Noen derivasjonsregler

Bakgrunn

Det å derivere en funksjon $f\left(x\right)$ ved hjelp av definisjonen av den deriverte funksjonen $f^{\text{'}}\left(x\right)$ kan være mye arbeid. Det ser vi for eksempel i oppgave 3.4.20 e) på oppgavesiden "Definisjonen av den deriverte". Derfor lager vi oss derivasjonsregler som vi kan bruke i stedet for definisjonen.

Eksempelfunksjon

Vi skal finne den deriverte til funksjonen $f$ gitt ved

$f\left(x\right)=2x^3-x^2+3x-4$

Hva slags derivasjonsregler trenger vi dersom vi skal slippe å bruke definisjonen på den deriverte på denne funksjonen?

I utgangspunktet trenger vi en derivasjonsregel for polynomfunksjoner, siden $f\left(x\right)$ er en polynomfunksjon. Vi trenger egentlig to regler til slike funksjoner.

• Vi må vite hvordan vi deriverer en funksjon av typen $a·x^n$ der $a$ er en vilkårlig konstant og $n$ er et positivt, helt tall.

• Siden funksjonen inneholder flere ledd, må vi vite hvordan vi deriverer funksjoner som består av flere ledd, det vil si funksjoner som $f\left(x\right)=g\left(x\right)+h\left(x\right)$.

Derivasjon av polynomfunksjoner

Derivasjonsregel

Vi ønsker å finne $f^{\text{'}}\left(x\right)$ når $f\left(x\right)=a·x^n$ der $a$ er en vilkårlig konstant. I første omgang antar vi at $n$ er et positivt, helt tall. Vi bruker det generelle uttrykket for gjennomsnittlig vekstfart, $\frac{∆y}{∆x}$, som er lik $f^{\text{'}}\left(x\right)$ når $∆x\to 0$.

$\begin{array}{rcl}\frac{∆y}{∆x} & =& \frac{f\left(x+∆x\right)-f\left(x\right)}{∆x}\\ & =& \frac{a{\left(x+∆x\right)}^n-a{x}^n}{∆x}\\ & =& a·\frac{{\displaystyle \stackrel{n \mathrm{faktorer}}{\overbrace{\left(x+∆x\right)·\left(x+∆x\right)·...·\left(x+∆x\right)}}}-x^n}{∆x}\end{array}$

Vi får $n$ faktorer av typen $\left(x+∆x\right)$. Det er en stor jobb å multiplisere ut en stor potens av et slikt uttrykk, og heldigvis trenger vi ikke det. Vi trenger bare å se på noen få av de leddene vi får når potensen multipliseres ut.

Vi starter med det vi får ved å multiplisere alle $x$ fra hver av de $n$ faktorene. Dette gir leddet $x^n$. Det er det eneste leddet vi får av typen $x^n$ når vi multipliserer ut potensen. Så ser vi på det leddet vi får når vi multipliserer $∆x$ fra den første faktoren med $x$ fra de $n-1$ andre faktorene. Da får vi leddet

$∆x·x^{n-1}$

Blir det flere ledd av typen $∆x·x^{n-1}$? Svaret på det er ja. Hvis vi multipliserer $∆x$ fra den andre faktoren med $x$ fra den første faktoren og $x$fra de $n-2$ andre faktorene, får vi

$∆x·x·x^{n-2}=∆x·x^{n-1}$

🤔 Tenk over: Hvor mange ledd av typen $∆x·x^{n-1}$ blir det totalt?

Når vi slår sammen disse $n$ leddene, får vi

$n·∆x·x^{n-1}$

Alle andre ledd vi får når vi multipliserer ut parentesene, vil inneholde faktoren $∆x$ minimum to ganger, det vil si at de inneholder faktoren ${\left(∆x\right)}^2$. Det betyr at resten av leddene kan skrives som

${\left(∆x\right)}^2\left(...\right)$

der den andre parentesen inneholder ledd med potenser av $x$ og $∆x$ med ulike kombinasjoner av eksponenter.

Nå kan vi gå tilbake til utregningen av $\frac{∆y}{∆x}$.

$\begin{array}{rcl}\frac{∆y}{∆x} & =& a·\frac{x^n+n·∆x·x^{n-1}+{\left(∆x\right)}^2\left(...\right)-x^n}{∆x}\\ & =& a·\frac{∆x\left(n·x^{n-1}+∆x·\left(...\right)\right)}{∆x}\\ & =& a\left(n·x^{n-1}+∆x·\left(...\right)\right)\end{array}$

Vi får forkortet bort $∆x$. Nå kan vi la $∆x$ gå mot 0 slik vi må gjøre for å finne den deriverte funksjonen. Da forsvinner det andre leddet i parentesen, og vi får

$f^{\text{'}}\left(x\right)=a·n{x}^{n-1}$

Det går an å vise at denne regelen gjelder for alle $n\in \mathrm{ℝ}$, ikke bare for de naturlige tallene. Dette kommer vi tilbake til i fagene R1 og S1.

Eksempel

Vi skal derivere $f\left(x\right)=3x^2$. Det betyr at $a=3$ og $n=1$. Da får vi at

$f^{\text{'}}\left(x\right)=3·2x^{2-1}=6x^1=6x$

Derivasjon av funksjoner med to ledd

Vi ønsker å finne ut hvordan vi deriverer funksjoner som består av to ledd. Vi setter

$f\left(x\right)=g\left(x\right)+h\left(x\right)$

Så bruker vi igjen det generelle uttrykket for gjennomsnittlig vekstfart, $\frac{∆y}{∆x}$, og ser hva vi får.

$\begin{array}{rcl}\frac{∆y}{∆x} & =& \frac{f\left(x+∆x\right)-f\left(x\right)}{∆x}\\ & =& \frac{g\left(x+∆x\right)+h\left(x+∆x\right)-\left(g\left(x\right)+h\left(x\right)\right)}{∆x}\\ & =& \frac{g\left(x+∆x\right)-g\left(x\right)+h\left(x+∆x\right)-h\left(x\right)}{∆x}\\ & =& \frac{g\left(x+∆x\right)-g\left(x\right)}{∆x}+\frac{h\left(x+∆x\right)-h\left(x\right)}{∆x}\end{array}$

Når vi nå lar $∆x$ gå mot 0, går det første leddet mot den deriverte av funksjonen $g$, det vil si $g^{\text{'}}\left(x\right)$, mens det andre leddet går mot $h^{\text{'}}\left(x\right)$. Vi får derfor at

$f^{\text{'}}\left(x\right)=g^{\text{'}}\left(x\right)+h^{\text{'}}\left(x\right)$

Konklusjonen blir at dersom en funksjon er en sum av to delfunksjoner blir den deriverte lik summen av den deriverte av hver delfunksjon. Kort sagt: Vi deriverer ledd for ledd. Denne framgangsmåten gjelder også når $f^{\text{'}}\left(x\right)$ består av tre eller flere ledd, og du får studert dette nærmere i en av oppgavene.

Derivasjon av en konstant

Hva gjør vi hvis funksjonen inneholder et konstantledd slik som eksempelfunksjonen øverst på siden? Vi vet at den deriverte av en konstant er 0 fordi grafen til en konstant funksjon er ei vannrett linje, som har stigningstall 0.

Vi kan vise dette ved å bruke uttrykket for gjennomsnittlig vekstfart igjen. Vi setter $f\left(x\right)=a$. Da får vi

$\begin{array}{rcl}\frac{∆y}{∆x} & =& \frac{f\left(x+∆x\right)-f\left(x\right)}{∆x}\\ & =& \frac{a-a}{∆x}\\ & =& 0\end{array}$

Her slipper vi å la $∆x$ gå mot null siden den ble borte. Vi får at

$f^{\text{'}}\left(x\right)=0$

Tilbake til eksempelfunksjonen

Nå kan vi prøve å derivere eksempelfunksjonen $f$ fra øverst på siden.

$f\left(x\right)=2x^3-x^2+3x-4$

Vi deriverer ledd for ledd:

$\begin{array}{rcl}{f}^{\text{'}}\left(x\right) & =& 2·3·x^{3-1}-2·x^{2-1}+3·x^{1-1}+0\\ & =& 6x^2-2x+3\end{array}$