Oppgave

Eksponentiallikninger

Her finner du oppgaver om eksponentiallikninger. Nederst på siden kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokumenter.

Oppgave 1

Løs likningene uten hjelpemidler. Vi har vist to mulige løsningsforslag på flere av oppgavene.

a) $4^{x} = 16$

Løsning 1

$\begin{array}{rcl} 4^{x} & = & 16 \\ \lg 4^{x} & = & \lg 16 \\ x \lg 4 & = & \lg 16 \\ x & = & \frac{\lg 16}{\lg 4} \\ x & = & \frac{\lg 4^{2}}{\lg 4} \\ x & = & \frac{2 \lg 4}{\lg 4} \\ x & = & 2 \end{array}$

Løsning 2

$\begin{array}{rcl} 4^{x} & = & 16 \\ 4^{x} & = & 4^{2} \\ x & = & 2 \end{array}$

b) $3^{3 x} = 9$

Løsning 1

$\begin{array}{rcl} 3^{3 x} & = & 9 \\ \ln 3^{3 x} & = & \ln 9 \\ 3 x \ln 3 & = & \ln 3^{2} \\ 3 x & = & \frac{\ln 3^{2}}{\ln 3} \\ 3 x & = & \frac{2 \ln 3}{\ln 3} \\ 3 x & = & 2 \\ x & = & \frac{2}{3} \end{array}$

Løsning 2

$\begin{array}{rcl} 3^{3 x} & = & 9 \\ 3^{3 x} & = & 3^{2} \\ 3 x & = & 2 \\ x & = & \frac{2}{3} \end{array}$

c) $10^{x} = 55$

Løsning

$\begin{array}{rcl} 10^{x} & = & 55 \\ \lg 10^{x} & = & \lg 55 \\ x \cdot \lg 10 & = & \lg 55 \\ x & = & \lg 55 \end{array}$

d) $10^{- 2 x} = 100$

Løsning 1

$\begin{array}{rcl} 10^{- 2 x} & = & 100 \\ \lg 10^{- 2 x} & = & \lg 100 \\ - 2 x \lg 10 & = & \lg 100 \\ - 2 x \lg 10 & = & \lg 10^{2} \\ - 2 x \lg 10 & = & 2 \cdot \lg 10 \\ - 2 x & = & 2 \\ x & = & - 1 \end{array}$

Løsning 2

$\begin{array}{rcl} 10^{- 2 x} & = & 100 \\ 10^{- 2 x} & = & 10^{2} \\ - 2 x & = & 2 \\ x & = & - 1 \end{array}$

e) $4^{x} = 32$

Løsning 1

$\begin{array}{rcl} 4^{x} & = & 32 \\ \ln 4^{x} & = & \ln 32 \\ x \ln 4 & = & \ln 32 \\ x & = & \frac{\ln 32}{\ln 4} \\ x & = & \frac{\ln 2^{5}}{\ln 2^{2}} \\ x & = & \frac{5 \ln 2}{2 \ln 2} \\ x & = & \frac{5}{2} \end{array}$

Løsning 2

$\begin{array}{rcl} 4^{x} & = & 32 \\ 4^{x} & = & 4 \cdot 4 \cdot 2 \\ {(2^{2})}^{x} & = & 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \\ 2^{2 x} & = & 2^{5} \\ 2 x & = & 5 \\ x & = & \frac{5}{2} \end{array}$

Oppgave 2

Løs likningene ved regning for hånd.

a) $2,0 \cdot 0, 5^{x} = 13$

Løsning

$\begin{array}{rcl} 2, 0 \cdot 0, 5^{x} & = & 13 \\ 0, 5^{x} & = & 6, 5 \\ \lg 0, 5^{x} & = & \lg 6, 5 \\ x \lg 0, 5 & = & \lg 6, 5 \\ x & = & \frac{\lg 6, 5}{\lg 0, 5} \end{array}$

b) $5^{2 x} = 25$

Løsning 1

$\begin{array}{rcl} 5^{2 x} & = & 25 \\ \ln (5^{2 x}) & = & \ln 25 \\ 2 x \ln 5 & = & \ln 5^{2} \\ 2 x \ln 5 & = & 2 \ln 5 \\ \frac{2 x \ln 5}{\ln 5} & = & \frac{2 \ln 5}{\ln 5} \\ 2 x & = & 2 \\ x & = & 1 \end{array}$

Løsning 2

$\begin{array}{rcl} 5^{2 x} & = & 25 \\ 5^{2 x} & = & 5^{2} \\ 2 x & = & 2 \\ x & = & 1 \end{array}$

c) $2^{x + 1} = 4$

Løsning 1

$\begin{array}{rcl} 2^{x + 1} & = & 4 \\ \ln 2^{x + 1} & = & \ln 2^{2} \\ (x + 1) \cdot \ln 2 & = & 2 \ln 2 \\ x + 1 & = & \frac{2 \ln 2}{\ln 2} \\ x & = & 2 - 1 \\ x & = & 1 \end{array}$

Løsning 2

$\begin{array}{rcl} 2^{x + 1} & = & 4 \\ 2^{x + 1} & = & 2^{2} \\ x + 1 & = & 2 \\ x & = & 1 \end{array}$

d) $3^{x + 1} - 11 = 70$

Løsning

$\begin{array}{rcl} 3^{x + 1} - 11 & = & 70 \\ 3^{x + 1} & = & 81 81 = 3^{4} \\ 3^{x + 1} & = & 3^{4} \\ x + 1 & = & 4 \\ x & = & 3 \end{array}$

e) $\frac{2^{2 x}}{2^{x - 1}} = 32$

Løsning

$\begin{array}{rcl} \frac{2^{2 x}}{2^{x - 1}} & = & 32 \\ 2^{2 x - (x - 1)} & = & 2^{5} \\ 2^{x + 1} & = & 2^{5} \\ x + 1 & = & 5 \\ x & = & 4 \end{array}$

Oppgave 3

Finn feilen i løsningsforslagene under, og løs oppgavene.

$\begin{array}{rcl} 4^{2 x} & = & 16^{2 x - 6} 16 = 4^{2} \\ 4^{2 x} & = & (4^{2})^{2 x - 6} \\ 4^{2 x} & = & 4^{2 + 2 x - 6} \\ 2 x & = & - 4 + 2 x \\ 2 x + 2 x & = & - 4 \\ 4 x & = & - 4 \\ x & = & - 1 \end{array}$

Løsning

Første feil:

$\begin{array}{rcl} 4^{2 x} & = & 16^{2 x - 6} 16 = 4^{2} \\ 4^{2 x} & = & (4^{2})^{2 x - 6} \\ 4^{2 x} & = & 4^{2 + 2 x - 6} \end{array}$

2 må multipliseres med resten av eksponenten slik at $2 \cdot (2 x - 6) = 4 x - 12$ .

Andre feil:

$\begin{array}{rcl} 2 x & = & - 4 + 2 x \\ 2 x + 2 x & = & 4 \end{array}$

Vi får $2 x - 2 x$ på venstre side.

Nytt løsningsforslag:

$\begin{array}{rcl} 4^{2 x} & = & 16^{2 x - 6} 16 = 4^{2} \\ 4^{2 x} & = & (4^{2})^{2 x - 6} \\ 4^{2 x} & = & 4^{2 \cdot (2 x - 6)} \\ 4^{2 x} & = & 4^{4 x - 12} \\ 2 x & = & 4 x - 12 \\ 2 x - 4 x & = & - 12 \\ \frac{- 2 x}{- 2} & = & \frac{- 12}{- 2} \\ x & = & 6 \end{array}$

$\begin{array}{rcl} 2 e^{2 x - 3} & = & 18 \\ e^{2 x - 3} & = & 9 \\ \ln e^{2 x - 3} & = & 9 \ln e = 1 \\ 2 x - 3 & = & 9 \\ 2 x & = & 9 + 3 \\ \frac{2 x}{2} & = & \frac{12}{2} \\ x & = & 6 \end{array}$

Løsning

Feil:

$\ln e^{2 x - 3} = 9$

Vi må huske å bruke ln på begge sider av likningen.

Nytt løsningsforslag:

$\begin{array}{rcl} 2 e^{2 x - 3} & = & 18 \\ e^{2 x - 3} & = & 9 \\ \ln e^{2 x - 3} & = & \ln 9 \ln e = 1 \\ 2 x - 3 & = & \ln 9 \\ 2 x & = & \ln 3^{2} + 3 \\ \frac{2 x}{2} & = & \frac{2 \ln 3 + 3}{2} \\ x & = & \frac{2 \ln 3 + 3}{2} = \ln 3 + \frac{3}{2} \end{array}$

$\begin{array}{rcl} 5^{2} \cdot 5^{4 n} & = & 5^{10} \\ 2 \cdot 4 n & = & 10 \\ 8 n & = & 10 \\ \frac{8 n}{8} & = & \frac{10}{8} \\ n & = & \frac{5}{4} \end{array}$

Løsning

Feil:

$\begin{array}{rcl} 5^{2} \cdot 5^{4 n} & = & 5^{10} \\ 2 \cdot 4 n & = & 10 \end{array}$

Eksponentene på venstre side skal adderes, ikke multipliseres.

Nytt løsningsforslag:

$\begin{array}{rcl} 5^{2} \cdot 5^{4 n} & = & 5^{10} \\ 5^{2 + 4 n} & = & 5^{10} \\ 2 + 4 n & = & 10 \\ 4 n & = & 8 \\ n & = & \frac{8}{4} \\ n & = & 2 \end{array}$

$\begin{array}{rcl} -2 \cdot 10^{2 x} & = & - 140 \\ \frac{-2 \cdot 10^{2 x}}{- 2} & = & \frac{- 140}{- 2} \\ 10^{2 x} & = & 70 \\ \lg 10^{2 x} & = & \lg 70 \\ 2 x & = & \lg 70 \\ x & = & \lg (\frac{70}{2}) \\ x & = & \lg 35 \end{array}$

Løsning

Feil:

$\begin{array}{rcl} 2 x & = & \lg 70 \\ x & = & \lg (\frac{70}{2}) \end{array}$

Det er $\lg 70$ som skal deles på 2, ikke 70.

Nytt løsningsforslag:

$\begin{array}{rcl} -2 \cdot 10^{2 x} & = & - 140 \\ \frac{-2 \cdot 10^{2 x}}{- 2} & = & \frac{- 140}{- 2} \\ 10^{2 x} & = & 70 \\ \lg 10^{2 x} & = & \lg 70 \\ 2 x & = & \lg 70 \\ x & = & \frac{\lg 70}{2} \end{array}$

$\begin{array}{rcl} \frac{980}{10^{2 x} - 2} & = & 10 \\ 980 & = & 10 (10^{2 x} - 2) \\ 98 & = & 10^{2 x} - 2 \\ \lg 98 & = & \lg 10^{2 x} - \lg 2 \\ \lg 98 & = & 2 x - \lg 2 \\ \frac{\lg 98 - \lg 2}{2} & = & \frac{2 x}{2} \\ x & = & \frac{\lg \frac{98}{2}}{2} \\ x & = & \frac{\lg 49}{2} \end{array}$

Løsning

Feil:

$\begin{array}{rcl} 98 & = & 10^{2 x} - 2 \\ \lg 98 & = & \lg 10^{2 x} - \lg 2 \end{array}$

Det blir feil å ta logaritmen til hvert ledd på høyre side. Vi flytter heller 2 over på venstre side.

Nytt løsningsforslag:

$\begin{array}{rcl} \frac{980}{10^{2 x} - 2} & = & 10 \\ 980 & = & 10 (10^{2 x} - 2) \\ 98 & = & 10^{2 x} - 2 \\ 100 & = & 10^{2 x} \\ 10^{2} & = & 10^{2 x} \\ 2 & = & 2 x \\ x & = & 1 \end{array}$

$\begin{array}{rcl} 2^{x^{2} - 2 x} & = & 4^{4} 4 = 2^{2} \\ 2^{x^{2} - 2 x} & = & (2^{2})^{4} \\ 2^{x^{2} - 2 x} & = & 2^{8} \\ x^{2} - 2 x & = & 8 \\ x (x - 2) & = & 8 \\ x & = & 8 \lor x - 2 = 8 \\ x & = & 8 \lor x = 10 \end{array}$

Løsning

$\begin{array}{rcl} x^{2} - 2 x & = & 8 \\ x (x - 2) & = & 8 \\ x = 8 & \lor & x - 2 = 8 \end{array}$

Produktregelen krever at det står 0 på høyre side.

Nytt løsningsforslag:

$\begin{array}{rcl} 2^{x^{2} - 2 x} & = & 4^{4} 4 = 2^{2} \\ 2^{x^{2} - 2 x} & = & (2^{2})^{4} \\ x^{2} - 2 x & = & 8 \\ x^{2} - 2 x - 8 & = & 0 \\ (x + 2) (x - 4) & = & 0 \\ x & = & - 2 \lor x = 4 \end{array}$

Oppgave 4

Miriam kjøpte en skuter for 10 000 kroner i begynnelsen av 2020. Vi regner med at verdien synker med 15 prosent per år. Vi kan da skrive verdien om x år som

$S (x) = 10 000 \cdot 0, 85^{x}$

a) Sett opp en likning som viser hvor lang tid det tar til verdien på skuteren er redusert med 50 prosent.

Løsning

$10 000 \cdot 0, 85^{x} = 5 000$

b) Bruk logaritmer til å regne ut uttrykket i a).

Løsning

$\begin{array}{rcl} 0, 85^{x} & = & \frac{5 000}{10 000} \\ \lg 0, 85^{x} & = & \lg 0, 5 \\ x \lg 0, 85 & = & \lg 0, 5 \\ x & = & \frac{\lg 0, 5}{\lg 0, 85} \\ x & \approx & 4, 27 \end{array}$

Oppgave 5

Temperaturen i et kjøleskap de første timene etter et strømbrudd er gitt ved

$T (x) = 3 + 1, 15^{x}$

der x er antall timer etter strømbruddet.

a) Hva var temperaturen i kjøleskapet ved strømbruddet?

Løsning

Når strømbruddet skjer, er $x = 0$ . Vi setter inn i 0 uttrykket og får $T (0) = 3 + 1 . 15^{0} = 3 + 1 = 4$ .

Temperaturen i kjøleskapet ved strømbruddet var 4°C.

b) Bruk logaritmer til å regne ut hvor lang tid det går før temperaturen i kjøleskapet er 10 grader.

Løsning

$\begin{array}{rcl} 3 + 1, 15^{x} & = & 10 \\ 1, 15^{x} & = & 7 \\ \lg 1, 15^{x} & = & \lg 7 \\ x \lg 1, 15 & = & \lg 7 \\ x & = & \frac{\lg 7}{\lg 1, 15} \\ x & \approx & 13, 92 \end{array}$

c) Tegn grafen til T. La x variere mellom 0 og 20. Løs oppgaven i b) grafisk.

Løsning

Vi tegner linja $y = 10$ .

Vi finner skjæringspunktet mellom denne linja og grafen til T med kommandoen "Skjæring mellom to objekt". Se punkt A på grafen.

Det tar litt mindre enn 14 timer før det er 10 grader i kjøleskapet.

Grafen til funksjonen T av x er lik 3 pluss 1,55 opphøyd i x er tegnet i et koordinatsystem for x-verdier mellom 0 og 20. Linja y er lik 10 er også tegnet, og skjæringspunktet mellom linja og grafen til S er markert og har koordinatene 13,92 og 10. Skjermutklipp. — Graf som viser hvordan temperaturen i et kjøleskap kan stige ved et strømbrudd

d) Bruk logaritmer til å regne ut hvor lang tid det vil ta før temperaturen i kjøleskapet er 16 grader.

Løsning

$\begin{array}{rcl} 3 + 1, 15^{x} & = & 16 \\ 1, 15^{x} & = & 13 \\ x \lg 1, 15 & = & \lg 13 \\ x & = & \frac{\lg 13}{\lg 1, 15} \\ x & \approx & 18, 35 \end{array}$

Det vil ta noe over 18 timer før temperaturen i kjøleskapet er 16 grader.

e) Er det realistisk å bruke denne modellen dersom strømmen er borte over en lengre periode (i mer enn ett døgn)? Begrunn svaret ditt.

Løsning

Vi kan sette x lik for eksempel 24 og 30 timer, og vi finner temperaturen i kjøleskapet:

$T (24) = 31, 63$

$T (30) = 69, 21$

Ut fra denne modellen vil temperaturen stige kraftig etter ett døgn, noe som er lite sannsynlig. Vi antar at temperaturen i et kjøleskap uten strøm vil nærme seg temperaturen i rommet. Modellen er derfor urealistisk å bruke dersom strømbruddet varer over en lengre periode.

Oppgave 6

a) Vi antar at hummerbestanden øker med 2,5 prosent i året. Hvor mange år tar det før bestanden er doblet?

Løsning

Vi bruker bokstaven H som tegn for hummerbestanden. Vi bruker $2 \cdot H$ for å vise at hummerbestanden er doblet.

Hva er vekstfaktoren for noe som øker med 2,5 prosent?

$100 % + 2, 5 % = 102, 5 % = 1, 025$

Vi får formelen:

$\begin{array}{rcl} H \cdot 1, 025^{x} & = & 2 H \\ 1, 025^{x} & = & 2 \\ \lg 1, 025^{x} & = & \lg 2 \\ x \cdot \lg 1, 025 & = & \lg 2 \\ x & = & \frac{\lg 2}{\lg 1, 025} \\ x & \approx & 28, 07 \end{array}$

Det tar litt over 28 år før hummerbestanden er doblet.

b) I 2017 ble det fanget 454 000 hummere, og i 2018 var fangsten gått ned til 322 000 hummere. Det er mange årsaker til at det ble fanget færre hummere i 2018, men hvor mange prosent minket hummerfangsten med i denne perioden?

Løsning

$\begin{array}{rcl} x \cdot 454 000 & = & 322 000 \\ x & = & \frac{322 000}{454 000} \\ x & = & 0, 71 \end{array}$

Hummerfangsten minket med 29 prosent fra 2017 til 2018.

c) Når er fangsten nede i 5 000 hummere hvis utviklingen fortsetter i det samme tempoet som i b)?

Løsning

Vi kan starte i 2018 med 322 000 hummere:

$\begin{array}{rcl} 322 000 \cdot 0, 71^{x} & = & 5 000 \\ 0, 71^{x} & = & \frac{5 000}{322 000} \\ 0, 71^{x} & = & 0, 016 \\ \lg 0, 71^{x} & = & \lg 0, 016 \\ \frac{x \cdot \lg 0, 71}{\lg 0, 71} & = & \frac{\lg 0, 016}{\lg 0, 71} \\ x & = & 12, 07 \end{array}$

Hummerfangsten vil være nede i 5 000 hummere i 2030 hvis den minker med 29 prosent hvert år.

Nedlastbare filer

Her kan du laste ned oppgavene som Word- og pdf-dokument.

Eksponentiallikninger(DOCX)
Eksponentiallikninger(PDF)