Krumningsforhold og vendepunkter. Dobbeltderiverttesten

Du kan avgjøre om et punkt på en graf er et vendepunkt ved å se om krumningen skifter. Krumningen skifter dersom grafen går fra å vende den hule sida ned til å vende den hule sida opp, eller omvendt.

Grafen til f vender den hule sida opp helt til $x=1$. Deretter vender den den hule sida ned. Det betyr at grafen til f har et vendepunkt for $x=1$ (og ingen flere). Vendepunktet er $(\mathrm{1,} \mathrm{0,8})$.

Grafen til g vender den hule sida ned helt til $x=1$ (omtrent). Deretter vender den den hule sida opp. Det betyr at også grafen til g har et vendepunkt for $x=1$ (og ingen flere). Vendepunktet er $(\mathrm{1,} \mathrm{0,5})$.

Grafen til h vender den hule sida opp helt til $x=-2$. Deretter vender den den hule sida ned til $x=0$. Etter det vender den den hule sida opp. Det betyr at grafen til h har vendepunkter for disse to x-verdiene, og vendepunktene er $(-\mathrm{2,} 2)$ og $(\mathrm{0,} -2)$.

(Alle verdiene vi leser av, er omtrentlige.)

Fortegnslinja til f forteller hvor grafen til funksjonen ligger over x-aksen, hvor den ligger under x-aksen, og hvor den treffer x-aksen (nullpunkter).

Fortegnslinja til $f\text{'}$ forteller hvor grafen til funksjonen stiger, hvor den synker, og hvor den har stasjonære punkter (topp-, bunn- eller terrassepunkter). Den forteller altså om funksjonens monotoniegenskaper.

Fortegnslinja til $f\text{'}\text{'}$ forteller hvor grafen til funksjonen vender den hule sida ned, hvor den vender den hule sida opp, og hvor den har vendepunkter. Den forteller altså om monotoniegenskapene til den deriverte.

Vi har fra fortegnslinja til $f\text{'}\text{'}$ at den dobbelderiverte skifter fortegn ved begge de to nullpunktene, som derfor er vendepunkter. (Disse punktene er også samtidig nullpunkter for selve funksjonen.) Vendepunktene til grafen er $(-\mathrm{1,} 0)$ og $(\mathrm{1,} 0)$.

Informasjonen om hul side gir oss at grafen må ha et vendepunkt for $x=0$. Når den hule sida vender opp, kombinert med at den deriverte er null for $x=-2$, må grafen ha et bunnpunkt der (dobbeltderiverttesten). Når den hule sida vender ned, kombinert med at den deriverte er null for $x=2$, må grafen tilsvarende ha et toppunkt der.

Grafen er skissert nedenfor.

Informasjonen om hul side gir oss at grafen må ha et vendepunkt i begge nullpunktene for den dobbeltderiverte, det vil si for $x=-2$ og et for $x=0$. Når den hule sida vender opp, kombinert med at den deriverte er null for $x=1$, må grafen ha et bunnpunkt der (dobbeltderiverttesten).

Både den deriverte og den dobbeltderiverte er null når $x=-2$. Et topp- eller et bunnpunkt kan ikke samtidig være et vendepunkt. (Hvorfor ikke?) Grafen må derfor ha et terrassepunkt for $x=-2$.

Grafen er skissert nedenfor.

Vi løser oppgaven uten hjelpemidler først og starter med å finne den dobbeltderiverte funksjonen.

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& x^3-3x^2-9x+10\\ f\text{'}\left(x\right) & =& 3x^2-3·2x-9=3x^2-6x-9\\ f\text{'}\text{'}\left(x\right) & =& 3·2x-6=6x-6\end{array}$

Så finner vi nullpunktene til den dobbeltderiverte funksjonen.

$\begin{array}{rcl}f\text{'}\text{'}\left(x\right) & =& 0\\ 6x-6 & =& 0\\ 6x & =& 6\\ x & =& 1\end{array}$

Det er bare i nullpunktet at en lineær funksjon kan skifte fortegn. Vi kan teste med å regne ut verdier for den dobbeltderiverte på begge sider av nullpunktet.

$\begin{array}{rcl}f\text{'}\text{'}\left(0\right) & =& 6·0-6=-6<0\\ f\text{'}\text{'}\left(2\right) & =& 6·2-6=12-6=6>0\end{array}$

Dette kunne vi funnet uten å regne ved å se på at den dobbeltderiverte er ei rett linje med positivt stigningstall. Da er den dobbeltderiverte mindre enn null for x-verdier mindre enn nullpunktet og motsatt.

Det betyr at grafen til funksjonen vender den hule sida ned når $x<1$ og den hule sida opp når $x>1$.

Den dobbeltderiverte skifter fortegn ved nullpunktet, og grafen har derfor et vendepunkt for $x=1$. (Om vi vil, kan vi tegne fortegnsskjema for den dobbeltderiverte, men det er ikke nødvendig her.)

$\begin{array}{rcl}f\left(1\right) & =& 1^3-3·1^2-9·1+10\\ & =& 1-3-9+10\\ & =& -1\end{array}$

Vendepunktet er $(\mathrm{1,} -1)$.

Vi finner det samme med CAS, se nedenfor.

Du kan bruke både resultatene fra regning uten hjelpemidler og CAS-utregningene til å løse oppgaven. Husk at det er fortegnet til den dobbeltderiverte i et stasjonært punkt som avgjør om punktet er et toppunkt, et bunnpunkt eller et terrassepunkt.

Husk også at de stasjonære punktene er der den deriverte er null.

Først finner vi nullpunktene til den deriverte.

$\begin{array}{rcl}f\text{'}\left(x\right) & =& 0\\ 3x^2-6x-9 & =& 0 | :3\\ x^2-2x-3 & =& 0\\ x & =& \frac{-\left(-2\right)\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4·1·\left(-3\right)}}{2·1}\\ & =& \frac{2\pm \sqrt{16}}{2}\\ & =& \frac{2\pm 4}{2}\\ x & =& -1 \vee x=3\end{array}$

Grafen har to stasjonære punkter.

Vi får fra oppgave a) at grafen vender den hule sida ned når $x<1$ og den hule sida opp når $x>1$.

$x=-1$: Her vender grafen den hule sida ned, så her må det være et toppunkt.

$x=3$: Her vender grafen den hule sida opp, så dette må være et bunnpunkt.

$\begin{array}{rcl}g\left(x\right) & =& x^2-2x-3\\ g\text{'}\left(x\right) & =& 2x-2\\ g\text{'}\text{'}\left(x\right) & =& 2\end{array}$

Den dobbeltderiverte funksjonen er en konstant som er større enn null. Det betyr at grafen til funksjonen vender den hule sida opp hele tida. Da kan den ikke ha noe vendepunkt.

Vi finner det samme med CAS.

I linje 2 får vi ingen løsning, og i linje 3 får vi at alle reelle tall er løsning.

Først finner vi nullpunktene til den deriverte.

$\begin{array}{rcl}g\text{'}\left(x\right) & =& 0\\ 2x-2 & =& 0\\ 2x & =& 2\\ x & =& 1\end{array}$

Grafen har ett stasjonært punkt. Vi har fra oppgave a) at den dobbeltderiverte er større enn null for alle x-verdier, som betyr at grafen alltid vender den hule sida opp. Da må grafen ha et bunnpunkt for $x=1$.

(Ellers visste vi fra før at grafen til en andregradsfunksjon med positivt tall foran andregradsleddet har ett bunnpunkt.)

Vi deriverer funksjonen to ganger.

$\begin{array}{rcl}f\text{'}\left(x\right) & =& 3x^2-3·2x\\ & =& 3x^2-6x\\ f\text{'}\text{'}\left(x\right) & =& 3·2x-6\\ & =& 6x-6\end{array}$

Vi finner nullpunktene til den deriverte.

$\begin{array}{rcl}f\text{'}\left(x\right) & =& 0\\ 3x^2-6x & =& 0\\ 3x(x-2) & =& 0\\ 3x & =& 0 \vee x-2=0\\ x & =& 0 \vee x=2\end{array}$

Vi sjekker fortegnet til den dobbeltderiverte og regner ut funksjonsverdiene:

$\begin{array}{rcl}f\text{'}\text{'}\left(0\right) & =& 6·0-6=-6<0\\ f\text{'}\text{'}\left(2\right) & =& 6·2-6=6>0\end{array}$

$\begin{array}{rcl}f\left(0\right) & =& 0^3-3·0^2=0\\ f\left(2\right) & =& 2^3-3·2^2=8-12=-4\end{array}$

Vi vet at en tredjegradsfunksjon bare kan ha topp- eller bunnpunkter der den deriverte er 0. Siden $f\text{'}\text{'}\left(0\right)=-6$, vet vi at grafen krummer nedover for $x=0$, så det må være et toppunkt der. Koordinatene til toppunktet er $(\mathrm{0,} 0)$. Siden $f\text{'}\text{'}\left(2\right)=6$, vet vi at grafen krummer oppover for $x=2$, så det må være et bunnpunkt der. Koordinatene til bunnpunktet er $(2, -4)$.

Vi vet at en tredjegradsfunksjon bare kan ha topp- eller bunnpunkter der den deriverte er 0. Siden $f\text{'}\text{'}\left(0\right)=-6$, vet vi at grafen krummer nedover for $x=0$, så det må være et toppunkt der. Koordinatene til toppunktet er $(\mathrm{0,} 0)$. Siden $f\text{'}\text{'}\left(2\right)=6$, vet vi at grafen krummer oppover for $x=2$, så det må være et bunnpunkt der. Koordinatene til bunnpunktet er $(2, -4)$.

Vi deriverer funksjonen to ganger.

$\begin{array}{rcl}g\text{'}\left(x\right) & =& {\displaystyle \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 3}}}{\displaystyle ·}{\displaystyle 3}{\displaystyle {{\displaystyle x}}^2}{\displaystyle +}{\displaystyle \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}}{\displaystyle ·}{\displaystyle 2}{\displaystyle x}{\displaystyle -}{\displaystyle 6}\\ & =& x^2+x-6\\ g\text{'}\text{'}\left(x\right) & =& 2x+1\end{array}$

Vi finner nullpunktene til den deriverte.

$\begin{array}{rcl}g\text{'}\left(x\right) & =& 0\\ x^2+x-6 & =& 0\\ (x+3)(x-2) & =& 0\\ x+3 & =& 0 \vee x-2=0\\ x & =& -3 \vee x=2\end{array}$

Vi sjekker fortegnet til den dobbeltderiverte og regner ut funksjonsverdiene:

$\begin{array}{rcl}g\text{'}\text{'}(-3) & =& 2·(-3)+1=-5<0\\ g\text{'}\text{'}\left(2\right) & =& 2·2+1=5>0\end{array}$

$\begin{array}{rcl}g(-3) & =& {\displaystyle \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 3}}{(-3)}^3+\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}{(-3)}^2-6(-3)-3}\\ & =& -9+{\displaystyle \frac{{\displaystyle 9}}{{\displaystyle 2}}}+18-3\\ & =& {\displaystyle \frac{{\displaystyle 9}}{{\displaystyle 2}}}{\displaystyle +}{\displaystyle \frac{{\displaystyle 12}}{{\displaystyle 2}}}\\ & =& {\displaystyle \frac{{\displaystyle 21}}{{\displaystyle 2}}}\\ g\left(2\right) & =& {\displaystyle \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 3}}}{\displaystyle ·}{\displaystyle 2^3}{\displaystyle +}{\displaystyle \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}}{\displaystyle ·}{\displaystyle {{\displaystyle 2}}^2}{\displaystyle -}{\displaystyle 6}{\displaystyle ·}{\displaystyle 2}{\displaystyle -}{\displaystyle 3}\\ & =& {\displaystyle \frac{{\displaystyle 8}}{{\displaystyle 3}}}+2-12-3\\ & =& {\displaystyle \frac{{\displaystyle 8}}{{\displaystyle 3}}}{\displaystyle -}{\displaystyle \frac{{\displaystyle 39}}{{\displaystyle 3}}}\\ & =& {\displaystyle -}{\displaystyle \frac{{\displaystyle 31}}{{\displaystyle 3}}}\end{array}$

Vi vet at en tredjegradsfunksjon bare kan ha topp- eller bunnpunkter der den deriverte er 0. Siden $g\text{'}\text{'}(-3)=-5$, vet vi at grafen krummer nedover for $x=-3$, så det må være et toppunkt der. Koordinatene til toppunktet er $(-3,{\displaystyle \frac{{\displaystyle 21}}{{\displaystyle 2}}})$. Siden $g\text{'}\text{'}\left(2\right)=5$, vet vi at grafen krummer oppover for $x=2$, så det må være et bunnpunkt der. Koordinatene til bunnpunktet er $(2,-{\displaystyle \frac{{\displaystyle 31}}{{\displaystyle 3}}})$.

Vi vet at en tredjegradsfunksjon bare kan ha topp- eller bunnpunkter der den deriverte er 0. Siden $g\text{'}\text{'}(-3)=-5$, vet vi at grafen krummer nedover for $x=-3$, så det må være et toppunkt der. Koordinatene til toppunktet er $(-3,{\displaystyle \frac{{\displaystyle 21}}{{\displaystyle 2}}})$. Siden $g\text{'}\text{'}\left(2\right)=5$, vet vi at grafen krummer oppover for $x=2$, så det må være et bunnpunkt der. Koordinatene til bunnpunktet er $(2,-{\displaystyle \frac{{\displaystyle 31}}{{\displaystyle 3}}})$.

Vi deriverer funksjonen to ganger.

$\begin{array}{rcl}h\text{'}\left(x\right) & =& \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 4}}·4x^3-3x^2+4\\ & =& x^3-3x^2+4\\ h\text{'}\text{'}\left(x\right) & =& 3x^2-3·2x\\ & =& 3x^2-6x\end{array}$

Vi finner nullpunktene til den deriverte. Vi gjetter på at $h\text{'}(-1)=0$.

$h\text{'}(-1)={(-1)}^3-3·{(-1)}^2+4=-1-3+4=0$

Da kan vi polynomdividere $h\text{'}\left(x\right)$ med $(x+1)$:

$\begin{array}{lcc} \left(x^3-3x^2+0x+4\right):\left(x+1\right)& =& x^2-4x+4\\ \underline{-\left(x^3+x^2\right) }& & \\ -4x^2+0x+4& & \\ \underline{-\left(-4x^2-4x\right) }& & \\ 4x+4& & \\ \underline{-(4x+4)}& & \\ 0& & \end{array}$

Med den andre kvadratsetningen får vi at

$x^2-4x+4={(x-2)}^2$

Den deriverte har dermed nullpunktene $x=-1$ og $x=2$. Vi sjekker fortegnet til den dobbeltderiverte for disse x-verdiene:

$\begin{array}{rcl}h\text{'}\text{'}(-1) & =& 3·{(-1)}^2-6·(-1)\\ & =& 3+6\\ & =& 9>0\\ h\text{'}\text{'}\left(2\right) & =& 3·2^2-6·2\\ & =& 12-12\\ & =& 0\end{array}$

Grafen til funksjonen h krummer derfor oppover og har et bunnpunkt for $x=-1$ og et vendepunkt for $x=2$ siden både den deriverte og den dobbeltderiverte er null. Vi vet at en fjerdegradsfunksjon bare kan ha topp- eller bunnpunkter der den deriverte er 0. Vi regner ut funksjonsverdiene til bunnpunktet:

$\begin{array}{rcl}h\left(-1\right) & =& {\displaystyle \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 4}}}{\displaystyle (}{\displaystyle -}{\displaystyle 1}{\displaystyle {{\displaystyle )}}^4}{\displaystyle -}{\displaystyle (}{\displaystyle -}{\displaystyle 1}{\displaystyle {{\displaystyle )}}^3}{\displaystyle +}{\displaystyle 4}{\displaystyle ·}{\displaystyle (}{\displaystyle -}{\displaystyle 1}{\displaystyle )}{\displaystyle -}{\displaystyle 2}\\ & =& {\displaystyle \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 4}}}{\displaystyle +}{\displaystyle 1}{\displaystyle -}{\displaystyle 4}{\displaystyle -}{\displaystyle 2}\\ & =& {\displaystyle \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 4}}}{\displaystyle -}{\displaystyle \frac{{\displaystyle 5·4}}{{\displaystyle 4}}}\\ & =& {\displaystyle -}{\displaystyle \frac{{\displaystyle 19}}{{\displaystyle 4}}}\end{array}$

Grafen til h har et bunnpunkt i ${\displaystyle (-1,-\frac{{\displaystyle 19}}{{\displaystyle 4}})}$.

Vi vet at en fjerdegradsfunksjon bare kan ha topp- eller bunnpunkter der den deriverte er 0. Grafen til funksjonen har et vendepunkt for $x=2$ siden både den deriverte og den dobbeltderiverte er null der. Det eneste ekstremalpunktet grafen til funksjonen har, er et bunnpunkt i ${\displaystyle (-1,-\frac{{\displaystyle 19}}{{\displaystyle 4}})}$ siden den deriverte er null og den dobbeltderiverte er positiv for $x=-1$.