Oppgave

Hvordan bestemme den deriverte i et punkt grafisk

Hvordan finner vi den momentane vekstfarten i et punkt grafisk?

2.3.20

På Kvassøy blir det satt ut kaniner. De formerer seg raskt, og antall kaniner på øya etter $x$ år er gitt ved $K (x) = \frac{360}{2 + 34 e^{- x}}$ .

a) Tegn grafen som viser hvor mange kaniner det er på Kvassøy etter $x$ antall år og finn hvor mange kaniner som ble satt ut på øya.

Løsning

Vi bruker GeoGebra og skriver inn funksjonsuttrykket i algebrafeltet. Husk å skrive inn aksetitler.

Grafen til K av x er lik 360 delt på parentes 2 pluss 34 ganger e opphøyd i minus x parentes slutt er tegnet i et koordinatsystem med x-verdier fra 0 til 16. Langs x-aksen står det x, år etter utsetting, og langs y-aksen står det y, antall kaniner på Kvassøy. Illustrasjon.

Vi skriver inn $K (0)$ og får $10$ . Det ble satt ut $10$ kaniner på Kvassøy.

I algebrafeltet i GeoGebra er det skrevet inn K av x er lik 360 delt på parentes 2 pluss 34 ganger e opphøyd i minus x parentes slutt. I linja under står det a er lik K av 0 er lik 10. Skjermutklipp.

b) Finn grafisk hvor mye antallet kaniner på Kvassøy øker per år etter det første året.

Løsning

Vi skriver (1, K(1)) inn i algebrafeltet og får et punkt. Vi bruker kommandoen Tangent(1,K(x)) og får tangenten til $K$ i punktet. Vi bruker kommandoen "Stigning" på tangenten og får $a = 21, 39$ . Etter det første året øker antallet kaniner med $21, 4$ kaniner per år.

c) Finn grafisk momentan vekstfart for antall kaniner på Kvassøy etter fem år.

Løsning

Vi skriver (5, K(5)) inn i algebrafeltet og får et punkt. Vi bruker kommandoen "Tangent" og får tangenten til $K$ i punktet. Vi bruker kommandoen "Stigning" og får $a =16, 6$ . Den momentane vekstfarten for antall kaniner på Kvassøy etter fem år $16, 6$ kaniner per år.

d) Finn grafisk $K^{'} (10)$ .

Løsning

Vi skriver (10, K(10)) inn i algebrafeltet og får et punkt. Vi bruker kommandoen "Tangent" og får tangenten til $K$ i punktet. Vi bruker kommandoen "Stigning" og får $a = 0, 14$ . $K^{'} (10) = 0, 14$ .

e) Kommenter $K^{'} (5) og K^{'} (10)$ . Hva vil tallene si for kaninbestanden på Kvassøy?

Løsning

$K^{'} (5)$ er $16, 6$ , og det betyr at etter nøyaktig $5$ år vokser kaninbestanden på Kvassøy med $16, 6$ kaniner årlig. $K^{'} (10)$ er $0, 14$ , og det betyr at etter nøyaktig $10$ år øker kaninbestanden på øya med bare $0, 14$ kaniner årlig. Vi ser at økningen av kaniner på Kvassøy minker betraktelig mellom $5$ og $10$ år etter at man satte ut kaniner på øya. Dette passer godt med grafen som viser en utflating i antall kaniner på øya.

2.3.21

Under ser du grafen til $f (x)$ . På grafen er det tegnet inn to punkter, og i hvert punkt er det tegnet inn en tangent som berører grafen. Finn momentan vekstfart i hvert av punktene.

Grafen til f av x er lik x i andre pluss 4 er tegnet i et koordinatsystem med x-verdier fra minus 5 til 7. Grafen har to punkter, og hvert punkt har en tangent som berører grafen. Illustrasjon.

Løsning

Man kan finne den momentane vekstfarten i et punkt ved å studere tangenten i punktet og for eksempel å telle ruter eller å bruke formelen for stigningen for ei linje. Vi finner to punkter $(- 2, 8)$ og $(- 1, 4)$ på tangenten til venstre og ser at vi flytter oss fire enheter nedover når vi flytter oss én enhet bortover. (Legg merke til at éi rute i loddrett retning er to enheter.) Stigningen er derfor $- 4$ . I punktet $(2, 8)$ gjør vi det samme og finner at stigningen til tangenten som berører punktet, er $4$ .

2.3.22

Funksjonen $f$ er gitt ved $f (x) = x^{2} + 4 x + 2$ .

a) Bestem stigningen til $f$ når $x = - 2$ grafisk.

Løsning

Vi bruker GeoGebra og skriver funksjonsuttrykket inn i algebrafeltet. Vi skriver (-2,f(-2)) inn i algebrafeltet og får punktet. Vi bruker kommandoen "Tangent" og får tangentlinja. Vi bruker kommandoen "Stigning" og får $a = 0$ , som viser at funksjonen har stigningen $0$ når $x = - 2$ .

Grafen til f av x er lik x i andre pluss 4 x pluss 2 er tegnet i et koordinatsystem med x-verdier fra minus 6 til pluss 6. Det er tegnet inn et punkt med koordinatene x er lik minus 2 og y er lik minus 2. Det er tegnet inn en tangent som berører grafen i punktet. Det står a er lik 0 ved tangenten. Illustrasjon.

b) Bestem den deriverte til $f$ når $x = 1$ grafisk.

Løsning

Vi bruker GeoGebra og skriver funksjonsuttrykket inn i algebrafeltet. Vi skriver (1,f(1)) inn i algebrafeltet og får punktet. Vi bruker kommandoen "Tangent" og får tangentlinja. Vi bruker kommandoen "Stigning" og får $a = 6$ som viser at den deriverte til $f$ er 0 når $x = 1$ .

Grafen til f av x er lik x i andre pluss 4 x pluss 2 er tegnet i et koordinatsystem med x-verdier fra minus 10 til pluss 10. Det er tegnet inn et punkt med koordinatene x er lik minus 1 og y er lik 7. Det er tegnet inn en tangent som berører grafen i punktet. Det står a er lik 6 ved tangenten. Illustrasjon.

2.3.23

Funksjonen $f$ er gitt ved $f (x) = x^{3} - 2 x + 1$

a) Bestem den momentane vekstfarten til $f$ når $x = - 2$ grafisk.

Løsning

Vi bruker GeoGebra og skriver funksjonsuttrykket inn i algebrafeltet. Vi skriver (-2,f(-2)) inn i algebrafeltet og får punktet. Vi bruker kommandoen "Tangent" og får tangentlinja. Vi bruker kommandoen "Stigning" og får $a = 10$ som viser at den momentane vekstfarten når $x = - 2$ er lik $10$ .

Grafen til funksjonen f av x er lik x i tredje minus 2 x pluss 1 er tegnet inn i et koordinatsystem med x-verdier fra minus 6 til 7. Punktet på grafen der x er lik minus 2 og y er lik 3 er tegnet inn. Det er tegnet inn en tangent i punktet, og stigningen til tangenten er lik 10. Illustrasjon.

b) Bestem den deriverte til $f$ når $x = 2$ grafisk.

Løsning

Vi bruker GeoGebra og skriver funksjonsuttrykket inn i algebrafeltet. Vi skriver (2,f(2)) inn i algebrafeltet og får punktet. Vi bruker kommandoen "Tangent" og får tangentlinja. Vi bruker kommandoen "Stigning" og får $a = 10$ som viser at den deriverte når $x = - 2$ er lik $10$ .

c) Finn ekstremalpunktene, og bestem stigningen i punktene grafisk.

Løsning

Vi bruker GeoGebra og skriver funksjonsuttrykket inn i algebrafeltet. Vi finner ekstremalpunktene til funksjonen og lager en tangent i hvert ekstremalpunkt. Vi finner stigningen til hver av tangentene, og begge stigningene er lik $0$ . Ekstremalpunkter slik som toppunktet og bunnpunktet vi fant her, har stigning lik $0$ .

Grafen til funksjonen f av x er lik x i tredje minus 2 x pluss 1 er tegnet inn i et koordinatsystem med x-verdier fra minus 6 til 7. Det er tegnet inn to punkter på grafen i henholdsvis toppunktet og i bunnpunktet. I hvert punkt er det tegnet inn en tangent som berører grafen i punktet. Tangentene har stigning lik 0. Illustrasjon.

2.3.24

Diskuter i par.

Grafen til f av x er lik x i tredje pluss 3 x i andre minus 2 er tegnet inn i et koordinatsystem med x-verdier fra minus 3 komma 5 til pluss 3. Grafen til den deriverte til f, 3 x i andre pluss 6 x, er tegnet inn i det samme koordinatsystemet. En tangent berører grafen til f i punktet x er minus 2 og y er 2. En annen tangent berører grafen til f i punktet x er 0 og y er minus 2. På grafen til den deriverte av f er det tegnet inn to punkter, x er minus 2 og y er null, og det andre punktet er x er 0 og y er 0. Illustrasjon.

I bildet over ser dere grafen til $f (x)$ (blå linje) og grafen til $f^{'} (x)$ (grønn linje). Det er merket av fire punkter og to tangenter. Forklar og begrunn hva dere ser på bildet.

2.3.25

Under ser du grafene til tre funksjoner, blå grafer, og deres deriverte, grønne grafer. Finn for hver funksjon hvilken derivert som hører til funksjonen, og forklar hvorfor de hører sammen.

Grafer til oppgaven
Funksjon	Den deriverte til funksjonen
Funksjon A	Derivert 1
Funksjon B	Derivert 2
Funksjon C	Derivert 3

Løsning

Funksjon A hører sammen med derivert 3.
Funksjon B hører sammen med derivert 1.
Funksjon C hører sammen med derivert 2.

2.3.26

En vakker sommerdag i Røros ble temperaturen mellom kl. 9.00 og 19.00 i $° C$ gitt ved

$R (x) = - 0, 23 x^{2} + 2 x + 13$

Samtidig ble temperaturen i $° C$ i Kristiansand gitt ved

$K (x) = - 0, 42 x^{2} + 3, 2 x + 17$

For begge uttrykkene gjelder at $x$ er antall timer etter kl. 9.00.

a) Tegn grafene til $R$ og $K$ i det samme koordinatsystemet for tidsrommet fra kl. 9.00 til kl. 19.00.

Løsning

Vi bruker GeoGebra og kommandoen "Funksjon (, , )". Vi setter inn funksjonsuttrykkene med start $0$ og slutt $10$ .

Grafene til funksjonene til K er lik minus 0,42 x i andre pluss 3,2 x pluss 17 og til R er lik minus 0,23 x i andre pluss 2 x pluss 13 er tegnet i et koordinatsystem med x-verdier fra 0 til 11. Grafene stopper ved x er lik 10. y-aksen har aksetittel y, grad celsius, og x-aksen har aksetittel x, timer etter kl. 9.00. Illustrasjon.

b) Hva er den momentane vekstfarten til temperaturen i Kristiansand kl. 11.00 denne formiddagen?

Løsning

Vi bruker GeoGebra, skriver (2,K(2)) inn i algebrafeltet og får punktet. Vi bruker kommandoen "Tangent" og får tangentlinja. Vi bruker kommandoen "Stigning" og får $a = 1, 52$ , som viser at den momentane vekstfarten når $x = 2$ er lik $1, 52$ . Det betyr at kl. 11.00 den formiddagen steg temperaturen i Kristiansand med 1,52 grader celsius per time.

c) Bestem temperaturstigningen kl. 18.00 i Røros.

Løsning

Vi bruker GeoGebra og skriver funksjonsuttrykket inn i algebrafeltet. Vi skriver (9,R(9)) inn i algebrafeltet og får punktet. Vi bruker kommandoen "Tangent" og får tangentlinja. Vi bruker kommandoen "Stigning" og får $a_{1} = - 2, 14$ , som viser at den momentane vekstfarten når $x = 9$ er lik $- 2, 14$ . Det betyr at kl. 18.00 den ettermiddagen sank temperaturen i Røros med 2,1 grader celsius per time.

d) Finn $R^{'} (6) og K^{'} (6)$ , og forklar hva svaret betyr i praksis.

Løsning

Vi bruker GeoGebra og skriver funksjonsuttrykket inn i algebrafeltet. Vi skriver (6,K(6)) og (6,R(6)) inn i algebrafeltet og får punktene. Vi bruker kommandoen "Tangent" og får tangentlinjene. Vi bruker kommandoen "Stigning" og får $a = - 1, 84$ og $a = - 0, 76$ , som viser at den momentane vekstfarten i temperatur kl. 15.00 på dagen er $- 1, 8$ for Kristiansand og $- 0, 8$ for Røros. Vi ser at temperaturfallet er høyere i Kristiansand enn i Røros på det tidspunktet. Det betyr at kl. 15.00 den dagen sank temperaturen i Kristiansand med 1,8 grader celsius per time, mens temperaturen i Røros sank med 0,8 grader celsius per time på det samme tidspunktet.