Task

Utforsking av grenseverdier

Hva er en grenseverdi? Vi bruker rekker og funksjoner til å utforske hva som skjer når vi nærmer oss en grenseverdi. Oppgavene inneholder deler med programmering.

En pizza som er delt opp i biter. Illustrasjon. — Image: Elisabet Romedal / CC BY-SA 4.0

2.1.1

Tenk deg at en venn har 4 runde pizzaer, og at du får halvparten av disse, det vil si 2 pizzaer. Vennen din fortsetter å gi deg av sine pizzaer, men hver gang du får pizza, så får du halvparten så mye som du fikk sist. Aller først får du altså 2 pizzaer. Halvparten av 2 er 1, så du får deretter 1 pizza. Nå har du til sammen 3 hele pizzaer. Deretter får du en halv pizza, og da har du 3 og en halv pizza til sammen. Så får du en kvart pizza, deretter får du en åttendedels pizza, og slik fortsetter det. Hvordan kan vi uttrykke dette matematisk? Hvordan vil dette ende?

Utforskende oppgave

Bruk ulike strategier for å finne hva summen av tallene 2, 1, 1/2, 1/4, 1/8 og så videre må være. Tallene fortsetter i det samme mønsteret i det uendelige.

Under vil du finne noen spørsmål som kan hjelpe deg til å utvikle det matematiske språket ditt. Du vil også få noen strategier som du kan bruke i den utforskende oppgaven over.

a) Startverdien er 2. Det neste leddet er alltid halvparten av det forrige leddet. Hva blir de 6 første leddene i rekka?

Løsning

$\begin{matrix} 2 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} \end{matrix}$

b) Hvordan kan vi uttrykke summen av de 10 første leddene ved hjelp av potenser med 2 som grunntall?

Løsning

$\begin{array}{rcl} = & 2 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64} + \frac{1}{128} + \frac{1}{256} \\ = & 2^{1} + 2^{0} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + \frac{1}{2^{4}} + \frac{1}{2^{5}} + \frac{1}{2^{6}} + \frac{1}{2^{7}} + \frac{1}{2^{8}} \\ = & 2^{1} + 2^{0} + 2^{- 1} + 2^{- 2} + 2^{- 3} + 2^{- 4} + 2^{- 5} + 2^{- 6} + 2^{- 7} + 2^{- 8} \end{array}$

c) Bruk n som nummeret på leddet i rekka. Da vil $n = 3$ være $\frac{1}{2}$ . Hvordan kan vi uttrykke et ledd ved hjelp av $n$ ?

Løsning

$\frac{1}{2^{n - 2}}$

d) Hva blir summen av de 6 første leddene?

Løsning

$\begin{array}{rcl} 2 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} \\ = & \frac{2 \cdot 64}{64} + \frac{1 \cdot 64}{64} + \frac{1 \cdot 32}{2 \cdot 32} + \frac{1 \cdot 16}{4 \cdot 16} + \frac{1 \cdot 8}{8 \cdot 8} + \frac{1 \cdot 4}{16 \cdot 4} \\ = & \frac{128}{64} + \frac{64}{64} + \frac{32}{64} + \frac{16}{64} + \frac{8}{64} + \frac{4}{64} \\ = & \frac{252}{64} \\ \approx & 3, 9375 \end{array}$

e) Regn ut summen av de sju første leddene. Deretter summerer du de åtte første, så de ni første og til sist de ti første leddene. Hva blir de ulike summene?

Løsning

7 ledd: $\frac{252}{64} + \frac{1 \cdot 2}{32 \cdot 2} = \frac{252}{64} + \frac{2}{64} \begin{matrix} \end{matrix} = \frac{254}{64} \approx 3, 9688$

8 ledd: $\frac{254}{64} + \frac{1}{64} = \frac{255}{64} \approx 3, 9844$

9 ledd: $\frac{255}{64} + \frac{1}{128} = \frac{510}{128} + \frac{1}{128} = \frac{511}{128} \approx 3, 9922$

10 ledd: $\frac{511}{128} + \frac{1}{256} = \frac{1022}{256} + \frac{1}{256} = \frac{1023}{256} \approx 3, 9961$

f) Hva kan vi si foreløpig om summen av rekka?

Løsning

Hvert nye ledd er mye mindre enn det forrige leddet, og etter hvert blir de nye leddene mikroskopiske. Det ser ut som om summen av leddene nærmer seg 4.

g) Lag en algoritme som gir oss de 10 første leddene i rekka og deretter gir oss summen av de 10 første leddene.

Løsning

Det første leddet legges inn som startverdi.
Programmet beregner neste ledd ved at det første leddet multipliseres med 1/2.
Programmet lager ei løkke som gjentar linja over 8 ganger.
Leddene summeres, og 4 desimaler tas med.
Programmet skriver ut de 10 første leddene.
Programmet skriver ut summen av de 10 første leddene.

h) Lag et program som gir oss summen av de 10 første leddene i rekka.

Løsningsforslag 1

Rekke med 10 ledd

1rekke=[2]             #skriver det første leddet i rekka
2    
3for i in range (1,10):           #lager ei løkke for de 9 neste leddene
4    rekke.append(2*(1/2)**i)  #beregner neste ledd
5    
6sum  = 0                        
7for ledd in list(rekke):        #lager ei løkke
8    sum = round(sum + ledd,4)  #summerer de 10 første leddene og runder av til 4 desimaler
9    
10print("Rekka med 10 ledd er:", rekke)  #skriver ut de 10 første leddene
11print("Summen av rekka er:",sum)  #skriver ut summen av de 10 første leddene

Løsningsforslag 2

Rekke med 10 ledd

1startverdi=2     #definerer variabelen startverdi
2antall=10        #definerer variabelen antall
3rekke=[]         #definerer variabelen rekke
4sum=0            #definerer variabelen sum
5
6for i in range (0,antall, 1):        #regner ut de 10 første leddene i rekka
7    rekke.append(startverdi**(1-i))
8    sum=sum+rekke[i]                 
9    
10sum=round(sum,4)                    #summerer leddene som er regnet ut over og runder av                                                                                           #til 4 desimaler
11
12print('De 10 første leddene i rekka:',rekke)   #skriver ut de 10 første leddene
13print('Summen av rekka er:',str(sum))          #skriver ut summen av de 10 første leddene

i) Sammenlign svarene du fikk i e) og g).

Løsning

Vi ser at både koden og vår egen utregning viser at summen av leddene går mot 4.

j) Hva skjer med summen av rekka hvis vi summerer de 15 første leddene og bruker én desimal i summen? Gjør om på koden.

Løsningsforslag 1

Vi ser at summen fortsatt nærmer seg 4 med 15 ledd. Siden vi bare bruker én desimal i summen, blir svaret vi får 4, men dette skyldes bare avrunding. Rekka vil aldri blir nøyaktig 4, men hele tida komme nærmere.

Rekke med 15 ledd

1rekke=[2]             #skriver det første leddet i rekka
2    
3for i in range (1,15):           #lager ei løkke for de 14 neste leddene
4    rekke.append(2*(1/2)**i)     #beregner neste ledd
5   
6sum  = 0       
7                 
8for ledd in list(rekke):            #lager ei løkke
9    sum = round(sum + ledd,1)       #summerer leddene og avrunder til 1 desimal
10
11print("Rekka med 15 ledd er:",rekke)   #skriver ut de 15 første leddene
12print("Summen av rekka er:",sum)      #skriver ut summen av de 15 første leddene

Løsningsforslag 2

Rekke med 15 ledd

1startverdi=2        #definerer variabelen startverdi
2antall=15           #definerer variabelen antall
3rekke=[]            #definerer variabelen rekke
4sum=0               #definerer variabelen sum
5
6for i in range (0,antall, 1):           #lager ei løkke
7    rekke.append(startverdi**(1-i))     #regner ut de 10 første leddene i rekka
8    sum=sum+rekke[i]
9    
10sum=round(sum,1)                      #runder av til 1 desimal
11
12print('De 10 første leddene i rekka:',rekke)   #skriver ut de 10 første leddene
13print('Summen av rekka er:',str(sum))          #skriver ut summen av de 10 første leddene

k) Hva blir konklusjonen på den utforskende oppgaven? Vi har prøvd å regne på det ved hjelp av ulike strategier. Hva skjer hvis vi gjør den som en praktisk oppgave og prøver å legge sammen alle pizzadelene? Kommer vi fram til det samme svaret?

2.1.2

Gitt funksjonen

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

a) Hva er definisjonsområdet til $f (x)$ ? Hva betyr det for funksjonen?

Løsning

$D_{f} = ℝ \ \{1\}$

Funksjonen er ikke definert for $x = 1$ .

b) Hva skjer med $f (x)$ hvis $x$ får verdien 1?

Løsning

$\begin{array}{rcl} f (x) & = & \frac{x^{2} - 1}{x - 1} \\ f (1) & = & \frac{1^{2} - 1}{1 - 1} \\ = & \frac{0}{0} \end{array}$

$\frac{0}{0}$ er ikke definert.

c) Siden $f (x)$ for $x = 1$ er udefinert, vil vi prøve å regne ut verdiene i nærheten av $x = 1$ . Bruk tabellen til å regne ut noen funksjonsverdier nær $x = 1$ .

$\begin{matrix} x & 0, 8 & 0, 9 & 0, 99 & 0, 999 & 1, 001 & 1, 01 & 1, 1 & 1, 2 \\ f (x) \end{matrix}$

Løsning

$\begin{matrix} x & 0, 8 & 0, 9 & 0, 99 & 0, 999 & 1, 001 & 1, 01 & 1, 1 & 1, 2 \\ f (x) & 1, 8 & 1, 9 & 1, 99 & 1, 999 & 2, 001 & 2, 01 & 2, 1 & 2, 2 \end{matrix}$

d) Hva kan man si om $f (x)$ når $x$ nærmer seg 1 ut ifra verdiene i tabellen over?

Løsning

Når vi studerer verdiene vi har regnet ut i tabellen, ser det ut som om $f (x)$ nærmer seg verdien 2 når $x$ nærmer seg 1. Dette gjelder fra begge sider, det vil si både når vi nærmer oss x=1 for verdier lavere enn 1 og for verdier høyere enn 1:

$\begin{matrix} x : & \overset{0, 999}{\to} & 1 & \overset{1, 001}{\leftarrow} \\ f (x) : & \overset{1, 999}{\to} & 2 & \overset{2, 001}{\leftarrow} \end{matrix}$

e) Hvordan kan vi, med matematisk språk, beskrive hva som skjer med $f (x)$ når $x$ nærmer seg 1?

Løsning

$\lim_{x \to 1} f (x) = \lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

f) Prøv å finne grenseverdien ved hjelp av algebra. Start med å faktorisere telleren.

Løsning

Vi bruker tredje kvadratsetning (konjugatsetningen) baklengs: $(a + b) \cdot (a - b) = a^{2} - b^{2} .$

$x^{2} - 1 = (x + 1) (x - 1)$

g) Finn grenseverdiene til $f (x)$ med den faktoriserte telleren.

Løsning

$\begin{array}{rcl} \lim_{x \to 1} f (x) & = & \lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{x - 1} \\ = & \lim_{x \to 1} \frac{(x + 1) \cdot (x - 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x + 1)}{1} \\ = & \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2 \end{array}$

h) Tegn grafen til $f (x)$ .

Løsning

Grafen til funksjonen f av x er lik parentes x i andre minus 1 parentes slutt delt på parentes x minus 1 parentes slutt er tegnet for x-verdier mellom minus 2 og 5. Grafen er ei rett linje, men for x er lik 1 er det et brudd i linja. Det er markert med to blå piler mot hverandre. Illustrasjon. — Image: Viveca Thindberg / CC BY-NC 4.0

2.1.3

Gitt funksjonen

$f (x) = \frac{x^{2} - 4}{x - 2}$

Funksjonen er ikke definert for x=2, for da blir nevneren lik null. Det er likevel aktuelt å spørre seg hva som skjer med verdiene til funksjonen når x-verdiene nærmer seg 2.

$\begin{matrix} x & 1, 99000 & 1, 99990 & 1, 99999 & 2 & 2, 00001 & 2, 00010 & 2, 01000 \\ f (x) & 3, 99000 & 3, 99900 & 3, 99999 & - & 4, 00001 & 4, 00010 & 4, 01000 \end{matrix}$

Prøv å lage et program som regner ut noen funksjonsverdier for $x$ nær 2. Pass på å få med verdier som er større enn 2 og mindre enn 2.

a) Skriv algoritmen til programmet.

Løsning

Algoritmen til den egendefinerte funksjonen $f$ :

Programmet starter med en startverdi som er 2.
Programmet definerer en differanse som er 0,1.
Programmet regner ut følgende: $f (x) = \frac{x^{2} - 4}{x - 2} .$
Programmet subtraherer differansen fra $x$ -startverdien og putter verdien den får inn i $f (x)$ .
I neste runde gjør programmet det samme, men nå blir differansen addert til startverdien.
Programmet avrunder $x$ -verdi og funksjonsverdien og viser dette i en oversikt med likhetstegn mellom.

b) Skriv koden til programmet.

Løsningsforslag

Regne ut funksjonsverdi nær 2

1def f(x):
2    return ((x**2-4)/(x-2))  #definerer funksjonen
3
4startX=2      #definerer en startverdi
5
6diff=0.1     #definerer differansen
7for i in range (1,6,1):    #for-løkke som gjentas 5 ganger
8    xVerdi=startX-diff
9    fVerdi=round(f(xVerdi),5)
10    print('f('+str(xVerdi)+')='+str(fVerdi))  #viser x-verdi og funksjonsverdi
11    diff=diff/10
12    
13diff=0.1
14for i in range(1,6,1):    #for-løkke som gjentas 5 ganger
15    xVerdi=startX+diff
16    fVerdi=round(f(xVerdi),5)
17    print('f('+str(xVerdi)+')='+str(fVerdi))   #viser x-verdi og funksjonsverdi
18    diff=diff/10

2.1.1

Utforskende oppgave

2.1.2

2.1.3

Rules for use of text "Utforsking av grenseverdier"