Et punkt har en bestemt posisjon, men det har ingen utstrekning. Likevel tegner vi punktet som en prikk, et kryss eller liknende, slik at det blir synlig for oss. Det er vanlig å bruke store bokstaver når vi gir navn til punkter.
En rett linje, eller bare ei linje, består av uendelig mange punkter etter hverandre. Linja har en uendelig utstrekning i begge retninger. Den krummer ikke. Vi sier at linja har en uendelig utstrekning i én dimensjon. Vi tegner ei linje som en tynn strek. Det er vanlig å bruke små bokstaver når vi gir navn til linjer.
Et linjestykke er en del av ei linje og avgrenses av to endepunkter. Vi gir vanligvis et linjestykke navn ut fra endepunktene, men det er også vanlig å bruke små bokstaver som navn.
Linjestykket på bildet avgrenses av punktene A og B. Vi kan gi linjestykket navnet AB eller for eksempel c.
To linjer som skjærer hverandre, spenner ut et plan. Et plan har uendelig utstrekning i to dimensjoner. Vi kan tenke på et ark som et utsnitt av et plan.
I plangeometrien studerer vi linjer og punkter i ett og samme plan.
En vinkel forteller hvordan to linjer ligger i forhold til hverandre. I forbindelse med vinkler ser vi også på begreper som toppvinkler og samsvarende vinkler.
Vinkel
Når to stråler har felles startpunkt, danner de en vinkel. Det felles startpunktet kalles for vinkelenstoppunkt. Strålene kalles for vinkelbein. Se den første figuren. Sett fra toppunktet får vi høyre vinkelbein og venstre vinkelbein.
To stråler med felles startpunkt danner egentlig to vinkler. Se den andre figuren. Når vi snakker om vinkelen mellom to stråler, mener vi vanligvis den minste vinkelen, kalt α (alfa) på figuren.
Vinkelmål
Det er vanlig å dele sirkelens omkrets i 360 deler, eller grader. Måling av vinkler bygger på denne inndelingen.
Vi tenker oss at vi plasserer en sirkel med sentrum i toppunktet til en vinkel.
En vinkel som spenner over halvparten av sirkelens omkrets, er 180°.
🤔 Tenk over: Dersom vinkelen α på figuren over er 50°, hvor stor er vinkelen β (beta)?
Forklaring
Siden de to vinklene spenner over en hel sirkel, må summen av de være 360°. Det betyr at
En vinkel som spenner over en fjerdedel av sirkelens omkrets, er . Denne vinkelen kaller vi en rett vinkel. Vi markerer at en vinkel er rett, ved å erstatte vinkelbuen med to rette linjer, slik figuren viser.
Med utgangspunkt i den rette vinkelen definerer vi disse vinkeltypene:
En vinkel mellom 0° og 90° kaller vi en spiss vinkel.
En vinkel mellom 90° og 180° kaller vi en stumpvinkel.
To vinkler som til sammen er 90°, kaller vi komplementvinkler.
To vinkler som til sammen er 180°, kaller vi supplementvinkler.
Navnsetting av vinkler
Ofte bruker vi greske bokstaver til å sette navn på vinkler, slik vi har gjort øverst på siden. Dersom det ligger navngitte punkter på vinkelbeina, slik som B og C på figuren her, kan vi bruke punktene inkludert toppunktet A til å sette nytt navn på vinkel α.
Vi tenker oss at vi står i toppunktet A og ser mot vinkelbuen til α. Vi bruker navnet på et punkt på det høyre vinkelbeinet først (B), navnet på toppunktet til vinkelen i midten og navnet på et punkt på det venstre vinkelbeinet sist (C). På figuren kan vi derfor kalle vinkelen α for BAC. En navnsetting ut fra punkter kan gjøre det lettere å identifisere vinkler i mer kompliserte figurer.
Merk at vi må ha regelen om høyre vinkelbein først, ellers vet vi ikke om vi mener den spisse vinkelen α på figuren eller vinkelen β, den som utgjør resten av en hel sirkel sammen med α.
🤔 Tenk over: Hva skal vi kalle vinkel β dersom vi skal navnsette vinkelen ut ifra navnene på punktene?
Forklaring
Vi står fortsatt i toppunktet A, men nå må vi snu oss slik at vi ser mot sirkelbuen til β. Da er det vinkelbeinet med punktet C som ligger til høyre. Det riktige navnet på vinkel β ut ifra punktene blir derfor CAB.
Hvis vi har en enkel figur med navngitte hjørner, for eksempel en trekant ABC, er det også vanlig å navngi vinkelen med kun toppunktet.
Normaler
Figuren viser to linjer a og b som danner en vinkel på 90 grader med hverandre. Vi sier også at linjene står vinkelrett på hverandre.
Vi sier at to linjer a og b som står vinkelrett på hverandre, står normaltpå hverandre. Vi kan også si at a er en normal til b.
Matematisk skriver vi .
Toppvinkler
Når to linjer skjærer hverandre, er to og to av de fire vinklene som dannes, alltid like store. Vi kan bevise det på denne måten:
På figuren er v og w supplementvinkler. Det betyr at
Vi har også at
Det må bety at .
Samme resonnement gir at .
Vinklene u og v kaller vi toppvinkler. Det samme gjelder w og z. Toppvinkler er alltid like store.
Samsvarende vinkler
Figuren viser to ikke-parallelle linjer m og n som begge skjæres av ei tredje linje l. Vinklene α og β kalles samsvarende vinkler siden overskjæringslinjal er venstre vinkelbein i begge vinklene. Vinklene γ (gamma) og δ (delta) er et annet par av samsvarende vinkler siden overskjæringslinja l er venstre vinkelbein også i disse to vinklene.
🤔 Tenk over: Er vinklene α og β like store?
Forklaring
Vinklene er ikke like store siden linja m er nærmere å være parallell med overskjæringslinja l en det linja n er.
Definisjon
Ei linje l skjærer to andre linjer, m og n. Av de vinklene som dannes, er to vinkler med forskjellig toppunkt samsvarende hvis overskjæringslinja utgjør enten høyre vinkelbein i begge vinklene eller venstre vinkelbein i begge vinklene.
Samsvarende vinkler ved parallelle linjer
På figuren er α og β samsvarende vinkler fordi venstre vinkelbein er felles (linja l) etter definisjonen over. Forskjellen på figuren her og figuren lenger opp er at i tillegg er høyre vinkelbein i vinklene, linjene m og n, parallelle.
🤔 Tenk over: Er vinklene α og β like store nå?
Forklaring
Tenk deg at vi flytter linja m slik at de to skjæringspunktene overlapper. Siden m og n er parallelle, vil de to linjene være éi og samme linje. Da må .
Alternativt kan vi tenke oss at vi finner midtpunktet mellom skjæringspunktene. Dette punktet ligger på linja l. Så roterer vi den delen av figuren som ligger over midtpunktet 180 grader om midtpunktet. Da også vil m falle sammen (overlappe) med n, og vinklene α og β må være like store.
Vi har derfor følgende setning:
Når to parallelle linjer skjæres av en tredje linje, er de samsvarende vinklene like store.
Og motsatt, dersom samsvarende vinkler er like store, er de overskårne linjene parallelle.
Når vinkelbein står parvis normalt på hverandre
Parvis normale vinkelbein
På figuren har vi at det venstre vinkelbeinet til vinkel u, linjestykket DE, står normalt på det venstre vinkelbeinet til vinkel v, linjestykket AC.
🤔 Bruk figuren og tenk over: Gjelder dette også det høyre vinkelbeinet for de to vinklene?
Fasit
Ja!
Vi kan bruke dette sammen med det vi vet om toppvinkler til å forklare hvorfor vinklene u og v er like.
Vinkel u er en av de andre vinklene i den rettvinklede trekanten ABC. Tilsvarende er vinkel v en av de andre vinklene i den rettvinklede trekanten CDE.
De to trekantene har ett hjørne felles: C. Det betyr at vinklene i dette hjørnet er like for de to trekantene fordi vinklene er toppvinkler.
Siden to og to av vinklene i de to trekantene er like, er trekantene formlike, og vinklene u og v må også være like.
Dette gir følgende nyttige setning:
Når vinkelbeina til to vinkler, u og v, står parvis normalt på hverandre, er .
