Article

Grenseverdier til polynomer og rasjonale uttrykk

Vi skal se nærmere på tre situasjoner vi kan havne i når vi ser på grenseverdier for brøker.

Grenseverdier til polynomfunksjoner

En regel sier at grenseverdien til en polynomfunksjon $f (x)$ når $x$ går mot en bestemt verdi $a$ , kan vi finne ved å regne ut $f (a)$ .

$\lim_{x \to a} f (x) = f (a)$ når $f$ er en polynomfunksjon.

Eksempel

$\lim_{x \to 4} (x^{2} - 3 x + 3) = 4^{2} - 3 \cdot 4 + 3 = 7$

CAS-utregning i GeoGebra. På linje 1 er det skrevet Grenseverdi parentes x i andre minus 3 x pluss 3 komma, 4 parentes slutt. Svaret er 7. Skjermutklipp. — Eksempel på bruk av kommandoen «Grenseverdi» i CAS i GeoGebra. Image: Bjarne Skurdal / CC BY-NC-SA 4.0

Med CAS i GeoGebra kan vi bruke kommandoen «Grenseverdi()», som vist til høyre.

Grenseverdien til en rasjonal funksjon

Rasjonale funksjoner består av polynomfunksjoner i teller og nevner. Vi kan også her finne grenseverdier ved innsetting. Forutsetningen er at vi ikke får null i nevner.

Vi skiller mellom tre ulike situasjoner.

Tallet 1. Illustrasjon. — Image: Anne Seland Skailand / CC BY-NC-SA 4.0

1. Grenseverdi for en brøk der nevneren ikke går mot null

Eksempel

Vi ser på brøkene $\frac{x + 5}{x - 1}$ og $\frac{x - 3}{x - 1}$ når $x$ går mot 3. Her kan vi finne grenseverdiene direkte ved å sette inn 3 i stedet for $x$ og regne ut.

$\begin{array}{l} \lim_{x \to 3} \frac{x + 5}{x - 1} = \frac{3 + 5}{3 - 1} = \frac{8}{2} = 4 \\ \lim_{x \to 3} \frac{x - 3}{x - 1} = \frac{3 - 3}{3 - 1} = \frac{0}{2} = 0 \end{array}$

Tallet 2. Illustrasjon. — Image: Anne Seland Skailand / CC BY-NC-SA 4.0

2. Grenseverdi for en brøk der nevneren går mot null, men telleren ikke går mot null

Vi ser på brøken $\frac{2 x - 1}{x^{2} - 4}$ . Hva skjer med brøken når $x$ går mot 2?

Oppgave

Prøv å sette inn tall som er nære 2. Hva får du?

Løsningsforslag

$\begin{array}{l} \frac{2 \cdot 2, 001 - 1}{2, 001^{2} - 4} \approx 750 \\ \frac{2 \cdot 2, 000 001 - 1}{2, 000 001^{2} - 4} \approx 750 000 \\ \frac{2 \cdot 2, 00 000 001 - 1}{2, 00 000 001^{2} - 4} \approx 75 000 000 \end{array}$

Når $x$ går mot 2, vil telleren gå mot 3, mens nevneren blir mindre og mindre. Det betyr at verdien til brøken blir større og større. Utregningene ovenfor viser dette. Det viser seg at det ikke eksisterer noen grenseverdi. Verdien av brøken vokser over alle grenser.

Det betyr at $\lim_{x \to 2} \frac{2 x - 1}{x^{2} - 4}$ ikke eksisterer.

Hva får du hvis du prøver kommandoen «Grenseverdi» i CAS i GeoGebra på denne grenseverdien?

En brøk har ingen grenseverdi for $x = a$ hvis vi får null i nevner og et tall forskjellig fra null i teller når vi setter inn tallet $a$ . Da vil verdien av brøken gå mot enten pluss eller minus uendelig når $x$ nærmer seg $a$ .

Nedenfor viser vi hvordan vi kan regne en slik oppgave.

Eksempel

$\begin{array}{l} \lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 6}{x - 2} \\ 2^{2} - 6 = - 2 \\ 2 - 2 = 0 \\ \lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 6}{x - 2} eksisterer ikke \end{array}$

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er det skrevet Grenseverdi parentes parentes x i andre minus 6 parentes slutt delt på parentes x minus 2 parentes slutt komma, 2 parentes slutt. Svaret er et spørsmålstegn. Skjermutklipp. — Denne grenseverdien eksisterer ikke. Image: Bjarne Skurdal / CC BY-NC-SA 4.0

Med CAS i GeoGebra får vi et spørsmålstegn til svar. Tilsvarende som når det ikke eksisterer en løsning på en likning, betyr dette at grenseverdien ikke eksisterer.

Tallet 3. Illustrasjon. — Image: Anne Seland Skailand / CC BY-NC-SA 4.0

3. Grenseverdi for en brøk der både telleren og nevneren går mot null

En regel sier at hvis to funksjoner $f$ og $g$ er like for alle verdier i nærheten av $a$ , men ikke nødvendigvis for $x = a$ , så er

$\lim_{x \to a} f (x) = \lim_{x \to a} g (x)$

Vi ser på brøken $\frac{x^{2} - 16}{2 x - 8}$ . Når $x = 4$ , får vi null i både teller og nevner.

Dette betyr at vi kan faktorisere og forkorte, og vi får

$\lim_{x \to 4} \frac{x^{2} - 16}{2 x - 8} = \lim_{x \to 4} \frac{(x - 4) (x + 4)}{2 (x - 4)} = \lim_{x \to 4} \frac{(x + 4)}{2} = \frac{4 + 4}{2} = 4$

Her er $f (x) = \frac{x^{2} - 16}{2 x - 8}$ og $g (x) = \frac{(x + 4)}{2}$ .

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er det skrevet Grenseverdi parentes parentes x i andre minus 16 parentes slutt delt på parentes 2 x minus 8 parentes slutt komma, 4 parentes slutt. Svaret er 4. Skjermutklipp. — Image: Bjarne Skurdal / CC BY-NC-SA 4.0

Med CAS i Geogebra får vi samme svar.

Nedenfor viser vi hvordan en slik oppgave kan regnes for hånd.

Eksempel

$\begin{array}{l} \lim_{x \to 2} \frac{x^{2} + x - 6}{x - 2} \end{array}$

$\begin{array}{rcl} 2^{2} + 2 - 6 & = & 0 \\ 2 - 2 & = & 0 \end{array}$

$\lim_{x \to 2} \frac{x^{2} + x - 6}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2) (x + 3)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 3) = 2 + 3 = 5$

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er det skrevet Grenseverdi parentes parentes x i andre pluss x minus 6 parentes slutt delt på parentes x minus 2 parentes slutt komma, 2 parentes slutt. Svaret er 4. Skjermutklipp. — Grenseverdien er 5. Image: Bjarne Skurdal / CC BY-NC-SA 4.0

Med CAS i GeoGebra får vi samme svar.

Eksempel

$\begin{array}{l} \lim_{x \to 4} \frac{6 (\sqrt{x} - 2)}{3 x - 12} \\ 6 (\sqrt{4} - 2) = 0 \\ 3 \cdot 4 - 12 = 0 \\ \lim_{x \to 4} \frac{6 (\sqrt{x} - 2)}{3 x - 12} = \lim_{x \to 4} \frac{6 (\sqrt{x} - 2)}{3 (x - 4)} \\ = \lim_{x \to 4} \frac{\overset{2}{6} (\sqrt{x} - 2)}{3 (\sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 2)} = \lim_{x \to 4} \frac{2}{(\sqrt{x} + 2)} \\ = \frac{2}{(\sqrt{4} + 2)} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \end{array}$

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er det skrevet Grenseverdi parentes 6 multiplisert med parentes rot x minus 16 parentes slutt delt på parentes 3 x minus 12 parentes slutt komma, 4 parentes slutt. Svaret er en halv. Skjermutklipp. — Image: Bjarne Skurdal / CC BY-NC-SA 4.0

Med CAS i GeoGebra får vi samme svar.

Video: Tom Jarle Christiansen, Tom Jarle Christiansen, Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0