Binomisk fordeling. Forventningsverdi, varians og standardavvik

I S1 lærte du om binomisk sannsynlighetsfordeling. I en binomisk sannsynlighetsfordeling er tre vilkår oppfylt: Vi har kun to mulige utfall, sannsynligheten er lik i alle delforsøk, og alle delforsøk er uavhengige av hverandre. Vi skal utlede formler for forventningsverdi, varians og standardavvik i en slik fordeling.

Vi tar utgangspunkt i et eksempel der du skal ha en flervalgsprøve i matematikk, med ti oppgaver og fire svaralternativer på hver oppgave.

Vi lar den stokastiske variabelen $$ Y$$ være antall riktige svar på én oppgave. $$ Y$$ kan da ha verdien 0 eller 1, noe som gir følgende sannsynlighetsfordeling:

Vi kan nå regne ut forventningsverdien, variansen og standardavviket til $$ Y$$:

$$ \begin{array}{rcl}E\left(Y\right) & =& 0·\frac{3}{4}+1·\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\\ Var\left(Y\right) & =& {\left(0-\frac{1}{4}\right)}^2·\frac{3}{4}+{\left(1-\frac{1}{4}\right)}^2·\frac{1}{4}\\ & =& \frac{3}{4^3}+\frac{9}{4^3}=\frac{12}{4^3}=\frac{3}{16}\\ ST\left(Y\right) & =& \sqrt{\frac{3}{16}}=\frac{\sqrt{3}}{4}\end{array}$$

Studer verdiene til forventningsverdien og standardavviket. Kan du se en sammenheng med sannsynlighetene i tabellen?

Vi lar nå $$ X$$ være antall riktige svar på prøven. Da har vi at

$$ X=Y_1+Y_2 +...+ Y_{10}=10·Y$$.

Vi kan nå finne forventningsverdien, variansen og standardavviket til $$ X$$ ved hjelp av det vi vet om summer av stokastiske variabler:

$$ \begin{array}{rcl}E\left(X\right) & =& 10·E\left(Y\right)=10·\frac{1}{4}=2,5\\ Var\left(X\right) & =& 10·Var\left(Y\right)=10·\frac{3}{16}=\frac{30}{16}=\frac{15}{8}\\ ST\left(X\right) & =& \sqrt{\frac{15}{8}}\end{array}$$

Vi kan generalisere disse utregningene til formler for forventningsverdi, varians og standardavvik i binomiske sannsynlighetsfordelinger. Vi lar nå variabelen $$ Y$$ være antall suksesser i ett delforsøk, og som i eksempelet over kan den få verdien 0 eller 1 og får følgende sannsynlighetsfordeling:

Vi regner ut forventningsverdi og varians og ser at sammenhengen vi fant over, gjelder generelt:

$$ \begin{array}{rcl}E\left(Y\right) & =& 0·\left(1-p\right)+1·p\\ & =& p\\ Var\left(Y\right)\hspace{0.17em}& =& {\left(0-p\right)}^2·\left(1-p\right)+{\left(1-p\right)}^2·p\\ & =& p^2-p^3+p-2p^2+p^3\\ & =& p-p^2\\ & =& p\left(1-p\right)\end{array}$$

Vi lar nå variabelen $$ X$$ være antall suksesser i et binomisk forsøk med $$ n$$ delforsøk. Da har vi at

$$ X=Y_1+Y_2 +...+ Y_n$$

På samme måte som over har vi at

$$ \begin{array}{rcl}E\left(X\right) & =& n·p\\ Var\left(X\right) & =& n·p·\sqrt{1-p}\\ ST\left(X\right) & =& \sqrt{n·p·\left(1-p\right)}\end{array}$$

Vi kan nå formulere følgende: