Areal og omkrets av plane figurer

Arealet er $6 \mathrm{m}·2 \mathrm{m}=12 {\mathrm{m}}^2$.

Bruker Pytagoras’ læresetning og finner diagonalen.

$\begin{array}{rcl}A{C}^2& = & 6,0^2+2,0^2\\ & & \\ AC& =& 6,32\end{array}$

Diagonalen $AC$ er ca. 6,3 meter.

Arealet av trekanten $ABC$ er

$\frac{6,0 \mathrm{m}·\cancel{2,0 }\mathrm{m}}{\cancel{2}}=6,0 {\mathrm{m}}^2$

Trekantene $ABC$ og $ACD$ er formlike og like store.

Arealet av $ABC$ er derfor det samme som arealet av $ACD$, altså 6,0 m².

Sidene i et kvadrat har lik lengde.

Arealet av kvadratet er

$10,0 \mathrm{cm}·10,0 \mathrm{cm}=100,0 {\mathrm{cm}}^2$

Firkanten $ABCD$ er et trapes fordi sidene $AB$ og $CD$ er parallelle.

Sidelengden $AB$ er

$6 \mathrm{m}+3 \mathrm{m}=9 \mathrm{m}$

Arealet av trapeset $ABCD$ er

$\left(\frac{9 \mathrm{m}+6 \mathrm{m}}{2}\right)·2 \mathrm{m}=\frac{15 \mathrm{m}}{2}·2\mathrm{m}=15 {\mathrm{m}}^2$

Arealet av trekanten $FBC$ er

$\frac{3 \mathrm{m}·2 \mathrm{m}}{2}=3 {\mathrm{m}}^2$

Firkanten $AFCD$ er et rektangel. Arealet av rektangelet $AFCD$ er

$6 \mathrm{m}·2 \mathrm{m}=12 {\mathrm{m}}^2$

Summen blir  $3 {\mathrm{m}}^2+12 {\mathrm{m}}^2=15 {\mathrm{m}}^2$.

Arealet av trekanten + arealet av rektangelet er det samme som arealet av trapeset. (Heldigvis :))

Arealet av parallellogrammet $EFGH$ er grunnlinjen multiplisert med høyden.

$4 \mathrm{dm}·2 \mathrm{dm}=8 {\mathrm{dm}}^2$

Finner først høyden $h$ fra $C$ ned på linja gjennom $AB$.

Pytagoras’ læresetning gir:

$\begin{array}{rcl}{h}^2& = & 5^2-3^2\\ & & \\ h^2& =& 25-9\\ & & \\ h& =& \sqrt{16}\\ & & \\ h& =& 4\end{array}$

Arealet av trekanten $ABC$ er

$\frac{\mathrm{grunnlinje}·\mathrm{høyde}}{2}=\frac{{\displaystyle 2 \mathrm{cm}·4 \mathrm{cm}}}{2}=4 {\mathrm{cm}}^2$

$3,14·3,0^2=28,27$

Arealet av sirkelen er 28 cm².

$\frac{3,14·5,0^2}{2}=39,27$

Arealet av halvsirkelen er 39 m².

Radien til DVD-plata er 6,0 cm, og radien til hullet er 0,75 cm.

$3,14·6,0^2-3,14·0,{75}^2=111,33$

Arealet av DVD-plata er 111 cm².

Oppgaven kan løses på flere måter. Løsningen her er bare ett av mange alternativ.

Metode:

Finner arealet av de to store firkantene.

Legger til arealet av trekanten.

Trekker i fra det området der de to firkantene overlapper hverandre.

Areal av den øverste store firkanten:

$7,0 \mathrm{m}·8,0 \mathrm{m}=56,0 {\mathrm{m}}^2$

Areal av den nederste store firkanten:

$8,0 \mathrm{m}·6,0 \mathrm{m}=48,0 {\mathrm{m}}^2$

Areal av trekanten:

$\frac{(8,0 \mathrm{m}-2,5 \mathrm{m})·(7,0 \mathrm{m}-3,0 \mathrm{m})}{2}=\frac{5,5 \mathrm{m}·4,0 \mathrm{m}}{2}=11,0 {\mathrm{m}}^2$

Areal av det området som blir med i begge de store firkantene:

$2,5 \mathrm{m}·3,0 \mathrm{m}=7,5 {\mathrm{m}}^2$

Samlet areal blir:

$56,0 {\mathrm{m}}^2+48,0 {\mathrm{m}}^2+11,0 {\mathrm{m}}^2-7,5 {\mathrm{m}}^2=107,5 {\mathrm{m}}^2$

Trekanten er likesidet. Høyden treffer dermed midt på grunnlinjen. Bruker Pytagoras’ læresetning og finner høyden $h$ i trekanten.

$\begin{array}{rcl}{h}^2+{15}^2& = & {30}^2\\ & & \\ h^2& =& 900-225\\ & & \\ h^2& =& 675\\ & & \\ h& =& \sqrt{675}=25,98\end{array}$

Høyden i trekanten er ca. 26,0 cm.

Arealet av hele trekanten minus arealet av halvsirkelen.

$\frac{30,0·26,0}{2}-\frac{3,14·5,0^2}{2}=350,73$

Arealet er 351 cm².

Omkretsen av halvsirkelen er $\frac{\pi ·d}{2}$.

$\frac{3,14·10}{2}+30·2+30-10=95,71$

Omkretsen av trekanten blir dermed 95,7 cm.

Overflaten av det store rektangelet:

$6 \mathrm{cm}·13 \mathrm{cm}=78 {\mathrm{cm}}^2$

Overflaten av det lille rektangelet:

$2 \mathrm{cm}·12 \mathrm{cm}=24 {\mathrm{cm}}^2$

Overflaten av trekanten:

$\frac{12 \mathrm{cm}·8 \mathrm{cm}}{2}=48 {\mathrm{cm}}^2$

Samlet overflate av gjenstanden:

$78 {\mathrm{cm}}^2+24 {\mathrm{cm}}^2+48 {\mathrm{cm}}^2=150 {\mathrm{cm}}^2$

Arealet av sirkelen: $\pi ·r^2=3,14·4,0^2=50,27 {\mathrm{cm}}^2$

Arealet av kvadratet: $7,{00}^2{\mathrm{cm}}^2=49 {\mathrm{cm}}^2$

Arealet av sirkelen er størst.

Arealet av hele rektangelet:  $6,0 \mathrm{m}·3,0 \mathrm{m}=18 {\mathrm{m}}^2$

Areal av de to kvartsirklene:  $2·\frac{\mathrm{\pi }·(3,0 \mathrm{m}{)}^2}{4}=14,13 {\mathrm{m}}^2$

Arealet av det skraverte området blir:

$18 {\mathrm{m}}^2-14,13 {\mathrm{m}}^2=3,87 {\mathrm{m}}^2\approx 3,9 {\mathrm{m}}^2$