Logaritmesetningene. Forenkling av logaritmeuttrykk

Utledning av første logaritmesetning

Definisjonen av logaritmer gir at $a={10}^{\lg a}, b={10}^{\lg b} \mathrm{og} a·b={10}^{\lg \left(a·b\right)}$.

Reglene for potensregning gir videre at $a·b={10}^{\lg a}·{10}^{\lg b}={10}^{\lg a+\lg b}$.

Vi har da to uttrykk for $a·b$, og disse uttrykkene må være like.

${10}^{\lg \left(a·b\right)}={10}^{\lg a+\lg b}$

To like potenser med samme grunntall må ha like eksponenter.

Det betyr at $\lg \left(a·b\right)=\lg a+\lg b$.

Utledning av andre logaritmesetning

Definisjonen på logaritmer gir at $a={10}^{\lg a}, b={10}^{\lg b} \mathrm{og} \frac{a}{b}={10}^{\lg \left(\frac{a}{b}\right)}$.

Reglene for potensregning gir videre at $\frac{a}{b}=\frac{{10}^{\lg a}}{{10}^{\lg b}}={10}^{\lg a-\lg b}$.

Vi har da to uttrykk for $\frac{a}{b}$, og disse uttrykkene må være like.

${10}^{\lg \left(\frac{a}{b}\right)}={10}^{\lg a-\lg b}$

To like potenser med samme grunntall må ha like eksponenter.

Det betyr at $\lg \left(\frac{a}{b}\right)=\lg a-\lg b$ .

Utledning av tredje logaritmesetning

Definisjonen på logaritmer gir oss to skrivemåter for $a^x$

$a^x={10}^{\lg a^x} \mathrm{og} a^x={\left({10}^{\lg a}\right)}^x$

Reglene for potensregning gir videre at

${\left({10}^{\lg a}\right)}^x={10}^{\left(\lg a\right)·x}={10}^{x·\lg a}$

Vi har da to uttrykk for $a^x$ , og disse to uttrykkene må være like.

${10}^{\lg a^x}={10}^{x·\lg a}$

To like potenser med samme grunntall må ha like eksponenter.

Det betyr at $\lg a^x=x·\lg a$ .

Vi viser bare hvordan vi forenkler uttrykk med briggske logaritmer, men regningen blir den samme om lg er erstattet med ln.

Eksempel 1

Vi ønsker å skrive uttrykket

$$ \lg x+\lg x^2$$

så enkelt som mulig. Siden logaritmer bare er definert for positive tall, må vi her forutsette at $x$ er større enn null selv om $$ x$$ kan være negativ i uttrykket $$ \lg x^2$$.

Vi kan skrive om uttrykket $$ \lg x^2$$ ved hjelp av logaritmesetningen $$ \lg a^x=x\lg a$$. Da får vi

$$ \lg x+\lg x^2=\lg x+2\lg x=3\lg x$$

Eksempel 2

Vi ønsker å skrive uttrykket

$\lg 4x+4\lg \frac{2}{x}-\lg x^3+2\lg \sqrt{x}$

så enkelt som mulig. Siden logaritmer bare er definert for positive tall, må vi her forutsette at $x$ er større enn null.

$$ \begin{array}{rcl}\lg 4x+4\lg \left(\frac{2}{x}\right)& - & \lg x^3+2\lg \sqrt{x}\\ & & \\ & =& \lg 4+\lg x+4\left(\lg 2-\lg x\right)-3\lg x+2\lg x^{\frac{1}{2}}\\ & & \\ & =& \lg 2^2+\lg x+4\lg 2-4\lg x-3\lg x+2\lg x^{\frac{1}{2}}\\ & & \\ & =& 2\lg 2+\lg x+4\lg 2-4\lg x-3\lg x+\lg x\\ & & \\ & =& 6\lg 2-5\lg x\end{array}$$

Her har vi altså brukt at $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$, og vi har trukket sammen ledd med $\lg 2$ og ledd med $\lg x$ .