Task

Integrasjonsmetoder – blandede oppgaver

Hvilken metode skal du bruke? Her kan du øve på integrasjonsmetodene.

Oppgaver

3.2.30

Det er i noen tilfeller mulig å bruke flere integrasjonsmetoder for å bestemme et integral. I denne oppgaven skal vi se på et eksempel på nettopp dette.

Vi skal bestemme $\int \frac{x + 1}{x^{2} + 2 x - 8} d x$ .

a) Begrunn at vi kan bruke delbrøkoppspalting for å bestemme integralet, og utfør integrasjonen ved bruk av delbrøkoppspalting.

b) Begrunn at vi også kan velge å bruke integrasjon ved variabelskifte i dette tilfellet, og bestem integralet på nytt ved bruk av variabelskifte for å kontrollere at du får samme resultat.

c) Hvilken av metodene var mest effektiv?

3.2.31

I denne oppgaven må du vurdere hvilken integrasjonsmetode du kan bruke for å bestemme integralene som gis. I noen tilfeller vil flere av metodene være mulige å bruke, andre vil kreve en kombinasjon av metoder, og i noen oppgaver må du skrive om uttrykket før du kan benytte en metode.

a) $\int (\frac{1}{x^{5}} - \frac{2}{x^{3}}) d x$

b) $\int \frac{x + 5}{2 x + 3} d x$

c) $\int \frac{3 x^{2} + 2}{{(2 x^{3} + 4 x + 5)}^{3}} d x$

d) $\int 5 x^{2} e^{2 x + 7} d x$

e) $\int \begin{array}{rcl} \frac{{(2 x - 3)}^{2}}{x^{3}} \end{array} d x$

f) $\int \sqrt{x^{2} - 3 x^{4}} d x$

g) $\int x^{3} \sqrt{x} d x$

h) $\int \frac{2 x - x^{4}}{x^{5} - 5 x^{2} + 3} d x$

i) $\int \frac{{(\ln 3 x)}^{2}}{x} d x$

j) $\int \frac{x^{3} + x^{2} + x + 1}{x^{2} - 2 x - 3} d x$

Løsninger

3.2.30

3.2.30 a)

Integranden er en brøk der telleren har lavere grad enn nevneren. Nevneren har reelle nullpunkter og kan faktoriseres i ulike førstegradsfaktorer. Dette betyr at vi kan dele brøken i to brøker med ulike nevnere, noe som gir at integrasjon ved delbrøkoppspalting er mulig.

$\int \frac{x + 1}{x^{2} + 2 x - 8} d x$

Før vi kan spalte brøken, må vi faktorisere telleren:

$x^{2} + 2 x - 8 = (x + 4) (x - 2)$

Vi spalter brøken i to brøker med $A$ og $B$ som tellere, og setter opp likning for å bestemme $A$ og $B$ :

$\frac{A}{x + 4} + \frac{B}{x - 2} = \frac{x + 1}{x^{2} + 2 x - 8}$

$\begin{array}{rcl} A (x - 2) + B (x + 4) & = & x + 1 \\ A x - 2 A + B x + 4 B & = & x + 1 \end{array}$

$\begin{array}{rclcrcl} A + B & = & 1 & - 2 A + 4 B & = & 1 \\ A & = & 1 - B & - 2 (1 - B) + 4 B & = & 1 \\ - 2 + 2 B + 4 B & = & 1 \\ 6 B & = & 3 \\ A & = & 1 - \frac{1}{2} & B & = & \frac{1}{2} \\ A & = & \frac{1}{2} \end{array}$

Vi setter inn for $A$ og $B$ :

$\begin{array}{rcl} \int \frac{x + 1}{x^{2} + 2 x - 8} d x & = & \int (\frac{\frac{1}{2}}{x + 4} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 2}) d x \\ = & \frac{1}{2} \ln |x + 4| + \frac{1}{2} \ln |x - 2| + C \\ = & \frac{1}{2} (\ln |x + 4| + \ln |x - 2|) + C \\ = & \frac{1}{2} \ln |(x + 4) (x - 2)| + C \\ = & \frac{1}{2} \ln |x^{2} + 2 x - 8| + C \end{array}$

3.2.30 b)

Integrasjon ved variabelskifte krever at hvis vi setter en faktor lik $u$ , vil den deriverte av denne faktoren, $\frac{d u}{d x}$ , forkorte bort eventuelle faktorer med $x$ som fortsatt står i den opprinnelige integranden etter at vi har satt inn $u$ .

$\int \frac{x + 1}{x^{2} + 2 x - 8} d x$

Vi setter $u = x^{2} + 2 x - 8$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = 2 x + 2 \\ d x = \frac{d u}{2 x + 2} \\ d x = \frac{d u}{2 (x + 1)} \end{array}$

Vi setter inn for $u$ og $d x$ og får

$\begin{array}{rcl} \int \frac{x + 1}{x^{2} + 2 x - 8} d x & = & \int \frac{x + 1}{u} \frac{d u}{2 (x + 1)} \\ = & \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u \\ = & \frac{1}{2} \ln |u| + C \\ = & \frac{1}{2} \ln |x^{2} + 2 x - 8| + C \end{array}$

3.2.30 c)

Integrasjon med variabelskifte var mest effektivt.

Det er vanlig å velge integrasjon med delbrøkoppspalting hvis integranden er en brøk, men det lønner seg å sjekke om integrasjon med variabelskifte er mulig.

3.2.31

3.2.31 a)

$\int (\frac{1}{x^{5}} - \frac{2}{x^{3}}) d x$

Her kan vi bruke de generelle reglene for integrasjon av polynomer ved å gjøre en omskriving først:

$\begin{array}{rcl} \int (\frac{1}{x^{5}} - \frac{2}{x^{3}}) d x & = & \int (x^{- 5} - 2 x^{- 3}) d x \\ = & \frac{1}{- 5 + 1} x^{- 5 + 1} - 2 \cdot \frac{1}{- 3 + 1} x^{- 3 + 1} + C \\ = & - \frac{1}{4} x^{- 4} - (- \frac{2}{2} x^{- 2}) + C \\ = & - \frac{1}{4 x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + C \end{array}$

3.2.31 b)

$\int \frac{x + 5}{2 x + 3} d x$

Her kan vi utføre polynomdivisjon før vi integrerer ved hjelp av de generelle reglene:

$\begin{matrix} (x & + & 5) & : & (2 x & + & 3) & = & \frac{1}{2} & + & \frac{\frac{7}{2}}{2 x + 3} \\ - & (x & + & \frac{3}{2}) \\ \frac{7}{2} \end{matrix}$

$\begin{array}{rcl} \int \frac{x + 5}{2 x + 3} d x & = & \int (\frac{1}{2} + \frac{\frac{7}{2}}{2 x + 3}) d x \\ = & \frac{1}{2} x + \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{2} \ln |2 x + 3| + C \\ = & \frac{1}{2} x + \frac{7}{4} \ln |2 x + 3| + C \end{array}$

3.2.31 c)

$\int \frac{3 x^{2} + 2}{{(2 x^{3} + 4 x + 5)}^{3}} d x$

Vi velger integrasjon ved variabelskifte.

Vi setter $u = 2 x^{3} + 4 x + 5$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = 6 x^{2} + 4 \\ d x = \frac{d u}{6 x^{2} + 4} \\ d x = \frac{d u}{2 (3 x^{2} + 2)} \end{array}$

Vi setter inn for $u$ og $d x$ og får

$\begin{array}{rcl} \int \frac{3 x^{2} + 2}{{(2 x^{3} + 4 x + 5)}^{3}} d x & = & \int \frac{3 x^{2} + 2}{{(u)}^{3}} \frac{d u}{2 (3 x^{2} + 2)} \\ = & \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{3}} d u \\ = & \frac{1}{2} \int u^{- 3} + C \\ = & \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{- 2} \cdot u^{- 2} + C \\ = & - \frac{1}{4} {(2 x^{3} + 4 x + 5)}^{- 2} + C \\ = & - \frac{1}{4 {(2 x^{3} + 4 x + 5)}^{2}} + C \end{array}$

3.2.31 d)

Her kan vi bruke regelen for integrasjon av eksponentialfunksjoner i kombinasjon med gjentatt delvis integrasjon.

Vi bestemmer først $\int e^{2 x + 7} d x$ :

$\int e^{2 x + 7} d x = \frac{1}{2} e^{2 x + 7} + C$

Vi må nå utføre delvis integrasjon to ganger siden vi har en andregradsfaktor i integranden:

$\int 5 x^{2} e^{2 x + 7} d x$

Vi velger $v$ og $u^{'}$ :

$v = 5 x^{2}$ , som gir $v^{'} = 10 x$
$u^{'} = e^{2 x + 7}$ , som gir $u = \frac{1}{2} e^{2 x + 7}$

Vi bruker formelen for delvis integrasjon og får

$\begin{array}{rcl} \int 5 x^{2} e^{2 x + 7} d x & = & \frac{1}{2} e^{2 x + 7} \cdot 5 x^{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x + 7} \cdot 10 x d x \\ = & \frac{1}{2} e^{2 x + 7} \cdot 5 x^{2} - 5 \int e^{2 x + 7} \cdot x d x \end{array}$

Vi velger $v$ og $u^{'}$ :

$v = x$ , som gir $v^{'} = 1$
$u^{'} = e^{2 x + 7}$ , som gir $u = \frac{1}{2} e^{2 x + 7}$

Vi bruker formelen for delvis integrasjon på nytt og får

$\begin{array}{rcl} \int 5 x^{2} e^{2 x + 7} d x & = & \frac{1}{2} e^{2 x + 7} \cdot 5 x^{2} - 5 \int e^{2 x + 7} \cdot x \\ = & \frac{1}{2} e^{2 x + 7} \cdot 5 x^{2} - 5 (\frac{1}{2} e^{2 x + 7} \cdot x - \int \frac{1}{2} e^{2 x + 7} \cdot 1 d x) \\ = & \frac{1}{2} e^{2 x + 7} \cdot 5 x^{2} - 5 (\frac{1}{2} e^{2 x + 7} \cdot x - \frac{1}{2} \int e^{2 x + 7} d x) \\ = & \frac{1}{2} e^{2 x + 7} \cdot 5 x^{2} - \frac{5}{2} (e^{2 x + 7} \cdot x - \int e^{2 x + 7} d x) \\ = & \frac{1}{2} e^{2 x + 7} \cdot 5 x^{2} - \frac{5}{2} (e^{2 x + 7} \cdot x - \frac{1}{2} e^{2 x + 7}) + C \\ = & \frac{1}{2} e^{2 x + 7} \cdot 5 x^{2} - \frac{5}{2} e^{2 x + 7} \cdot x + \frac{5}{4} e^{2 x + 7} + C \\ = & \frac{5}{4} e^{2 x + 7} (2 x^{2} - 2 x + 1) + C \end{array}$

3.2.31 e)

$\begin{array}{rcl} \int \frac{{(2 x - 3)}^{2}}{x^{3}} d x & = & \int \frac{4 x^{2} - 12 x + 9}{x^{3}} d x \\ = & \int (\frac{4 x^{2}}{x^{3}} - \frac{12 x}{x^{3}} + \frac{9}{x^{3}}) d x \\ = & \int (\frac{4}{x} - \frac{12}{x^{2}} + \frac{9}{x^{3}}) d x \\ = & \int (\frac{4}{x} - 12 x^{- 2} + 9 x^{- 3}) d x \\ = & 4 \ln |x| + 12 x^{- 1} - 9 \frac{1}{2} x^{- 2} + C \\ = & 4 \ln |x| + \frac{12}{x} - \frac{9}{2 x^{2}} + C \end{array}$

3.2.31 f)

Vi omformer først radikanden slik at vi får et produkt.

$\begin{array}{rcl} \int \sqrt{x^{2} - 3 x^{4}} d x & = & \int \sqrt{x^{2} (1 - 3 x^{2})} d x \\ = & \sqrt{x^{2}} \cdot \sqrt{1 - 3 x^{2}} d x \\ = & \int x \sqrt{1 - 3 x^{2}} d x \end{array}$

Nå kan vi bruke integrasjon ved variabelskifte:

Vi setter $u = 1 - 3 x^{2}$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = - 6 x \\ d x = - \frac{d u}{6 x} \end{array}$

Vi setter inn for $u$ og $d x$ og får

$\begin{array}{rcl} \int \sqrt{x^{2} - 3 x^{4}} d x & = & \int x \sqrt{1 - 3 x^{2}} d x \\ = & \int x \sqrt{u} \cdot \frac{d u}{- 6 x} \\ = & - \frac{1}{6} \int \sqrt{u} \cdot d u \\ = & - \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{3} \cdot u^{\frac{3}{2}} + C \\ = & - \frac{1}{9} {(1 - 3 x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C \end{array}$

3.2.31 g)

Her trengs det ikke mer enn de grunnleggende reglene for integrasjon av polynomer hvis vi omformer uttrykket.

$\begin{array}{rcl} \int x^{3} \sqrt{x} d x & = & \int x^{3} \cdot x^{\frac{1}{2}} d x \\ = & \int x^{\frac{7}{2}} d x \\ = & \frac{1}{\frac{7}{2} + 1} x^{\frac{7}{2} + 1} + C \\ = & \frac{2}{9} x^{\frac{9}{2}} + C \\ = & \frac{2}{9} x^{4} \cdot x^{\frac{1}{2}} + C \\ = & \frac{2}{9} x^{4} \cdot \sqrt{x} + C \end{array}$

3.2.31 h)

Vi ser at telleren er en grad lavere enn nevneren i begge ledd som inneholder $x$ . Dette kan bety at integrasjon ved variabelskifte kan være mulig. Vi prøver derfor denne metoden:

$\int \frac{2 x - x^{4}}{x^{5} - 5 x^{2} + 3} d x$

Vi setter $u = x^{5} - 5 x^{2} + 3$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = 5 x^{4} - 10 x \\ d x = - \frac{d u}{5 x^{4} - 10 x} \\ d x = - \frac{d u}{- 5 (2 x - x^{4})} \end{array}$

Vi setter inn for $u$ og $d x$ og får

$\begin{array}{rcl} \int \frac{2 x - x^{4}}{x^{5} - 5 x^{2} + 3} d x & = & \int \frac{2 x - x^{4}}{u} \cdot \frac{d u}{- 5 (2 x - x^{4})} \\ = & - \frac{1}{5} \int \frac{1}{u} d u \\ = & - \frac{1}{5} \ln |u| + C \\ = & - \frac{1}{5} \ln |x^{5} - 5 x^{2} + 3| + C \end{array}$

3.2.31 i)

Vi prøver integrasjon ved variabelskifte siden vi vet at derivasjon av $\ln (x) = \frac{1}{x}$ , som vil gjøre at vi kan forkorte bort $x$ i nevneren.

$\int \frac{{(\ln 3 x)}^{2}}{x} d x$

Vi setter $u = \ln 3 x$ .

Dette gir

$\begin{array}{lll} \frac{d u}{d x} = \frac{1}{3 x} \cdot 3 \\ \frac{d u}{d x} = \frac{1}{x} \\ d x = x \cdot d u \end{array}$

Vi setter inn for $u$ og $d x$ og får

$\begin{array}{rcl} \int \frac{{(\ln 3 x)}^{2}}{x} d x & = & \int \frac{{(u)}^{2}}{x} d u \cdot x \\ = & \int u^{2} d u \\ = & \frac{1}{3} u^{3} + C \\ = & \frac{1}{3} {(\ln 3 x)}^{3} + C \end{array}$

3.2.31 j)

Denne oppgaven kan løses ved hjelp av polynomdivisjon og delbrøkoppspalting:

Vi ser at telleren har høyere grad enn nevneren, og vi starter derfor med polynomdivisjon:

$\begin{array}{ccccccccccccccccrcrrcrcrcccccccccccc} ( & x^{3} & + & x^{2} & + & x & + & 1 & ) & : & ( & x^{2} & - & 2 & x & - & 3 & ) & = & x + 3 + \frac{10 x + 10}{x^{2} - 2 x - 3} \end{array}$ $\begin{array}{ccrcrrcrcr} - & ( & x^{3} & - & 2 & x^{2} & - & 3 x & ) \\ 3 & x^{2} & + & 4 x & + & 1 \\ - & ( & 3 & x^{2} & - & 6 x & - & 9 \\ 10 x & + & 10 \end{array}$

Integralet blir nå slik:

$\int (x + 3 + \frac{10 x + 10}{x^{2} - 2 x - 3}) d x$

Før vi kan spalte brøken, må vi faktorisere telleren:

$x^{2} - 2 x - 3 = (x + 1) (x - 3)$

Vi spalter brøken i to brøker med $A$ og $B$ som tellere:

$\int (x + 3 + \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 3}) d x$

Vi setter opp likning for å bestemme $A$ og $B$ :

$\begin{array}{rcl} A (x - 3) + B (x + 1) & = & 10 x + 10 \\ A x - 3 A + B x + B & = & 10 x + 10 \end{array}$

$\begin{array}{rclcrcl} A + B & = & 10 & - 3 A + B & = & 10 \\ B & = & 10 - A & - 3 A + 10 - A & = & 10 \\ - 4 A & = & 0 \\ B & = & 10 & A & = & 0 \end{array}$

Vi setter inn for $A$ og $B$ , og vi ser at en brøk blir lik 0. Når $A$ eller $B$ blir lik 0, er det fordi vi har en slik situasjon der en faktor kan forkortes bort. Dette kommer fram i den alternative løsningen nedenfor.

$\begin{array}{rcl} \int (x + 3 + \frac{0}{x + 1} + \frac{10}{x - 3}) d x & = & \int (x + 3 + \frac{10}{x - 3}) d x \\ = & \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + 10 \ln |x - 3| + C \end{array}$

Alternativ løsning: Faktoriser telleren og nevneren først, gjennomfør deretter en enklere polynomdivisjon. For å faktorisere telleren må vi se at den har nullpunkt for $x = - 1$ :

$\begin{array}{rcl} \int \frac{x^{3} + x^{2} + x + 1}{x^{2} - 2 x - 3} d x & = & \int \frac{(x + 1) (x^{2} + 1)}{(x + 1) (x - 3)} d x \\ = & \int \frac{x^{2} + 1}{(x - 3)} d x \\ = & \int x + 3 + \frac{10}{x - 3} \\ = & \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + 10 \ln |x - 3| + C \end{array}$

Oppgaver

3.2.30

3.2.31

Løsninger

3.2.30

3.2.31

Rules for use of text "Integrasjonsmetoder – blandede oppgaver"