Sentralmål

I klassen til Mary Ann fikk elevene disse karakterene på en matematikkprøve:

4 2 5 3 3 2 5 4 1 3 2 2 5 3 1 4 2 5 3 2 4 3 6 2 5 3 2 5 5 4

Vi ønsker å vurdere hvordan resultatet til klassen var. Var resultatet dårlig eller bra? Vi kan bruke et sentralmål til å si noe om dette.

Et sentralmål sier noe om hvor hovedtyngden av observasjonene, altså karakterene på prøven, ligger. Vanlige sentralmål er typetall, gjennomsnitt og median.

Typetallet er den verdien i et tallmateriale som er "mest typisk", det vil si at det er den verdien som forekommer flest ganger. Nedenfor har vi samlet dataene i en frekvenstabell, som teller opp hvor mange forekomster det var av de ulike karakterene. På matematikkprøven var det hele åtte elever som fikk karakteren 2. Karakteren 2 forekom oftest. Typetallet for dette datamaterialet er derfor 2.

Vurder om du synes at karakteren 2 er et bra sentralmål på resultatet til klassen på prøven.

Vi finner gjennomsnittskarakteren ved å summere verdiene av alle karakterene og så dividere med antall karakterer. Siden karakteren 2 forekom åtte ganger, kan vi multiplisere to med åtte for å finne summen av karakterverdiene til de elevene som fikk karakteren 2. Det betyr at vi multipliserer karakterverdien med frekvensen av karakterverdien. Derfor er det lurt å lage en frekvenstabell med en ekstra kolonne der vi multipliserer disse tallene. Det har vi gjort nedenfor i den tredje kolonnen med betegnelsen  $$ x·f$$, og vi har også summert kolonnene.

Hva betyr summen i kolonnen for frekvensene?

Hva betyr summen i kolonnen for produktet av karakterer og frekvenser?

Gjennomsnittskarakteren blir da

$\begin{array}{rcl}\overline{x}& = & \frac{2·1+8·2+7·3+5·4+7·5+1·6}{30}\\ & & \\ & =& \frac{100}{30}\approx 3,3\end{array}$

Legg merke til at vi bruker $\overline{x}$ som symbol for gjennomsnitt.

Hvis vi først har antallet karakterer og summen av alle karakterene, finner vi gjennomsnittet ved å dele disse tallene på hverandre som vist over. Her kan vi ha fordel av å gjøre disse utregningene i et regneark der vi skriver inn kolonnene for karakterer og frekvens. Så lager vi en ny kolonne der hver celle inneholder summen av karakterverdiene til hver karakter, $x·f$, slik som i tabellen over.

Vurder om gjennomsnittskarakteren er bedre å bruke som sentralmål enn typetallet.

Vi kan bruke den midterste verdien i et datamateriale som sentralmål. Denne verdien (eller observasjonen) kalles medianen i datamaterialet. Med den midterste verdien mener vi den verdien som står midt i rekka av verdier når de er sortert i stigende rekkefølge.

Vi ser på resultatene fra matematikkprøven i klassen til Mary Ann. Datamaterialet er altså alle prøvekarakterene de 30 elevene fikk:

4 2 5 3 3 2 5 4 1 3 2 2 5 3 1 4 2 5 3 2 4 3 6 2 5 3 2 5 5 4

Vi sorterer karakterene i stigende rekkefølge:

1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 6

Hvilken verdi står i midten i denne tallrekka?

Bruk definisjonen over og bestem medianen til karakterene.

Vi kan telle opp og se at de to treerne virkelig blir de to midterste karakterene. Vi får 14 karakterer til venstre og 14 til høyre, se figuren nedenfor.

Hvis antall karakterer hadde vært et oddetall, for eksempel 29, finner vi den midterste karakteren som karakter nummer

$$ \frac{29+1}{2}=\frac{30}{2}=15$$

Da vil det være 14 karakterer til venstre, 14 til høyre og 1 i midten, til sammen 29 karakterer. I figuren nedenfor har vi tatt bort en av toerne fra det opprinnelige prøveresultatet.

Median ved hjelp av kumulativ frekvens

Vi kan bruke en oversikt over de kumulative frekvensene til et tallmateriale for finne medianen.

Hva blir den kumulative frekvensen for karakteren 3 i eksempelet?

Nedenfor har vi utvidet frekvenstabellen med en kolonne for kumulativ frekvens for eksempelet med karakterer.

Hvordan kan du bruke de kumulative frekvensene til å finne medianen?

Vi kan også finne medianen ved å bruke kommandoen "Median" i et regneark eller i GeoGebra.