Integrasjon ved variabelskifte

Sett $$ u=3x+1$$.

Vi setter $$ u=3x+1$$.

Dette gir

$$ \begin{array}{lll}& & \frac{du}{dx}=3\\ & & \\ & & dx=\frac{du}{3}\end{array}$$

Vi setter inn for $$ u$$ og $$ dx$$ og får

$$ \begin{array}{rcl}\int {\left(3x+1\right)}^{2}dx & =& \int u^2\frac{du}{3}\\ & =& \frac{1}{3}\int u^{2}du\\ & =& \frac{1}{3}·\frac{1}{3}{u}^3+C\\ & =& \frac{1}{9}{\left(3x+1\right)}^3+C\end{array}$$

Sett $$ u=3-4x$$ og bruk regelen for integrasjon av kvadratrot.

Vi setter $$ u=3-4x$$.

Dette gir

$$ \begin{array}{lll}& & \frac{du}{dx}=-4\\ & & \\ & & dx=-\frac{du}{4}=-\frac{1}{4}du\end{array}$$

Vi setter inn for $$ u$$ og $$ dx$$ og får

$$ \begin{array}{rcl}\int \sqrt{3-4x} dx & =& \int \sqrt{u}\left(-\frac{1}{4}\right)du\\ & =& -\frac{1}{4}\int \sqrt{u} du\\ & =& -\frac{1}{4}\int u^{\frac{1}{2}}du\\ & =& -\frac{1}{4}·\frac{2}{3}{u}^{\frac{3}{2}}+C\\ & =& -\frac{1}{6}·{\left(3-4x\right)}^{\frac{3}{2}}+C\end{array}$$

Sett $$ u=5x+2$$.

Vi setter $$ u=5x+2$$.

Dette gir

$$ \begin{array}{lll}& & \frac{du}{dx}=5\\ & & \\ & & dx=\frac{du}{5}\end{array}$$

Vi setter inn for $$ u$$ og $$ dx$$ og får

$$ \begin{array}{rcl}\int \frac{1}{5x+2}dx & =& \int \frac{1}{u}\frac{du}{5}\\ & =& \frac{1}{5}\int \frac{1}{u}du\\ & =& \frac{1}{5}\ln \left|u\right|+C\\ & =& \frac{1}{5}\ln \left|5x+2\right|+C\end{array}$$

Her har vi $$ x$$ i både telleren og nevneren.

Hva kan vi velge som $$ u$$ som gjør at vi får forkortet bort det som er igjen av $$ x$$?

Vi setter $$ u=x^2+1$$.

Dette gir

$$ \begin{array}{lll}& & \frac{du}{dx}=2x\\ & & \\ & & dx=\frac{du}{2x}\end{array}$$

Vi setter inn for $$ u$$ og $$ dx$$:

$$ \begin{array}{rcl}\int \frac{x}{x^2+1}dx & =& \int \frac{x}{u}·\frac{du}{2x}\\ & =& \frac{1}{2}\int \frac{1}{u}du\\ & =& \frac{1}{2}\ln \left|u\right|+C\\ & =& \frac{1}{2}\ln \left(x^2+1\right)+C\end{array}$$

Legg merke til at vi fjerner absoluttverditegnet fra nest siste til siste linje i løsningen. Dette kan vi gjøre fordi $$ \left(x^2+1\right)$$ alltid vil være positiv.

Vi setter $$ u=\ln x$$.

Dette gir

$$ \begin{array}{lll}& & \frac{du}{dx}=\frac{1}{x}\\ & & \\ & & dx=du·x\end{array}$$

Vi setter inn for $$ u$$ og $$ dx$$ og får

$$ \begin{array}{rcl}\int \frac{{\left(\ln x\right)}^2}{x}dx & =& \int \frac{{\left(u\right)}^2}{x}du·x\\ & =& \int u^{2}du\\ & =& \frac{1}{3}{u}^3+C\\ & =& \frac{1}{3}{\left(\ln x\right)}^3+C\end{array}$$

Vi setter $$ u=x^2+2$$.

Dette gir

$$ \begin{array}{lll}& & \frac{du}{dx}=2x\\ & & \\ & & dx=\frac{du}{2x}\end{array}$$

Vi setter inn for $$ u$$ og $$ dx$$:

$$ \begin{array}{rcl}\int x{\left(x^2+2\right)}^{6}dx & =& \int x·u^6·\frac{du}{2x}\\ & =& \frac{1}{2}\int u^{6}du\\ & =& \frac{1}{2}·\frac{1}{7}{u}^7+C\\ & =& \frac{1}{14}{\left(x^2+2\right)}^7+C\end{array}$$