Article

Grunnleggende regneregler for integrasjon

Det finnes mange praktiske bruksområder for integraler, så det å kunne integrere funksjoner er like viktig som å kunne derivere funksjoner. Her skal vi gå gjennom de grunnleggende integrasjonsreglene.

Det finnes integrasjonsregler som tilsvarer derivasjonsreglene. Selv om integrasjon ofte blir utført med digitale verktøy, er det viktig å kunne integrasjonsreglene, både for ubestemte og bestemte integraler.

Husk at integrasjonsreglene for ubestemte integraler kan bevises ved å derivere høyre side.

Integrasjon av en konstant

$\int k d x = k x + C$

Eksempler

$\begin{matrix} \int 5 d x = 5 x + C \end{matrix}$

$\begin{matrix} \int (- \frac{2}{3}) d x = - \frac{2}{3} x + C \end{matrix}$

Hvordan kan integrasjonsregelen for en konstant begrunnes i det vi har sett tidligere om at resultatet av integrasjon av et polynom er en grad høyere enn funksjonen vi tok utgangspunkt i?

Forklaring

Hvis vi omskriver integrasjonen i eksempelet ved å multiplisere konstanten med en potens der $x$ er grunntall og eksponenten er 0 (husk at $x^{0} = 1$ ), vil vi se at resultatet av denne denne integrasjonen også er en grad høyere enn polynomfunksjonen som vi startet med.

$\begin{matrix} \int 5 d x = \int 5 \cdot x^{0} d x = 5 x^{1} + C \end{matrix}$

Integrasjon av sum, differanse og produkt

Dersom uttrykket som skal integreres, består av flere funksjoner, enten i form av summer, differanser eller produkter, gjelder følgende:

$\begin{array}{c} \int (f (x) + g (x)) d x = \int f (x) d x + \int g (x) d x \\ \int (f (x) - g (x)) d x = \int f (x) d x - \int g (x) d x \\ \int k \cdot f (x) d x = k \cdot \int f (x) d x \end{array}$

Integrasjon av potensfunksjoner

$\int x^{r} d x = \frac{1}{r + 1} x^{r + 1} + C, r \neq - 1$

Eksempler

$\begin{matrix} \int x^{2} d x = \frac{1}{2 + 1} x^{2 + 1} + C = \frac{1}{3} x^{3} + C \end{matrix}$

$\begin{matrix} \int x^{3} d x = \frac{1}{3 + 1} x^{3 + 1} + C = \frac{1}{4} x^{4} + C \end{matrix}$

$\begin{array}{rcl} \int \frac{1}{x^{3}} d x & = & \int x^{- 3} d x \\ = & \frac{1}{- 3 + 1} x^{- 3 + 1} + C \\ = & \frac{1}{2} x^{- 2} + C \\ = & \frac{1}{x^{2}} + C \end{array}$

Legg merke til at denne regelen ikke gjelder for $r = - 1$ . Vi skal straks komme tilbake til hvordan vi skal utføre integrasjonen i dette spesielle tilfellet, men hvorfor vil det være umulig å bruke denne regelen når $r = - 1$ ?

Forklaring

Hvis $r = - 1$ , vil vi få 0 som nevner i løsningen, noe som medfører at vi ikke får noen løsning hvis vi følger integrasjonsregelen for potensfunksjoner. Som vist nedenfor er det er likevel mulig å integrere $x^{- 1}$ .

Integrasjon av potenser med brøkeksponenter

Regelen for integrasjon av potensfunksjoner kan brukes på potenser med brøkeksponenter. Dette gjør at vi også kan bruke samme integrasjonsregel for rotuttrykk. Hva er sammenhengen mellom et rotuttrykk og en potens med brøkeksponent?

Svar

$\sqrt[3]{x^{5}} = x^{\frac{5}{3}}$

Bruk reglene for integrasjon av potensfunksjoner til å bestemme $\begin{matrix} \int \sqrt{x} d x \end{matrix}$ .

Løsning

$\begin{array}{rcl} \int \sqrt{x} d x & = & \int \sqrt[2]{x^{1}} d x \\ = & \int x^{\frac{1}{2}} d x \\ = & \frac{1}{\frac{1}{2} + 1} x^{\frac{1}{2} + 1} d x \\ = & \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C \end{array}$

Integrasjon av $f (x) = x^{- 1}$

Vi får som forklart over en spesiell situasjon når $r = - 1$ i integralet $\begin{matrix} \int x^{r} d x \end{matrix}$ , det vil si hvis vi skal utføre integrasjonen $\begin{matrix} \int x^{- 1} d x \end{matrix}$ . For å finne en antiderivert i dette tilfellet kan vi bruke potensreglene og skrive om integranden: $\begin{matrix} \int x^{- 1} d x = \int \frac{1}{x} d x \end{matrix}$ .

Tenk tilbake til det du lærte om derivasjon i S1. Hvilken funksjon gir $\frac{1}{x}$ som resultat etter derivasjon?

Svar

I S1 så vi på den deriverte til logaritmefunksjonen, og vi beviste at ${(\ln x)}^{'} = \frac{1}{x}$ for positive $x$ -verdier.

Fra definisjonen av den naturlige logaritmen har vi at ethvert positivt tall $x$ kan skrives som $e$ opphøyd i logaritmen til $x$ .

$x = e^{\ln x}$

Når to funksjoner er like, er den deriverte av hver av funksjonene også like. Vi deriverer venstre og høyre side hver for seg.

Venstre side: $x^{'} = 1$

Høyre side:

${(e^{\ln x})}^{'} = {(e^{u})}^{'} \cdot u^{'} = e^{u} \cdot u^{'} = e^{\ln x} \cdot {(\ln x)}^{'} = x \cdot {(\ln x)}^{'}$

Da har vi

$x \cdot {(\ln x)}^{'} = 1 \Rightarrow {(\ln x)}^{'} = \frac{1}{x}$

Ut fra det vi har lært om derivasjon, kommer vi med følgende påstand: Når $r = - 1$ , gjelder

$\int \frac{1}{x} d x = \ln x + C, x > 0$

Hvorfor skriver vi at $x$ må være større enn $0$ her?

Forklaring

Vi har derivert funksjonen $\ln x$ , og denne funksjonen er bare definert for positive tall.

Vi skal nå se at det også er mulig å utføre integrasjonen $\int \frac{1}{x} d x$ når $x < 0$ . Funksjonen $\frac{1}{x}$ er ikke definert for $x = 0$ , altså eksisterer ikke integralet i dette punktet.

Funksjonen $\ln |x|$ er definert for alle verdier av $x$ forskjellig fra null siden absoluttverdien av et negativt tall er lik et positivt tall med den samme tallverdien.

Grafen til l n til absoluttverdien av x, der det er vist at tangenten i punktet 2 og f av 2 har samme tallverdi for stigningstallet som tangenten i punktet minus 2 og f av 2. Skjermutklipp. — Image: Vibeke Bakken / CC BY-SA 4.0

Her ser du grafen til funksjonen $f (x) = \ln |x|$ .

Ut fra definisjonen av absoluttverdi har vi at $f (x) = f (- x)$ , og grafen vil derfor speiles om $y$ -aksen.

Vi har tegnet tangenter til grafen for $x = 2$ og for $x = - 2$ .

Stigningstallet til tangenten i et punkt er lik den deriverte i punktet.

Stigningstallet til tangenten når $x = - 2$ , er lik $- \frac{1}{2}$ . Det betyr at $f^{'} (x) = - \frac{1}{2}$ .

Stigningstallet til tangenten når $x = 2$ , er lik $0, 5 = \frac{1}{2}$ . Det betyr at $f^{'} (2) = \frac{1}{2}$ .

Det kan vises at det alltid gjelder at ${(\ln |x|)}^{'} = \frac{1}{x}$ .

Prøv selv

Bruk GeoGebra. Tegn grafen $f (x) = \ln |x|$ , lag et punkt på grafen, og tegn tangenten til grafen i punktet. Du kan så dra punktet langs grafen og finne stigningstallet til de ulike tangentene.

Definisjonen av et ubestemt integral gir ut fra dette følgende integrasjonsregel:

$\int \frac{1}{x} d x = \ln |x| + C, x \neq 0$

Integrasjon av eksponentialfunksjoner

Fra derivasjonsreglene husker vi at den deriverte av $e^{x}$ er $e^{x}$ . Det betyr at det samme gjelder for den integrerte, men den integrerte får som polynomfunksjonene en konstant i tillegg.

$\int e^{x} d x = e^{x} + C$

Hvordan deriverer vi en funksjon av type $f (x) = e^{k x}$ ?

Svar

Vi deriverer en slik funksjon ved å multiplisere med den deriverte av eksponenten:

$f^{'} (x) = k \cdot e^{k x}$

Dersom vi har en funksjon av type $f (x) = e^{k x}$ , får vi følgende integrasjonsregel:

$\int e^{k x} d x = \frac{1}{k} e^{k x} + C$

En generell utgave av eksponentialfunksjonen er at grunntallet kan være et vilkårlig tall, det vil si noe annet enn $e$ . Da vil integrasjonen i tillegg gi en brøk med $\ln$ i nevneren.

$\int a^{x} d x = \frac{1}{\ln a} a^{x} + C, a > 0$

Vis ved derivasjon at denne regelen stemmer.

Tips

Skriv først om $a^{x}$ til ${(e^{\ln a})}^{x}$ . ${(e^{\ln a})}^{x}$ kan deretter omskrives til $e^{x \cdot \ln a}$ . Deriver så ved hjelp av kjerneregelen.

Bevis

$f (x) = a^{x} = e^{x \ln a}$

$g (u) = e^{u} u = x \ln a$

$g^{'} (u) = e^{u} u^{'} (x) = \ln a$

$\begin{array}{rcl} f^{'} (x) & = & g^{'} (u) \cdot u^{'} (x) \\ = & e^{x \ln a} \cdot \ln a \\ = & {(e^{\ln a})}^{x} \cdot \ln a \\ = & a^{x} \cdot \ln a \end{array}$

Vi har med dette vist at $\begin{matrix} \int a^{x} \cdot \ln a d x = a^{x} \end{matrix}$ . Siden $\ln a$ er en tallverdi, kan vi omforme slik:

$\begin{array}{rcl} \int a^{x} \cdot \ln a d x & = & a^{x} \\ \ln a \cdot \int a^{x} d x & = & a^{x} \\ \int a^{x} d x & = & \frac{1}{\ln a} a^{x} \end{array}$

Eksempler

$\begin{matrix} \int e^{7 x} d x = \frac{1}{7} e^{7 x} + C \end{matrix}$

$\begin{matrix} \int 3^{x} d x = \frac{1}{\ln 3} \cdot 3^{x} + C \end{matrix}$

$\begin{array}{rcl} \int (5 x^{2} - 3 e^{4 x}) d x & = & 5 \int x^{2} d x - 3 \int e^{4 x} d x \\ = & \frac{5}{3} x^{3} - \frac{3}{4} e^{4 x} + C \end{array}$

Prøv selv

Bruk GeoGebra. Tegn grafen, lag et punkt på grafen, og tegn tangenten til grafen i punktet. Du kan dra punktet langs grafen og finne stigningstallet til de ulike tangentene.

Integrasjonsregler, oppsummering

Konstant, $k,$ multiplisert med funksjon

$\int k \cdot f (x) d x = k \cdot \int f (x) d x$

Sum av og differanse mellom funksjoner

$\int (f (x) + g (x)) d x = \int f (x) d x + \int g (x) d x$

$\int (f (x) - g (x)) d x = \int f (x) d x - \int g (x) d x$

Potensfunksjoner

$\int k d x = k x + C$

$\int x^{r} d x = \frac{1}{r + 1} x^{r + 1} + C, r \neq - 1$

$\int x^{- 1} d x = \int \frac{1}{x} d x = \ln | x | + C, x \neq 0$

$\int x^{\frac{1}{2}} d x = \int \sqrt{x} d x = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Eksponentialfunksjoner

$\int e^{x} d x = e^{x} + C$

$\int e^{k x} d x = \frac{1}{k} e^{k x} + C$

$\int a^{x} d x = \frac{1}{\ln a} a^{x} + C, a > 0$

Film om regneregler for integrasjon

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0