Article

Aritmetiske og geometriske følger

Noen typer følger er så vanlige at de har fått egne navn. To av disse er aritmetiske og geometriske følger. Her skal vi se på egenskapene til disse to.

Aritmetiske følger

Se på følgene nedenfor:

$\begin{array}{rcl} 2, 4, 6, 8, . . . \\ 15, 11, 7, 3, . . . \\ - 7, - 4, - 1, 2, . . . \end{array}$

Kan du se hva som er felles for mønsteret i alle disse følgene?

Forklaring

I hver av følgene er avstanden eller differansen mellom to naboledd helt lik. I den øverste følgen er differansen $d = 2$ , i den andre følgen er $d = - 4$ , og i den tredje følgen er $d = 3$ .

En følge med et slikt mønster kaller vi en aritmetisk følge. I en aritmetisk følge kommer vi derfor fra ett ledd til det neste ved å legge til differansen.

En rekursiv formel for det $n$ -te leddet i en aritmetisk tallfølge blir

$a_{n} = a_{n - 1} + d$

Vi kan også finne en eksplisitt formel for den $n$ -te leddet i en aritmetisk følge. Vi systematiserer og finner det følgende mønsteret:

$\begin{array}{rcl} a_{1} & = & a_{1} \\ a_{2} & = & a_{1} + d \\ a_{3} & = & a_{2} + d = (a_{1} + d) + d = a_{1} + 2 d \\ a_{4} & = & a_{3} + d = (a_{1} + 2 d) + d = a_{1} + 3 d \\ ⋮ \\ a_{n} & = & a_{1} + (n - 1) d \end{array}$

I en aritmetisk tallfølge er tall nummer $n$ gitt ved formelen

$a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$

Regneeksempel

Om en aritmetisk følge får du oppgitt at $a_{3} = 13$ og $a_{5} = 25$ . Vi skal finne en rekursiv og en eksplisitt formel for leddene i følgen.

Tenk gjennom: Hva trenger du å vite for å lage en rekursiv formel for et ledd i en aritmetisk følge?

Svar

Du trenger å vite hva som er differansen mellom de ulike leddene, siden en rekursiv formel for en aritmetisk følge er gitt ved $a_{n} = a_{n - 1} + d$ .

Vi finner $d$ . Vi kjenner her $a_{3}$ og $a_{5}$ . Vi har at

$\begin{array}{rcl} a_{5} & = & a_{4} + d \\ = & a_{3} + d + d \\ = & a_{3} + 2 d \end{array}$

Nå kan vi løse en likning for å finne $d$ :

$\begin{array}{rcl} 25 & = & 13 + 2 d \\ 12 & = & 2 d \\ d & = & 6 \end{array}$

En rekursiv formel for følgen vår blir da

$a_{n} = a_{n - 1} + 6$

Hva mangler du nå for å finne en eksplisitt formel for $a_{n}$ ?

Svar

Du trenger å vite hva det første leddet i følgen er, siden en eksplisitt formel for et ledd i ei aritmetisk følge er gitt ved $a_{n} = a_{1} + d (n - 1)$

For å finne $a_{1}$ bruker vi at vi kjenner $a_{3}$ og $d$ :

$\begin{array}{rcl} a_{3} & = & a_{2} + d \\ = & a_{1} + d + d \\ = & a_{1} + 2 d \\ 13 & = & a_{1} + 2 \cdot 6 \\ a_{1} & = & 1 \end{array}$

Nå kan vi finne den eksplisitte formelen:

$\begin{array}{rcl} a_{n} & = & a_{1} + d (n - 1) \\ = & 1 + 6 (n - 1) \\ = & 1 + 6 n - 6 \\ = & 6 n - 5 \end{array}$

Geometriske følger

Se på følgene nedenfor:

$\begin{array}{rcl} 1, 2, 4, 8, . . . \\ 3, 9, 27, 81, . . . \\ 4, 2, 1, \frac{1}{2}, . . . \end{array}$

Kan du, på samme måte som med de aritmetiske følgene, finne likheten mellom de tre følgene?

Forklaring

I hver av disse følgene kan du finne det neste leddet ved å multiplisere med et fast tall. I den øverste multipliserer vi med 2, i den midterste med 3 og i den nederste med $\frac{1}{2}$ .

En følge der man finner det neste tallet ved å multiplisere med et fast tall $k$ , kaller vi en geometrisk følge. I en geometrisk tallfølge kan vi alltid finne det neste leddet i tallfølgen ved å multiplisere med kvotienten, $k$ .

Den rekursive formelen for en geometrisk tallfølge blir

$a_{n} = a_{n - 1} \cdot k$

Som for de aritmetiske følgene kan vi finne en eksplisitt formel for $a_{n}$ . Vi systematiserer og finner det følgende mønsteret:

$\begin{array}{rcl} a_{1} & = & a_{1} \\ a_{2} & = & a_{1} \cdot k \\ a_{3} & = & a_{2} \cdot k = (a_{1} \cdot k) \cdot k = a_{1} \cdot k^{2} \\ a_{4} & = & a_{3} \cdot k = (a_{1} \cdot k^{2}) \cdot k = a_{1} \cdot k^{3} \\ ⋮ \\ a_{n} & = & a_{1} \cdot k^{n - 1} \end{array}$

I en geometrisk følge er ledd nummer $n$ gitt ved formelen

$a_{n} = a_{1} \cdot k^{n - 1}$

Regneeksempel

Om en geometrisk følge får du vite at $a_{5} = 1$ og $a_{7} = \frac{1}{4}$ . Vi skal finne en eksplisitt formel for ledd nummer $n$ i følgen.

Vi trenger $k$ og $a_{1}$ for å finne denne formelen. Vi starter med å finne $k$ :

$\begin{array}{rcl} a_{7} & = & a_{6} \cdot k \\ = & a_{5} \cdot k^{2} \\ \frac{1}{4} & = & 1 \cdot k^{2} \\ k & = & \pm \sqrt{\frac{1}{4}} \\ k & = & \pm \frac{1}{2} \end{array}$

Her ser vi at vi kan ha to ulike verdier for $k$ ut fra opplysningene. Vi bruker den negative muligheten for å finne $a_{1}$ :

$\begin{array}{rcl} a_{5} & = & a_{1} \cdot k \cdot k \cdot k \cdot k \\ a_{5} & = & a_{1} \cdot k^{4} \\ 1 & = & a_{1} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{4} \\ a_{1} & = & \frac{1}{\frac{1}{2^{4}}} \\ a_{1} & = & 2^{4} = 16 \end{array}$

Vi ser at $a_{1} = 16$ uansett hvilken av verdiene vi velger for $k$ (tenk gjennom hvorfor!). Vi får derfor en av de følgende formlene for $a_{n}$ :

$\begin{array}{rcl} a_{n} & = & 16 \cdot {(\frac{1}{2})}^{n - 1} \\ a_{n} & = & 16 \cdot {(- \frac{1}{2})}^{n - 1} \end{array}$

Film om aritmetiske og geometriske tallfølger

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0