Arealet mellom grafer

Vi har tegnet grafene til de to funksjonene $f$ og $g$ gitt ved

$\begin{array}{lcl}f\left(x\right)& = & -x^2+12x+10\\ & & \\ g\left(x\right)& =& x^2-12x+50\end{array}$

Begge grafene er over $$ x$$-aksen i det angitte området. Hvordan kan vi beregne arealet av området mellom grafene, som er skravert med grønt på figuren?

Svar

Området som er markert med grønt på figuren over, avgrenses av to loddrette linjer som går gjennom skjæringspunktene mellom grafene. Vi kan finne dette arealet som differansen mellom området under $$ f$$, som er skravert med blått, og området under $$ g$$, som er skravert med svart.

Vi finner først skjæringspunktene mellom grafene.

$$\begin{gathered} \begin{array}{rcl}f\left(x\right)& =& g\left(x\right)\\ & & \\ -x^2+12x+10 & = & x^2-12x+50\\ & & \\ -2x^2+24x-40& =& 0\end{array} \\ \end{gathered}$$

$$ \begin{array}{rcl}x\hspace{0.17em}& =& \hspace{0.17em}\frac{-24\pm \sqrt{{24}^2-4·\left(-2\right)\left(-40\right)}}{2\left(-2\right)}=\frac{-24\pm 16}{-4}\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}& & x\end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& =& \end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& & 2\end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& & \vee \end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& & x\end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& =& \end{array}\begin{array}{rcl}& & \end{array}\begin{array}{rcl}& & 10\end{array}$$

Nå vet vi at områdene avgrenses horisontalt av linjene $$ x=2$$ og $$ x=10$$. Dersom vi regner ut $$ \begin{array}{c}{\int }_2^{10}f\left(x\right) dx\end{array}$$, får vi arealet som er skravert med blått på figuren til venstre. Tilsvarende får vi arealet som er skravert med svart på figuren til høyre, ved å regne ut $$ \begin{array}{c}{\int }_2^{10}g\left(x\right) dx\end{array}$$.

Arealet av området mellom grafene er da

$$\begin{gathered} \begin{array}{rcl}A& = & {\int }_2^{10}f\left(x\right) dx-{\int }_2^{10}g\left(x\right) dx={\int }_2^{10}\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right) dx\\ & & \\ & =& {\int }_2^{10}\left(-x^2+12x+10-\left(x^2-12x+50\right)\right) dx\\ & & \\ & =& {\int }_2^{10}\left(-2x^2+24x-40\right) dx\\ & & \\ & =& {\left[-\frac{2}{3}{x}^3+\frac{24}{2}{x}^2-40x\right]}_2^{10}\\ & & \\ & =& \frac{400}{3}+\frac{112}{3}\\ & & \\ & =& \frac{512}{3}\end{array} \\ \end{gathered}$$

Vi starter her med integralet som er avgrenset av den øverste grafen og trekker fra integralet som er avgrenset av den nederste grafen.

Hva skjer hvis du gjør omvendt?

Vi kan kontrollere resultatet ved å beregne det samme integralet i GeoGebra. Vi bruker IntegralMellom(<Funksjon>,<Funksjon>,<Start>,<Slutt>).

Vi ser at rekkefølgen vi angir funksjonene i, har betydning også i CAS. Vi får positivt resultat når vi angir $$ f$$ først, og negativt resultat når vi angir $$ g$$ først. Absoluttverdien er den samme i begge tilfellene.

Hvordan beregner vi arealet når grafene veksler på å være øverst i det området vi ønsker å beregne arealet?

Forklaring

Hvis grafene veksler på å være øverst, må vi beregne det bestemte integralet område for område.

Test gjerne dette ut med ulike funksjoner i GeoGebra eller manuelt. Du kan for eksempel bruke funksjonene $$ f\left(x\right)=x^3-x$$ og $$ g\left(x\right)=-x^3+x$$ og beregne arealet mellom de to grafene fra $$ x=-1$$ til $$ x=0$$ og fra $$ x=0$$ til $$ x=1$$. Undersøk også hva som skjer hvis du beregner arealet fra $$ x=-1$$ til $$ x=1$$ i en regneoperasjon.