Analyse av funksjoner – begreper

Hva er forskjellen på et toppunkt og et absolutt maksimum? Hvilke begreper er viktige når vi skal analysere funksjoner?

Drøfting eller analyse av en funksjon betyr å finne ut mest mulig om funksjonen. Vi bruker vanligvis den deriverte og den dobbeltderiverte funksjonen i denne analysen.

Eksempelfunksjon

Nedenfor er grafen til funksjon f gitt ved

$f (x) = 3 x^{4} - 16 x^{3} + 18 x^{2}, D_{f} = [1, 4]$

tegnet. Figuren oppsummerer de fleste begrepene i forbindelse med punkter på en graf det er aktuelt å finne når vi skal analysere en funksjon.

Koordinatsystem der grafen til f av x er lik 3 x i fjerde minus 16 x i tredje pluss 18 x i andre er tegnet for x-verdier mellom minus 1 og 4. På figuren er ulike begreper definert i forhold til akkurat denne funksjonen. Figuren blir nærmere forklart i den følgende teksten. Illustrasjon. — Definisjoner i forbindelse med funksjonsanalyse

Beskrivelse av figuren

Funksjonen har nullpunktene $x = 0, x = 1, 61$ og $x = 3, 72$ .

Legg merke til at når funksjonen er definert på et lukket intervall slik som her, blir endepunktene på grafen ekstremalpunkter. Grafen til funksjonen har toppunkter i endepunktet $(- 1, 37)$ , i $(1, 5)$ og i endepunktet $(4, 32)$ . Funksjonen har lokalt og absolutt maksimum $f (- 1) = 37$ i endepunktet $(- 1, 37)$ . I de to andre toppunktene har funksjonen lokale maksimum $f (1) = 5$ og $f (4) = 32$ . Grafen til funksjonen har bunnpunkter i $(0, 0)$ og i $(3, - 27)$ . I det første bunnpunktet har funksjonen lokalt minimum $f (0) = 0$ . I det andre bunnpunktet har funksjonen lokalt og absolutt minimum $f (3) = - 27$ .

Grafen til funksjonen har vendepunkter i $(1.45, 2.32)$ og i $(2.22, - 13.36)$ .

Vi bruker også begrepet maksimalverdi, som betyr det samme som maksimum. Tilsvarende bruker vi begrepet minimalverdi, som betyr det samme som minimum.

De mest grunnleggende begrepene

De mest grunnleggende begrepene er

nullpunkt
toppunkt og bunnpunkt
ekstremalpunkt og ekstremalverdi
lokalt maksimum / lokal maksimalverdi og absolutt maksimum / absolutt maksimalverdi
lokalt minimum / lokal minimalverdi og absolutt minimum / absolutt minimalverdi

Prøv å gjøre øvelsen nedenfor uten å bruke figuren øverst eller beskrivelsen av den.

Løsning

Et nullpunkt er førstekoordinaten til et skjæringspunkt mellom grafen til en funksjon og førsteaksen.

Et toppunkt er et punkt som har den høyeste andrekoordinaten i et intervall omkring seg. Andrekoordinaten er et lokalt maksimum (en lokal maksimalverdi) og kan i tillegg være et absolutt maksimum (en absolutt maksimalverdi). Tilsvarende kalles andrekoordinaten til et bunnpunkt et lokalt minimum (en lokal minimalverdi) og kan i tillegg være et globalt minimum (global minimalverdi).

Topp- og bunnpunkter har fellesbetegnelsen ekstremalpunkter.

Maksimal- og minimalverdier har fellesbetegnelsen ekstremalverdier.

Et absolutt maksimum er den største verdien en funksjon kan ha i sitt definisjonsområde. Tilsvarende gjelder for et absolutt minimum.

Flere begreper

Her er flere begreper som er omtalt på andre sider i emnet Funksjonsanalyse.

terrassepunkt
stasjonært punkt
vendepunkt
hul side opp og hul side ned

I tillegg bruker vi begrepet kritisk punkt. Et kritisk punkt er et punkt der enten den deriverte funksjonen er null eller ikke eksisterer.

Nedenfor kan du øve på å bruke disse begrepene.

Løsning

Et stasjonært punkt på en graf karakteriseres ved at den deriverte er null i punktet. Hvis den deriverte skifter fortegn der, er det stasjonære punktet et topp- eller bunnpunkt. Hvis den deriverte ikke skifter fortegn der, er det stasjonære punktet et terrassepunkt. Et kritisk punkt er et punkt der den deriverte enten er null eller ikke eksisterer. En graf vender sin hule side opp når den dobbeltderiverte/andrederiverte er større enn 0, og sin hule side ned når den dobbeltderiverte/andrederiverte er mindre enn 0. Et punkt på grafen hvor grafen skifter mellom å vende sin hule side ned og å vende sin hule side opp, eller motsatt, kalles et vendepunkt. Tangenten til grafen i et slikt punkt kalles en vendetangent.

🤔 Tenk over: Er et terrassepunkt et kritisk punkt?

Forklaring

I et terrassepunkt er den deriverte lik 0, og da oppfyller det kravet til å være et kritisk punkt.

Du får øvd mer på disse begrepene i oppgavene.