Article

Konvergens og divergens i uendelige geometriske rekker

Hva skjer hvis du halverer en figur? Kan du få mer enn en hel figur hvis du bare gjør det mange nok ganger?

Sum av uendelige geometriske rekker

Et kvadrat med sidekanter 2 som er delt inn i mindre figurer. Et blått rektangel er halvparten og heter a 1. Et rødt kvadrat er en fjerdedel og heter a 2. Et grønt rektangel er en åttendedel og heter a 3. Et blått kvadrat er en sekstendedel og heter a 4. Et rødt rektangel er en trettitodel og heter a 5. Resten av kvadratet er hvitt. Illustrasjon. — Image: Tove Annette Holter / CC BY-SA 4.0

På figuren ser du et stort kvadrat med sidelengder lik 2 og areal lik 4. Det store blå rektanglet, som vi kaller $a_{1}$ , er halvparten av kvadratet og har dermed arealet 2.

Det røde kvadratet, som vi kaller $a_{2}$ , er en fjerdedel av det store kvadratet og har arealet 1.

Hvor stort er arealet av $a_{3}, a_{4} og a_{5}$ ?

Løsning

Vi ser at hver figur er halvparten så stor som den forrige, så vi har at $a_{3} = \frac{1}{2}, a_{4} = \frac{1}{4} og a_{5} = \frac{1}{8}$ .

Hvis vi legger sammen arealene til de fargede firkantene, får vi summen av ei endelig geometrisk rekke, der $a_{1} = 2 og k = \frac{1}{2}$ . Summen av de 5 første leddene er

$S_{5} = 2 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = 3, 875$

Men hva skjer hvis vi fortsetter å legge til halvparten av det som står igjen av kvadratet? Summen av de 10 første leddene i rekka er

$S_{10} = \sum_{n = 1}^{10} 2 \cdot {(\frac{1}{2})}^{n - 1} \approx 3, 99609375$

Summen av de 30 første leddene i rekka er

$S_{30} = \sum_{n = 1}^{30} 2 \cdot {(\frac{1}{2})}^{n - 1} \approx 3, 99999999627470$

Hvis vi regner ut summen av de 100 første leddene, får vi

$S_{100} = \sum_{n = 1}^{100} 2 \cdot {(\frac{1}{2})}^{n - 1} \approx 4$

Det skal ikke så mange ledd til før summen blir tilnærmet lik tallet 4. Det er begrenset hvor mange sifre vi kan ta med i svaret, derfor får vi svaret avrundet til 4 når vi får mange nok ledd.

Uansett hvor mange ledd vi tar med, vil aldri summen overstige tallet 4. Prøv selv, og tenk over hvorfor det må være sånn.

Forklaring

Vi legger hele tida til halvparten av det som er igjen av kvadratet. Det betyr at summen aldri kan bli høyere enn arealet til kvadratet, som er 4.

Vi kan forklare dette matematisk ved å se på grenseverdien til uttrykket for summen av den endelige geometrisk rekka:

$\begin{array}{rcl} S_{n} & = & a_{1} \cdot \frac{k^{n} - 1}{k - 1} = 2 \cdot \frac{{(\frac{1}{2})}^{n} - 1}{\frac{1}{2} - 1} = 2 \cdot \frac{{(\frac{1}{2})}^{n} - 1}{- \frac{1}{2}} \\ = & - 4 \cdot ({(\frac{1}{2})}^{n} - 1) = - 4 \cdot (\frac{1}{2^{n}} - 1) = 4 \cdot (1 - \frac{1}{2^{n}}) \end{array}$

Når $n$ blir veldig stor, vil leddet $\frac{1}{2^{n}}$ bli mindre og mindre, og summen vil derfor nærme seg 4, men summen vil alltid være litt mindre enn 4. Summen av den uendelige geometriske rekka vil altså bli

$S = \lim_{n \to \infty} 4 (1 - \frac{1}{2^{n}}) = 4$

Konvergens og divergens

I eksemplet over ser vi at summen til den uendelige geometriske rekka nærmer seg en bestemt verdi når $n \to \infty$ . Vi sier at rekka konvergerer. Hvis ei rekke ikke nærmer seg noen bestemt sum når $n \to \infty$ , sier vi at rekka divergerer.

La oss se på hva som skjer med summen av ei geometrisk rekke der $a_{1} = 2 og k = 3$ . Vi får at

$S_{n} = a_{1} \cdot \frac{k^{n} - 1}{k - 1} = 2 \cdot \frac{3^{n} - 1}{3 - 1} = 3^{n} - 1$

Hva skjer med grenseverdien til $S_{n}$ når vi lar $n$ gå mot uendelig?

Forklaring

Vi ser at leddet $3^{n}$ vil fortsette å vokse for hver gang $n$ blir større, altså eksisterer ikke grenseverdien her.

Det virker altså som at det er verdien av $k$ som avgjør om ei geometrisk rekke konvergerer eller ikke. La oss se nærmere på summeformelen for geometriske rekker:

$S_{n} = a_{1} \cdot \frac{k^{n} - 1}{k - 1} når k \neq 1$

Vi legger merke til at det bare er leddet $k^{n}$ som vil endre seg når $n$ endrer seg. Det betyr at for å finne ut hva slags verdier av $k$ som gir ei konvergerende rekke, må vi se nærmere på hva som skjer med dette leddet når $k$ endrer seg og $n$ går mot uendelig.

Hvilke verdier tror du er de kritiske verdiene for $k$ ? Tenk gjennom det før du leser videre!

Forklaring

Vi vet fra potensregningen at $1^{n} = 1$ uavhengig av hvor stor $n$ er. I eksemplene over ser vi at der hvor $k = \frac{1}{2}$ , fikk vi ei konvergerende rekke, altså ei rekke der summen nærmer seg en bestemt verdi. Der hvor $k = 3$ , fikk vi ei divergerende rekke. Vi ser at dette kommer av at absoluttverdien til leddet $k^{n}$ vokser dersom $|k| > 1$ , og at leddet blir mindre og nærmer seg 0 dersom $|k| < 1$ . Vi må altså se på tilfellene $k = \pm 1, k < - 1, - 1 < k < 1 og k > 1$ .

Tilfeller der den geometriske rekka divergerer

Vi begynner med å se på alle de tilfellene der summen til den uendelige geometriske rekka ikke går mot noen bestemt verdi, altså at den divergerer. Vi viser at grenseverdien $\lim_{n \to \infty} S_{n}$ ikke eksisterer for disse tilfellene. Legg merke til at vi forutsetter at $a_{1} \neq 0$ .

Når 𝙠 = –1

Vi setter inn $- 1$ for $k$ i summen og får

$S_{n} = a_{1} \cdot \frac{(- 1)^{n} - 1}{- 1 - 1}$

Summen vil bli $a_{1}$ dersom $n$ er oddetall, og 0 dersom $n$ er partall. Da eksisterer det ikke noen bestemt grenseverdi for summen.

Når 𝙠 < –1 eller 𝙠 > 1

Vi ser på hva som skjer med grenseverdien til summen når vi lar $n$ gå mot minus uendelig:

$\lim_{n \to \infty} S_{n} = \lim_{n \to \infty} a_{1} \cdot \frac{k^{n} - 1}{k - 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{1}}{k - 1} \cdot (k^{n} - 1)$

Når $k < - 1$ , vil $|k^{n}| \to \infty når n \to \infty$ .

Når $k > 1$ , vil $k^{n} \to \infty når n \to \infty$ .

Når 𝙠 = 1

Når $k = 1$ , blir summen av den endelige rekka $S_{n} = n \cdot a_{1}$ . Lar vi $n$ gå mot uendelig, ser vi at summen også vil gå mot uendelig.

Dette betyr at dersom $k = \pm 1, k > 1$ eller $k < - 1$ , vil grenseverdien for summen ikke eksistere, og vi vil få ei geometrisk rekke som divergerer.

Tilfeller der den geometriske rekka konvergerer

Vi har nå ett område igjen å undersøke. Vi ser på grenseverdien til summen av den geometriske rekka dersom $k \in 〈 - 1, 1 〉$ . Vi så over at i disse tilfellene vil $k^{n} \to 0 når n \to \infty$ . Summen av rekka blir da

$S = \lim_{n \to \infty} a_{1} \cdot \frac{k^{n} - 1}{k - 1} = a_{1} \cdot \frac{0 - 1}{k - 1} = \frac{- a_{1}}{k - 1} = \frac{a_{1}}{1 - k}$

Rekka går altså mot en bestemt sum og er derfor konvergent. Vi kan nå formulere en setning som oppsummerer:

Ei uendelig geometrisk rekke der $k \in ⟨ - 1, 1 ⟩$ , er konvergent og har sum

$S = \frac{a_{1}}{1 - k}$

Geometriske rekker med variable kvotienter

Til nå har vi bare jobbet med geometriske rekker der kvotienten er et gitt tall. I den uendelige geometriske rekka

$1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}} + . . . x \neq 0$

er kvotienten $k = \frac{1}{x}$ , altså en variabel. Vi vet at ei geometrisk rekke konvergerer dersom $k \in 〈 - 1, 1 〉$ , og det betyr at rekka konvergerer når $\frac{1}{x} \in ⟨ - 1, 1 ⟩$ . Vi må dermed løse en dobbeltulikhet for å finne for hvilke verdier av $x$ rekka konvergerer:

$- 1 < \frac{1}{x} < 1$

Dobbeltulikheten kan løses som to enkle ulikheter:

$\begin{array}{rclcccccrcl} - 1 & < & \frac{1}{x} & \frac{1}{x} & < & 1 \\ - 1 - \frac{1}{x} & < & 0 & \frac{1}{x} - 1 & < & 0 \\ \frac{x + 1}{x} & > & 0 & \frac{1 - x}{x} & < & 0 \end{array}$

Løsning av ulikhetene

Venstre ulikhet:

Vi har to kritiske punkter, der hvor telleren er null,

$\begin{array}{rcl} x + 1 & = & 0 \\ x & = & - 1 \end{array}$

og der hvor nevneren er null:

$x = 0$

Vi tester for $x = - 2, x = - 0, 5$ og $x = 1$ for å finne ut hvor ulikheten er oppfylt:

$\begin{array}{rcl} \frac{- 2 + 1}{- 2} & = & \frac{- 1}{- 2} > 0 \\ \frac{- 0, 5 + 1}{- 0, 5} & = & \frac{0, 5}{- 0, 5} < 0 \\ \frac{1 + 1}{1} & = & \frac{2}{1} > 0 \end{array}$

Vi får løsningen $x \in ⟨ \leftarrow, - 1 ⟩ \cup ⟨ 0, \to ⟩$ .

Høyre ulikhet:

Som for den venstre ulikheten begynner vi med å finne de to kritiske punktene:

$\begin{array}{rcl} 1 - x & = & 0 \\ x & = & 1 \\ x & = & 0 \end{array}$

Vi tester for $x = - 1, x = 0, 5$ og $x = 2$ :

$\begin{array}{rcl} \frac{1 - (- 1)}{- 1} & = & \frac{2}{- 1} < 0 \\ \frac{1 - 0, 5}{0, 5} & = & \frac{0, 5}{0, 5} > 0 \\ \frac{1 - 2}{2} & = & \frac{- 1}{2} < 0 \end{array}$

Vi får løsningen $x \in ⟨ \leftarrow, 0 ⟩ \cup ⟨ 1, \to ⟩$ .

Ønsker du ytterligere oversikt over løsningene, kan du tegne fortegnsskjema.

Den venstre ulikheten gir at $x \in ⟨ \leftarrow, - 1 ⟩ \cup ⟨ 0, \to ⟩$ .

Den høyre ulikheten gir at $x \in ⟨ \leftarrow, 0 ⟩ \cup ⟨ 1, \to ⟩$ .

Rekka konvergerer i det intervallet som oppfyller begge disse ulikhetene samtidig. For å få oversikt kan vi tegne en figur:

En figur som illustrerer de to intervallene. Illustrasjon. — Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Det betyr at rekka konvergerer når

$x \in ⟨ \leftarrow, - 1 ⟩ \cup ⟨ 1, \to ⟩$

Disse verdiene kalles konvergensområdet til rekka.

Vi kan nå finne summen av rekka ved hjelp av formelen for sum av konvergerende geometriske rekker:

$\begin{array}{rcl} S (x) & = & \frac{a_{1}}{1 - k} \\ S (x) & = & \frac{1}{1 - (\frac{1}{x})} \\ S (x) & = & \frac{x}{x - 1} \end{array}$

Summen er en funksjon av $x$ . Husk at funksjonens definisjonsmengde er konvergensområdet til rekka!

Film om uendelige geometriske rekker

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0

Film om konvergens og divergens i rekker

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0

Film om rekker med variable kvotienter

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0