Oppgave

Tredjegradsfunksjoner

Oppgavene nedenfor skal løses med bruk av hjelpemiddel, for eksempel GeoGebra, der det er mulig.

Denne sida er arkivert. Innholdet kan være utdatert.

3.3.20

a) Tegn grafen til funksjonen $f$ gitt ved $f (x) = - 0, 5 x^{3} + 3 x^{2} - 3 x + 3$ , og finn grafisk eventuelle

toppunkter
bunnpunkter
skjæringspunkter med koordinataksene

Vis fasit

Vi finner grafisk bunnpunktet $(0.6, 2.2)$ og toppunktet $(3.4, 7.8)$ med kommandoen $Ekstremalpunkt (f)$ i GeoGebra.

Vi finner grafisk, med kommandoen $Nullpunkt (f)$ i GeoGebra, at det er et nullpunkt i $(5, 0)$ .

Skjæring med andreaksen i $(0, 3)$ finner vi ved å skrive $(0, f(0))$ .

b) Tegn grafen til funksjonen $g$ gitt ved $g (x) = 0, 20 x^{3} - 0, 60 x^{2} + 4$ , og finn grafisk eventuelle

toppunkter
bunnpunkter
skjæringspunkter med koordinataksene

Vis fasit

Toppunktet er i $(0, 4)$ .

Bunnpunktet er i $(2, 3.2)$ .

Grafen skjærer førsteaksen i $(- 2, 0)$ .

Grafen skjærer andreaksen i $(0, 4)$ .

Vi bruker samme metode som i oppgave a) over.

3.3.21

En tredjegradsfunksjon kan skrives på formen $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ der $a, b, c og d$ er konstanter.

Lag en funksjon i GeoGebra der du har glidere for hver av konstantene.

a) Forklar med egne ord hva som skjer dersom du lar $a$ variere mellom negative og positive tall.

Vis fasit

Hvis $a$ er negativ, kommer grafen fra pluss uendelig og går mot minus uendelig. Hvis $a$ er positiv, blir det omvendt: Grafen kommer fra minus uendelig og går mot pluss uendelig.

b) Forklar med egne ord hva som skjer når $d$ varierer.

Vis fasit

$d$ er konstantleddet og flytter hele grafen oppover og nedover i koordinatsystemet.

c) Hva skjer med grafen hvis $a$ er negativ og du lar $b$ variere i intervallet $[- 5, 5]$ ? Hva skjer hvis $a$ er positiv?

Vis fasit

Her er det litt avhengig av $b$ , så her er det bare å teste ut!

d) Hva skjer hvis du lar $c$ variere mellom $- 5 og 5$ ? Har størrelsen og fortegnet på $b$ noe å si for hvordan grafen endrer seg når du endrer $c$ ?

Vis fasit

Test ut!

3.3.22

Grafen viser temperaturen fra midnatt fram til kl. 12 et døgn i mars.

Graf i koordinatsystem som viser temperaturen i grader Celsius x timer etter midnatt. Når x er lik 0, er temperaturen 0. Så stiger grafen til ca. 0,3 grader når x er lik 2, så synker den til ca. minus 0,7 når x er lik 7,5. Deretter stiger grafen bratt til 1,9 grader når x er lik 12. Skjermutklipp.

a) Finn ekstremalpunktene til grafen.

Vis fasit

Ekstremalpunktene finner vi i toppunktet $A (1.8, 0.3)$ og i bunnpunktet $B (7.6, - 0.7)$ .

b) Når har vi den høyeste temperaturen, og hvor høy er temperaturen da?

Vis fasit

Den høyeste temperaturen har vi kl. 12. Vi leser av grafen at temperaturen da er nesten $2 ° C$ .

c) Finn når grafen har nullpunkt.

Vis fasit

Vi har nullpunkt for $x = 0$ , $x = 4$ og $x = 10$ .

3.3.23

Gitt en sylinder der summen av diameter og høyde er 2,2 dm.

a) Kall høyden i sylinderen $h$ , og vis at et uttrykk for radius $r$ uttrykt ved $h$ er $r (h) = \frac{2, 2 - h}{2}$ .

Vis fasit

$\begin{array}{rcl} d + h & = & 2, 2 \\ 2 r (h) + h & = & 2, 2 \\ 2 r (h) & = & 2, 2 - h \\ r (h) & = & \frac{2, 2 - h}{2} \end{array}$

b) Vis at volumet av sylinderen, $V (h)$ kan uttrykkes som $V (h) = \frac{π}{4} \cdot {(2, 2 - h)}^{2} \cdot h$ .

Vis fasit

Volumet til en sylinder er gitt ved $V = π r^{2} \cdot h$ . Vi bruker uttrykket fra a) og får $V (h) = π {(\frac{2, 2 - h}{2})}^{2} \cdot h = \frac{π}{4} {(2, 2 - h)}^{2} \cdot h$ .

c) Hva slags funksjon er $V$ ?

Vis fasit

Dette er en tredjegradsfunksjon.

Hvis vi multipliserer ut parentesen, får vi et andregradsuttrykk som multiplisert med $h$ gir et tredjegradsuttrykk.

d) Finn volumet når høyden er 1,0 dm.

Vis fasit

Vi tegner grafen til $V (h)$ i GeoGebra ved å skrive

$V (h) = Funksjon (pi / 4 \cdot (2.2 - h)^{2} \cdot h, 0, 2.2)$

Vi leser av punktet $(1, V (1))$ på grafen ved å skrive inn $(1, V (1))$ . Se punktet A på figuren nedenfor.

Grafen til funksjonen V av h er lik pi fjerdedeler multiplisert med parentes 2,2 minus h parentes slutt i andre multiplisert med h er tegnet i et koordinatsystem der førsteaksen går fra h er lik 0 til h er lik 2,2. På grafen er punktet A med koordinatene 1 og 1,13 markert. Skjermutklipp. — Grafen til volumfunksjonen i oppgaven

Volumet er 1,1 liter når høyden er 1,0 dm.

e) Finn høyden når volumet er 1,0 liter.

Vis fasit

Vi tegner linja $y = 1$ og finner skjæringspunktene mellom linja og grafen med verktøyet "Skjæring mellom to objekt". Se punktene B og C på figuren nedenfor.

Høyden kan være 0,39 dm eller 1,15 dm for at volumet skal bli 1,0 liter.

f) Finn radius i de sylindrene som har et volum på 1,0 liter.

Vis fasit

Sammenhengen mellom radius og høyde har vi fra oppgave a):

$r (h) = \frac{2, 2 - h}{2}$

I løsningen med CAS i GeoGebra nedenfor har vi forutsatt at funksjonen $V (h)$ er skrevet inn fra før slik som i oppgave d).

$\begin{array}{rcl} r (h) : = \frac{2.2 - h}{2} \\ 1 \\ \to r (h) : = - \frac{1}{2} h + \frac{11}{10} \end{array}$

$\begin{array}{rcl} V (h) = 1 \\ 2 \\ NLøs: {h = 0.39, h=1.15} \end{array}$

$\begin{array}{rcl} r (HøyreSide ($ 2, 1)) \\ 3 \\ \approx 0.91 \end{array}$

$\begin{array}{rcl} r (HøyreSide ($ 2, 2)) \\ 4 \\ \approx 0.53 \end{array}$

I kommandoen "HøyreSide" betyr "$2" linje 2, og tallet 1 betyr det første elementet, det vil si det første svaret på linja. Alternativt kan vi på linje 3 skrive og få regnet ut $r (0.39)$ , og vi kan gjøre tilsvarende i linje 4. Da kan svaret riktignok bli litt unøyaktig.

Radius i sylindrene er 0,91 dm eller 0,53 dm.