Sentralmål

I klassen til Mary Ann fekk elevane desse karakterane på ein matematikkprøve:

4 2 5 3 3 2 5 4 1 3 2 2 5 3 1 4 2 5 3 2 4 3 6 2 5 3 2 5 5 4

Vi ønskjer å vurdere korleis resultatet til klassen var. Var resultatet dårleg eller bra? Vi kan bruke eit sentralmål til å seie noko om dette.

Eit sentralmål seier noko om kvar hovudtyngda av observasjonane, altså karakterane på prøven, ligg. Vanlege sentralmål er typetal, gjennomsnitt og median.

Typetalet er den verdien i eit talmateriale som er "mest typisk", det vil seie at det er den verdien som finst flest gonger. Nedanfor har vi samla dataa i ein frekvenstabell, som tel opp kor mange førekomstar det var av dei ulike karakterane. På matematikkprøven var det heile åtte elevar som fekk karakteren 2. Karakteren 2 fanst oftast. Typetalet for dette datamaterialet er derfor 2.

Vurder om du synest at karakteren 2 er eit bra sentralmål på resultatet til klassen på prøven.

Vi finn gjennomsnittskarakteren ved å summere verdiane av alle karakterane og så dividere med talet på karakterar. Sidan karakteren 2 fanst åtte gonger, kan vi multiplisere to med åtte for å finne summen av karakterverdiane til dei elevane som fekk karakteren 2. Det betyr at vi multipliserer karakterverdien med frekvensen av karakterverdien. Derfor er det lurt å lage ein frekvenstabell med ein ekstra kolonne der vi multipliserer desse tala. Det har vi gjort nedanfor i den tredje kolonnen med nemninga  $$ x·f$$, og vi har òg summert kolonnane.

Kva betyr summen i kolonnen for frekvensane?

Kva betyr summen i kolonnen for produktet av karakterar og frekvensar?

Gjennomsnittskarakteren blir då

$\begin{array}{rcl}\overline{x}& = & \frac{2·1+8·2+7·3+5·4+7·5+1·6}{30}\\ & & \\ & =& \frac{100}{30}\approx 3,3\end{array}$

Legg merke til at vi bruker $\overline{x}$ som symbol for gjennomsnitt.

Dersom vi først har talet på karakterar og summen av alle karakterane, finn vi gjennomsnittet ved å dele desse tala på kvarandre som vist over. Her kan vi ha fordel av å gjere desse utrekningane i eit rekneark der vi skriv inn kolonnane for karakterar og frekvens. Så lagar vi ein ny kolonne der kvar celle inneheld summen av karakterverdiane til kvar karakter, $x·f$, slik som i tabellen over.

Vurder om gjennomsnittskarakteren er betre å bruke som sentralmål enn typetalet.

Vi kan bruke den midtarste verdien i eit datamateriale som sentralmål. Denne verdien (eller observasjonen) kallar vi medianen i datamaterialet. Med den midtarste verdien meiner vi den verdien som står midt i rekkja av verdiar når dei er sorterte i stigande rekkjefølgje.

Vi ser på resultata frå matematikkprøven i klassen til Mary Ann. Datamaterialet er altså alle prøvekarakterane dei 30 elevane fekk:

4 2 5 3 3 2 5 4 1 3 2 2 5 3 1 4 2 5 3 2 4 3 6 2 5 3 2 5 5 4

Vi sorterer karakterane i stigande rekkjefølgje:

1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 6

Kva verdi står i midten i denne talrekkja?

Bruk definisjonen over og bestem medianen til karakterane.

Vi kan telje opp og sjå at dei to trearane verkeleg blir dei to midtarste karakterane. Vi får 14 karakterar til venstre og 14 til høgre, sjå figuren nedanfor.

Dersom talet på karakterar hadde vore eit oddetal, til dømes 29, finn vi den midtarste karakteren som karakter nummer

$$ \frac{29+1}{2}=\frac{30}{2}=15$$

Då vil det vere 14 karakterar til venstre, 14 til høgre og 1 i midten, til saman 29 karakterar. I figuren nedanfor har vi teke bort ein av toarane frå det opphavlege prøveresultatet.

Median ved hjelp av kumulativ frekvens

Vi kan bruke ei oversikt over dei kumulative frekvensane til eit talmateriale for finne medianen.

Kva blir den kumulative frekvensen for karakteren 3 i dømet?

Nedanfor har vi utvida frekvenstabellen med ein kolonne for kumulativ frekvens for dømet med karakterar.

Korleis kan du bruke dei kumulative frekvensane til å finne medianen?

Vi kan òg finne medianen ved å bruke kommandoen "Median" i eit rekneark eller i GeoGebra.