Fag

Fagstoff

Video

Faktorisering av andregradsuttrykk ved hjelp av nullpunktmetoden

Vi kan faktorisere andregradsuttrykk ved en metode som kalles nullpunktmetoden. Vi illustrerer metoden gjennom to eksempler.

Denne sida er arkivert. Innholdet kan være utdatert.

Eksempel 1

Vi ser på andregradsuttrykket $x^{2} - 2 x - 8$ .

Vi starter med å finne nullpunktene.

Vi løser da likningen $x^{2} - 2 x - 8 = 0$ .

$\begin{array}{rcl} x^{2} - 2 x - 8 & = & 0 \\ x & = & \frac{- (- 2) \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 8)}}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} \\ x & = & \frac{2 \pm 6}{2} \\ x_{1} & = & \frac{2 - 6}{2} = - 2 \\ x_{2} & = & \frac{2 + 6}{2} = 4 \end{array}$

Uttrykket $x^{2} - 2 x - 8$ er altså lik null når $x = - 2$ og når $x = 4$ .
Ser du at uttrykket $(x - (- 2)) (x - 4) = (x + 2) (x - 4)$ også er lik null når $x = - 2$ og når $x = 4$ ?

Vi multipliserer og ser at

$(x + 2) (x - 4) = x^{2} - 4 x + 2 x - 8 = x^{2} - 2 x - 8$

Vi har da at

$x^{2} - 2 x - 8 = (x + 2) (x - 4)$

Andregradsuttrykket er faktorisert!

Er dette en metode vi kan bruke for å faktorisere alle andregradsuttrykk?

Vi prøver med et nytt eksempel!

Eksempel 2

Vi ser på uttrykket $2 x^{2} - x - 3$ .

Vi starter igjen med å finne nullpunktene, og løser likningen $2 x^{2} - x - 3 = 0$ .

$\begin{array}{rcl} 2 x^{2} - x - 3 & = & 0 \\ x & = & \frac{- (- 1) \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 2} \\ x & = & \frac{1 \pm \sqrt{25}}{4} \\ x_{1} & = & \frac{1 - 5}{4} = - 1 \\ x_{2} & = & \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \end{array}$

Uttrykket $2 x^{2} - x - 3$ er altså lik null når $x = - 1$ og når $x = \frac{3}{2}$ .

Vi prøver samme metode som i forrige eksempel og ser at uttrykket $(x + 1) (x - \frac{3}{2})$ også er lik null når $x = - 1$ og når $x = \frac{3}{2}$ .

Vi multipliserer og får

$(x + 1) (x - \frac{3}{2}) = x^{2} - \frac{3}{2} x + x - \frac{3}{2} = x^{2} - \frac{1}{2} x - \frac{3}{2}$

Dette er ikke det samme andregradsuttrykket som vi startet med.

Vi startet med

$2 x^{2} - x - 3$

Når vi multipliserer ut parentesene, får vi

$x^{2} - \frac{1}{2} x - \frac{3}{2}$

Ser du at vi kan multiplisere det siste uttrykket med $2$ , og få det andregradsuttrykket vi startet med?

$(x^{2} - \frac{1}{2} x - \frac{3}{2}) \cdot 2 = 2 \cdot x^{2} - 2 \cdot \frac{1}{2} x - 2 \cdot \frac{3}{2} = 2 x^{2} - x - 3$

Vi har da at

$2 x^{2} - x - 3 = 2 (x + 1) (x - \frac{3}{2})$

Andregradsuttrykket er faktorisert!

Hvis vi ønsker et uttrykk uten brøk, kan vi multiplisere 2-tallet inn i den siste parentesen

$2 x^{2} - x - 3 = 2 (x + 1) (x - \frac{3}{2}) = (x + 1) (2 x - 3)$

Vi ser fort at vi må multiplisere med $2$ , fordi det siste uttrykket inneholder leddet $x^{2}$ , mens det polynomet vi startet med, inneholder leddet $2 x^{2}$ .

Den metoden vi har brukt for å faktorisere i de to eksemplene ovenfor, kalles nullpunktmetoden. Du skjønner kanskje hvorfor?

Nullpunktmetoden

$a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$

der $x_{1}$ og $x_{2}$ er løsningene av den generelle andregradslikningen $a x^{2} + b x + c = 0 .$

Utfordring!

Bevis at nullpunktmetoden gjelder generelt ved å vise at $a (x - x_{1}) (x - x_{2}) = a x^{2} + b x + c$

Når det bare finnes én løsning av andregradslikningen, er $x_{1} = x_{2}$ .
Når andregradslikningen ikke har løsninger, kan ikke uttrykket faktoriseres.

Vi faktoriserer uttrykket i eksempel 2 ved CAS i GeoGebra.

Faktorisering av andregradsuttrykket 2 x i andre minus x minus 3 med kommandoen Faktoriser i GeoGebra. Skjermutklipp.

Ikke glem at $a$ må være med i det faktoriserte uttrykket! Hvor er det blitt av tallet $a$ foran parentesene når vi bruker CAS til å faktorisere uttrykket i eksempel 2?

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY 4.0