Lengda av ein vektor gitt på koordinatform

$\overrightarrow{AB}=\left[5-2,7-3\right]=\left[3,4\right]$

$\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\left[3,4\right]\right|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$

$\begin{array}{rcl}\left|\overrightarrow{AC}\right| & =& 4\\ \left|\left[2-2,y-3\right]\right| & =& 4\\ \sqrt{0^2+{\left(y-3\right)}^2} & =& 4\\ {\left(y-3\right)}^2 & =& 16\\ y-3 & =& 4 \vee y-3=-4\\ y & =& 7 \vee y=-1\end{array}$

Avstanden mellom A og B er det same som lengda av $\overrightarrow{AB}$:

$\begin{array}{l}\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\left[4-1,10-6\right]\right|=\\ \sqrt{3^2+4^2}=5\end{array}$

Vi byrjar med å finne lengda til $\overrightarrow{CD}$ , som er 10.

Vidare har vi at $\overrightarrow{CD}=\left[x-4,y-8\right]$ og at $\overrightarrow{CD}=t\left[\frac{3}{2},-2\right]=\left[\frac{3}{2}t,-2t\right]$.

No kan vi finne t. Vi vet at t er positiv, siden $\overrightarrow{CD}$ skal gå i same retning som $\left[\frac{3}{2},-2\right]$.

$\begin{array}{l}\left|\overrightarrow{CD}\right|=\sqrt{{\left(\frac{3}{2}\right)}^2{t}^2+{\left(-2\right)}^2{t}^2}=\sqrt{t^2\left(\frac{9}{4}+4\right)}=t\sqrt{\frac{25}{4}}=t·\frac{5}{2}\\ \left|\overrightarrow{CD}\right|=10\Rightarrow t·\frac{5}{2}=10\Rightarrow t=4\end{array}$

Siste trinn: Vi set inn 4 for t og finn koordinatane til D:

$\begin{array}{llll}\overrightarrow{CD}=4\left[\frac{3}{2},-2\right]=\left[6,-8\right]& & & \\ \overrightarrow{CD}=\left[x-4,y-8\right]=\left[6,-8\right]& & & \\ x-4=6& & y-8=-8& \\ x=10& & y=0& \end{array}$

Punktet D er altså $\left(10,0\right)$.

Vi bruker formelen for skalarproduktet:

$\begin{array}{l}\overrightarrow{AB}=\left[3,4\right]\\ \overrightarrow{CD}=\left[6,-8\right]\\ \left|\overrightarrow{AB}\right|=5\\ \left|\overrightarrow{CD}\right|=10\\ \overrightarrow{AB}·\overrightarrow{CD}=\left[3,4\right]·\left[6,-8\right]=3·6+4·\left(-8\right)=18-32=-14\\ \cos \angle \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\right)=\frac{\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{CD}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|·\left|\overrightarrow{CD}\right|}=\frac{-14}{5·10}=\frac{-14}{50}\\ \angle \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\right)=106,26°\approx 106,3°\end{array}$

Vi byrjar med sidelengdene:

$\begin{array}{l}\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\left[2-\left(-3\right),)-1-\left(-2\right)\right]\right|=\left|\left[5,1\right]\right|=\sqrt{5^2+1^2}=\sqrt{26}\\ \left|\overrightarrow{AC}\right|=\left|\left[1-\left(-3\right),4-\left(-2\right)\right]\right|=\left|\left[4,6\right]\right|=\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{52}\\ \left|\overrightarrow{BC}\right|=\left|\left[1-2,4-\left(-1\right)\right]\right|=\left|\left[-1,5\right]\right|=\sqrt{{\left(-1\right)}^2+5^2}=\sqrt{26}\end{array}$

Vi observerer at trekanten er likebeint der $\angle BAC=\angle ACB$. Det betyr at vi kan finne $\angle CBA$ ved hjelp av vektorrekning og så finne resten ved at vinkelsummen i ein trekant er 180 grader.

$\begin{array}{l}\overrightarrow{BC}·\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BC}·\left(-\overrightarrow{AB}\right)=\\ \left[-1,5\right]·\left[-5,-1\right]=\\ \left(-1\right)·\left(-5\right)+5·\left(-1\right)=5-5=0\end{array}$

Sidan skalarproduktet er lik 0, har vi at vinkelen er 90 grader. Sidan dei to andre vinklane er like store og 90 grader til saman, er desse 45 grader kvar.

Vi observerer at punktet D kan skrivast som $\left(x,0\right)$. Vi har at $\left|\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{CD}\right|$ og at $\overrightarrow{CD}=\left[x-1,0-4\right]=\left[x-1,-4\right]$.

Vi reknar ut:

$\begin{array}{l}\left|\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{CD}\right|\\ \sqrt{52}=\sqrt{{\left(x-1\right)}^2+{\left(-4\right)}^2}\\ 52=x^2-2x+1+16\\ x^2-2x-35=0\\ \left(x+5\right)\left(x-7\right)=0\\ x=-5 \vee x=7\end{array}$

Vi har altså to moglege plasseringar for punktet D, men viss vi går mot klokka (som er vanleg), får vi at punktet D er $\left(7,0\right)$.