Drøfting av polynomfunksjoner

Monotoniegenskaper

Å finne ut hvor grafen til en funksjon stiger og hvor grafen synker, kalles for å drøfte funksjonens monotoniegenskaper.

Å drøfte en funksjon betyr gjerne at vi skal undersøke monotoniegenskapene og bestemme topp- og bunnpunkter på grafen. En fellesbetegnelse for topp- og bunnpunkter er ekstremalpunkter.

Drøfting av polynomfunksjoner

Her kommer en utfordring:

Tegn grafen til tredjegradsfunksjonen $f$ gitt ved

$f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2-2x+1$

Tegn deretter tangenter til grafen for noen $x$-verdier mellom $-2$ og $3$.

Undersøk om det er en sammenheng mellom tangentenes stigningstall og hvorvidt grafen stiger, synker eller har topp- eller bunnpunkter.

Her kan du se at

• stigningstallet til tangenten er positivt når grafen stiger for stigende $x$-verdier
• stigningstallet til tangenten er negativt når grafen synker for stigende $x$-verdier
• stigningstallet til tangenten er null i topp- og bunnpunkter for stigende $x$-verdier

Siden tangentens stigningstall er lik den deriverte til funksjonen, betyr dette følgende:

Dette betyr at vi kan finne ut for hvilke verdier av $x$ grafen til en funksjon stiger, for hvilke verdier av $x$ den synker og når den har topp- eller bunnpunkt ved å se på fortegnet til den deriverte. Vi viser dette gjennom noen eksempler.

Eksempel 1

Vi skal finne eventuelle ekstremalpunkter (topp- og bunnpunkter) til en funksjon der den deriverte funksjonen har følgende graf:

Løsning

Den deriverte funksjonen, $f^{\text{'}}$, har nullpunktene $x=-2$ og $x=\frac{1}{3}$.

For $x<-2$ er $f^{\text{'}}$ positiv, som betyr at grafen til $f$ stiger. For $-2<x<\frac{1}{3}$ er $f^{\text{'}}$ negativ, som betyr at grafen til $f$ synker. Det betyr at funksjonen $f$ har et toppunkt for $x=-2$.

For $-2<x<\frac{1}{3}$ er $f^{\text{'}}$ negativ, som betyr at grafen til $f$ synker. For $x>\frac{1}{3}$ er $f^{\text{'}}$ positiv, som betyr at grafen til $f$ stiger. Det betyr at funksjonen $f$ har et bunnpunkt for $x=\frac{1}{3}$.

Vi tegner grafen til en funksjon som passer med opplysningene ovenfor:

Eksempel 2

Drøft monotoniegenskapene til en funksjon der den deriverte funksjonen har grafen under til høyre.

Funksjonen $f$ har nullpunkt $x=\frac{1}{2}$ og $f\left(2\right)=1$.

Lag en skisse av grafen til $f$.

Løsning

Vi kan sette opp fortegnslinja til $f^{\text{'}}\left(x\right)$:

Vi legger merke til at den deriverte ikke skifter fortegn i nullpunktet. Den deriverte er positiv for $x\ne 2$. Det betyr at funksjonen er voksende både før og etter at $x=2$. Grafen til funksjonen $f$ har verken topp- eller bunnpunkt for $x=2$, men siden den deriverte er lik null, er tangenten til grafen horisontal for $x=2$. Et slikt punkt på grafen kalles for et terrassepunkt.

Nedenfor har vi tegnet en skisse av grafen til $f$.

Stasjonære punkter

Et stasjonært punkt er et toppunkt eller et bunnpunkt hvis $f^{\text{'}}\left(x\right)$ skifter fortegn i punktet.

Et terrassepunkt er et stasjonært punkt hvor funksjonen ikke endrer seg fra voksende til avtagende eller fra avtagende til voksende. Det vil si at den deriverte ikke skifter fortegn.

Eksempel 3

På grunnlag av den deriverte funksjonen $f^{\text{'}}\left(x\right)=-2x+4$ skal vi finne når grafen til funksjonen $f$ stiger og når den synker. Vi skal også finne eventuelle topp- eller bunnpunkter. Videre skal vi uten hjelpemidler finne et mulig funksjonsuttrykk for $f$.

Løsning

Vi setter $f^{\text{'}}\left(x\right)=0$.

$\begin{array}{rcl}-2x+4& = & 0\\ -2x& =& -4\\ x& =& 2\end{array}$

Det er bare i nullpunktene at uttrykket for den deriverte kan skifte fortegn. Vi velger derfor tilfeldige $x$-verdier i hvert av de aktuelle intervallene $⟨\leftarrow , 2⟩$ og $⟨2, \to ⟩$ for å se om uttrykket er positivt eller negativt.

$\begin{array}{l}{f}^{\text{'}}\left(0\right)=-2·0+4=4>0\\ \\ f^{\text{'}}\left(3\right)=-2·3+4=-2<0\end{array}$

Vi kan da sette opp fortegnslinja til $f^{\text{'}}\left(x\right)$:

Vi ser av fortegnslinja at grafen vokser for $x\in \langle \leftarrow , 2\rangle$ , og at grafen synker når $x\in ⟨2, \to ⟩$.

Grafen til $f\left(x\right)$ har derfor et toppunkt når $x=2$.

Vi vet at hvis toppunktet ligger over $x$-aksen, så har grafen to nullpunkter. Grafen er også symmetrisk om symmetrilinja som går gjennom toppunktet. En funksjon med nullpunkter $x=1$ og $x=3$ og med negativ koeffisient foran andregradsleddet, vil derfor oppfylle kravene.

En mulig funksjon er derfor

$\begin{array}{rcl}f\left(x\right) & =& -\left(x-1\right)\left(x-3\right)\\ & =& -\left(x^2-3x-x+3\right)\\ & =& -x^2+4x-3\end{array}$

Toppunktet for denne funksjonen er

$(2, f(2\left)\right)=\left(2, -2^2+4·2-3\right)=\left(2, -4+8-3\right)=(2, 1)$

Vi tegner grafen i GeoGebra og ser at det vi har funnet ut uten hjelpemidler er riktig.

Eksempel 4

Vi skal drøfte monotoniegenskapene til $f$ uten hjelpemidler og finne eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $f$ gitt ved

$f\left(x\right)=-\frac{1}{4}{x}^3-\frac{5}{8}{x}^2+\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}$

I tillegg skal vi finne nok opplysninger om funksjonen til å tegne en skisse av grafen.

Løsning

Vi deriverer funksjonen.

$\begin{array}{rcl}{f}^{\text{'}}\left(x\right) & =& -\frac{1}{4}·3·x^{3-1}-\frac{5}{8}·2·x^{2-1}+\frac{1}{2}·1·x^{1-1}+0\\ & =& -\frac{3}{4}{x}^2-\frac{5}{4}x+\frac{1}{2}\end{array}$

Vi setter $f^{\text{'}}\left(x\right)=0$.

$\begin{array}{rcl}-\frac{3}{4}{x}^2-\frac{5}{4}x+\frac{1}{2}& = & 0\\ x& =& \frac{-\left(-{\displaystyle \frac{5}{4}}\right)\pm \sqrt{{\left(-{\displaystyle \frac{5}{4}}\right)}^2-4·\left(-{\displaystyle \frac{3}{4}}\right)·{\displaystyle \frac{1}{2}}}}{2·\left(-{\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}\\ x& =& \frac{{\displaystyle \frac{5}{4}}\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{25}{16}}+{\displaystyle \frac{24}{16}}}}{-{\displaystyle \frac{3}{2}}}\\ x& =& \frac{{\displaystyle \frac{5}{4}\pm \frac{7}{4}}}{-{\displaystyle \frac{3}{2}}}=-\frac{5\pm 7}{6}\\ x& =& \frac{1}{3} \mathrm{eller} x=-2\end{array}$

Det er bare i nullpunktene at uttrykket for den deriverte kan skifte fortegn. Vi velger derfor tilfeldige verdier i hvert av de aktuelle intervallene $⟨\leftarrow , -2⟩, ⟨-2, \frac{1}{3}⟩$ og $⟨\frac{1}{3}, \to ⟩$ for å se om uttrykket er positivt eller negativt.

$\begin{array}{rcl}{f}^{\text{'}}\left(-3\right) & =& -\frac{3}{4}{\left(-3\right)}^2-\frac{5}{4}\left(-3\right)+\frac{1}{2}=-\frac{27}{4}+\frac{15}{4}+\frac{2}{4}=-\frac{10}{4}<0\\ f^{\text{'}}\left(0\right) & =& -\frac{3}{4}{\left(0\right)}^2-\frac{5}{4}\left(0\right)+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}>0\\ f^{\text{'}}\left(1\right) & =& -\frac{3}{4}{\left(1\right)}^2-\frac{5}{4}\left(1\right)+\frac{1}{2}=-2+\frac{1}{2}<0\end{array}$

Vi kan da sette opp fortegnslinja til $f^{\text{'}}\left(x\right)$.

Vi ser av fortegnslinja at

• Grafen synker for $x\in ⟨\leftarrow , -2⟩$ og for $x\in ⟨\frac{1}{3}, \to ⟩$.
• Grafen stiger for $x\in ⟨-2, \frac{1}{3}⟩$.

Grafen til $f$ har altså et toppunkt når $x=\frac{1}{3}$ og et bunnpunkt når $x=-2$ .

$\begin{array}{rcl}f\left(-2\right)& = & -\frac{1}{4}{\left(-2\right)}^3-\frac{5}{8}{\left(-2\right)}^2+\frac{1}{2}\left(-2\right)+\frac{3}{8}=\frac{16}{8}-\frac{20}{8}-\frac{8}{8}+\frac{3}{8}=-\frac{9}{8}\\ & & \\ f\left(\frac{1}{3}\right)& =& -\frac{1}{4}{\left(\frac{1}{3}\right)}^3-\frac{5}{8}{\left(\frac{1}{3}\right)}^2+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}\right)+\frac{3}{8}=-\frac{1}{2^2·3^{{}^3}}-\frac{5}{2^3·3^2}+\frac{1}{2·3}+\frac{3}{2^3}\\ & & \\ & =& \frac{-2-15+36+81}{2^3·3^3}=\frac{100}{2^3·3^3}=\frac{25}{54}\end{array}$

Toppunktet er $\left(\frac{1}{3} , f\left(\frac{1}{3}\right)\right)=\left(\frac{1}{3} , \frac{25}{54}\right)$.
Bunnpunktet er $\left(-2 , f\left(-2\right)\right)=\left(-2 ,- \frac{9}{8}\right)$.

Det gjenstår nå å finne nullpunktene til $f$ for å ha tilstrekkelig grunnlag for å tegne en skisse av grafen.

Funksjonsuttrykket til $f$ er et tredjegradspolynom. Vi prøver om $x=-1$ kan være et nullpunkt for polynomet:

$f\left(-1\right)=-\frac{1}{4}{\left(-1\right)}^3-\frac{5}{8}{\left(-1\right)}^2+\frac{1}{2}\left(-1\right)+\frac{3}{8}=\frac{2}{8}-\frac{5}{8}-\frac{4}{8}+\frac{3}{8}=-\frac{4}{8}\ne 0$

Vi prøver om $x=1$ kan være et nullpunkt for polynomet:

$f\left(1\right)=-\frac{1}{4}{\left(1\right)}^3-\frac{5}{8}{\left(1\right)}^2+\frac{1}{2}\left(1\right)+\frac{3}{8}=-\frac{2}{8}-\frac{5}{8}+\frac{4}{8}+\frac{3}{8}=0$

Det betyr $f\left(x\right)$ er delelig med $x-1$.

Vi foretar polynomdivisjonen:

$\begin{array}{cccccccccccccccccccccccccc}& & -& \frac{1}{4}& x^3& -& \frac{5}{8}& x^2& +& \frac{1}{2}& x& +& \frac{3}{8}& :& (& x& -& 1& )& =& -\frac{1}{4}{x}^2-\frac{7}{8}x-\frac{3}{8}& & & & & \\ -& (& -& \frac{1}{4}& x^3& +& \frac{1}{4}& x^2& )& & & & & & & & & & & & & & & & & \\ & & & & & -& \frac{7}{8}& x^2& +& \frac{1}{2}& x& +& \frac{3}{8}& & & & & & & & & & & & & \\ & & & -& (& -& \frac{7}{8}& x^2& +& \frac{7}{8}& x& )& & & & & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & -& \frac{3}{8}& x& +& \frac{3}{8}& & & & & & & & & & & & & \\ & & & & & & -& (& -& \frac{3}{8}& x& +& \frac{3}{8}& )& & & & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & & & & 0& & & & & & & & & & & & & \end{array}$

Nå er $f\left(x\right)=\left(-\frac{1}{4}{x}^2-\frac{7}{8}x-\frac{3}{8}\right)\left(x-1\right)$.

Vi løser så likningen

$\begin{array}{rcl}-\frac{1}{4}{x}^2-\frac{7}{8}x-\frac{3}{8} & =& 0\\ 2x^2+7x+3 & =& 0\\ x & =& \frac{-7\pm \sqrt{49-24}}{4}=\frac{-7\pm 5}{4}\\ x & =& -\frac{1}{2} \mathrm{eller} x=-3\end{array}$

Det betyr at $f\left(x\right)$ har nullpunktene $x=-3, x=-\frac{1}{2} \mathrm{og} x=1.$

På grunnlag av de opplysningene vi nå har, kan vi tegne en skisse av grafen. Vi tegner her grafen i GeoGebra: