Her skal du jobbe med oppgaver om forventningsverdi.
4.1.10
Vi definerer den stokastiske variabelen som antall ganger man får krone ved kast av tre tikroner.
Tabellen viser sannsynlighetsfordelingen for :
Sannsynlighetsfordeling for X
0
1
2
3
a) Regn ut forventningsverdien til for hånd.
Løsning
b) Hva forteller forventningsverdien oss?
Løsning
Det er ikke mulig å få krone akkurat 1,5 ganger, men denne verdien forteller oss gjennomsnittet av antall ganger vi hadde fått krone dersom vi hadde kastet 3 tikroner mange ganger.
c) Lag et program som simulerer et forsøk med kast av tre tikroner og regner ut gjennomsnittet av antall ganger man får krone som en tilnærming til forventningsverdien.
Løsning
Her er to ulike forslag til program:
python
1import numpy as np
23N =10000#antall forsøk4M =[]#ei liste for antall mynt56for i inrange(N):7 M.append(np.random.binomial(3,0.5))8#henter ut antall suksesser i en binomisk fordeling910snitt =sum(M)/N #finner snittet av antall suksesser1112print(f"Gjennomsnittsverdien av X er {snitt:.2f}.")
python
1import numpy as np
2rng = np.random.default_rng()#lager en generator34N =10000#bestemmer antall forsøk56M = rng.binomial(3,0.5,N)#lager en array med N antall mynter 78snitt = np.average(M)#finner snittet910print(f"Gjennomsnittsverdien av X er {snitt:.2f}.")
Husk at om du har lagd et annet program som virker, kan det være like bra!
d) Utvid programmet slik at du finner ut cirka hvilket antall forsøk som trengs for at gjennomsnittet skal være lik forventningsverdien med en nøyaktighet på 3 desimaler. Kjør programmet ditt 10 ganger og kommenter resultatet.
Løsning
Her er et program som lager en funksjon av det programmet vi lagde i c), og så ser vi hvor mange ganger vi må kjøre det for at nøyaktigheten skal bli det vi vil.
python
1import numpy as np
23defsnitt(N):#lager en funksjon som regner ut snittet 4#i et forsøk med kast av 3 tikroner5 rng = np.random.default_rng()67 M = rng.binomial(3,0.5,N)89return np.average(M)1011N=11213whileabs(snitt(N)-1.5)>0.0005:14 N = N*10#kjører løkke som øker antall forsøk 15#til vi når ønsket nøyaktighet1617print(f"Man trenger cirka {N} forsøk for å få en nøyaktighet på tre desimaler.")
Antakelig vil du få mange ulike svar når du kjører dette programmet, men i de fleste tilfellene vil du trenge ganske mange forsøk. Det er altså ikke så lett å forutsi hvor mange forsøk du må ha for å treffe denne nøyaktigheten. Senere vil vi jobbe med hypotesetesting, og da vil vi regne ut hvor sannsynlig det er at resultatet i et forsøk vil ligge nært opptil den egentlige sannsynligheten.
4.1.11
En flervalgsprøve består av fem oppgaver. Hver oppgave er et spørsmål med fem svaralternativer, og oppgaven skal løses ved å krysse av for et riktig svaralternativ. Du er ikke forberedt, og alle svaralternativene virker like sannsynlige. Vi regner med uavhengighet. La den stokastiske variabelen stå for antall riktige svar.
a) Lag en tabell med sannsynlighetsfordelingen til .
Løsning
Her har vi en binomisk fordeling, siden vi har uavhengige forsøk med lik sannsynlighetsfordeling og to utfall (riktig eller feil).
Vi kan bruke sannsynlighetskalkulatoren i GeoGebra:
