 grader hver.

Vi observerer at punktet D kan skrives som $\left(x,0\right)$. Vi har at $\left|\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{CD}\right|$ og at $\overrightarrow{CD}=\left[x-1,0-4\right]=\left[x-1,-4\right]$.

Vi regner ut:

$\begin{array}{l}\left|\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{CD}\right|\\ \sqrt{52}=\sqrt{{\left(x-1\right)}^2+{\left(-4\right)}^2}\\ 52=x^2-2x+1+16\\ x^2-2x-35=0\\ \left(x+5\right)\left(x-7\right)=0\\ x=-5 \vee x=7\end{array}$

Vi har altså to mulige plasseringer for punktet D, men hvis vi går mot klokka (som er vanlig), får vi at punktet D er $\left(7,0\right)$.