Kontinuerlige og diskontinuerlige funksjoner

Kontinuitet og diskontinuitet

Fra en båt loddes dybden ned til havbunnen mens båten beveger seg inn mot land. Vannet blir stadig grunnere, bortsett fra når båten passerer et fjellutspring som gjør at dybden endrer seg brått, se figuren.

Vi tenker oss dybden som funksjon av den strekningen båten tilbakelegger. Grafen til denne funksjonen ville da kunne se ut som vist på figuren. Grafen er ikke sammenhengende. Funksjonsverdiene gjør et plutselig hopp for en spesiell verdi av x, men til hver x-verdi måles en bestemt dybde, så funksjonen er definert for alle x.

Vi sier at dybdefunksjonen ikke er kontinuerlig for den x-verdien som beskriver punktet for fjellutspringet. Den er diskontinuerlig i dette punktet.

Kontinuerlige funksjoner

Funksjoner som er kontinuerlige i hele definisjonsområdet sitt, kaller vi for kontinuerlige funksjoner. Disse har ingen punkter der de er diskontinuerlige. Én måte å beskrive det på er at man kan tegne grafen med blyant uten å løfte blyanten fra papiret, så lenge vi er innenfor definisjonsområdet til grafen. Som vi skal se, betyr ikke det nødvendigvis at grafene må henge sammen over det hele.

Vi begynner med å se på tre eksempler:

Funksjonene f, g og h er gitt ved

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)& = & \frac{1}{3}{x}^3-x+2\\ & & \\ & & \\ g\left(x\right)& =& \frac{x^2-4}{x-2}\\ & & \\ & & \\ h\left(x\right)& =& \frac{x^2-2}{x-2}\end{array}$

$f\left(x\right)$ er en polynomfunksjon. Denne funksjonen er definert for alle x-verdier. Grafen er sammenhengende i hele $\mathrm{ℝ}$. Vi sier dermed at funksjonen er kontinuerlig.

$g\left(x\right)$ og $h\left(x\right)$ er begge rasjonale funksjoner. Vi ser at de begge er udefinert for $x=2$, siden vi har 0 under brøkstreken. Det betyr at det ikke finnes noe punkt på grafen der $x=2$. Overalt ellers er grafene sammenhengende, men akkurat i dette punktet er den det ikke. Vi sier likevel at $g\left(x\right)$ og $h\left(x\right)$ er kontinuerlige funksjoner, fordi de er kontinuerlige i alle punkter der de er definert.

Vi sier at en funksjon er kontinuerlig hvis det ikke finnes noen punkter på grafen der grafen ikke er sammenhengende. Derfor er det bare nødvendig å undersøke i enkelte punkter hvis vi skal sjekke om en funksjon er kontinuerlig eller ikke.

I tillegg til polynomfunksjoner og rasjonale funksjoner, er de fleste andre funksjoner du har jobbet med tidligere, også kontinuerlige i hele definisjonsområdet sitt. Dette omfatter for eksempel potensfunksjoner, eksponentialfunksjoner og logaritmefunksjoner. Vi har også at dersom vi setter sammen to funksjoner som er kontinuerlige, vil sammensetningen også være kontinuerlig.

Kontinuitet i punkter

Vi så over at en funksjon er kontinuerlig dersom det ikke finnes ett eller flere punkter der funksjoner ikke er kontinuerlige. Vi forstår intuitivt at dersom grafen er sammenhengende i et punkt, er den kontinuerlig der. Men vi har også en matematisk definisjon vi kan bruke til å regne ut om funksjonen er kontinuerlig i et punkt:

En funksjon f er kontinuerlig for $x=a$ hvis og bare hvis

$\underset{x\to a}{\lim } f\left(x\right)=f\left(a\right)$

Funksjonen $f\left(x\right)$ over er en polynomfunksjon. Vi husker at måten vi finner grenseverdien i et punkt på nettopp er ved å regne ut funksjonsverdien. Dermed er alle polynomfunksjoner kontinuerlige i hele definisjonsområdet sitt.

🤔 Tenk over: Hvorfor sier vi ikke at $g\left(x\right)$ og $h\left(x\right)$ i eksempelet over er diskontinuerlig i $x=2$?

Kontinuitet i et intervall

Vi kan også si at en funksjon er kontinuerlig i et gitt intervall. Dette vil vi se nærmere på når vi kommer til funksjoner med delt forskrift. Vi ser at funksjonen f er kontinuerlig i et intervall dersom f er kontinuerlig i alle punkter i intervallet.