Logaritmesetningene. Forenkling av logaritmeuttrykk

a) $$ \lg 3a+\lg \frac{a}{3}=\lg 3+\lg a+\lg a-\lg 3=2\lg a$$

b)

$$ \begin{array}{rcl}& & \lg 3a+\lg \frac{a}{3}-3\lg \sqrt[3]{a}\\ & = & \lg 3+\lg a+\lg a-\lg 3-3\lg a^{\frac{1}{3}}\\ & = & \lg 3+\lg a+\lg a-\lg 3-3\left(\frac{1}{3}\lg a\right)\\ & = & \lg 3+2\lg a-\lg 3-\lg a=\lg a\end{array}$$

c)

$$ \begin{array}{rcl}& & \ln 8b-\ln 4b-\ln 2+\ln b\\ & =& \ln 8+\ln b-(\ln 4+\ln b)-\ln 2+\ln b\\ & =& \ln 2^3+\ln b-\ln 2^2-\ln b-\ln 2+\ln b\\ & =& 3\ln 2+\ln b-2\ln 2-\ln b-\ln 2+\ln b\\ & =& \ln b\end{array}$$

d)

$$ \begin{array}{rcl}& & \lg \frac{a^3}{b}\\ & =& \lg a^3-\lg b\\ & =& 3\lg a-\lg b\end{array}$$

e)

$$ \begin{array}{rcl}& & \lg (a^3·b^4)+\lg \frac{a^2}{b^3}-\lg b\\ & =& \lg a^3+\lg b^4+\lg a^2-\lg b^3-\lg b\\ & =& 3\lg a+4\lg b+2\lg a-3\lg b-\lg b\\ & =& 5\lg a\\ & & \end{array}$$

f)

$$ \begin{array}{rcl}& & \ln 2x-\ln \frac{2}{x}\\ & =& \ln 2+\ln x-(\ln 2-\ln x)\\ & =& \ln 2+\ln x-\ln 2+\ln x\\ & =& 2\ln x\end{array}$$

g)

$$ \begin{array}{rcl}& & \lg (x^2·\sqrt[3]{x^2})+\lg \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\\ & =& \lg x^2+\lg \sqrt[3]{x^2}+\lg 1-\lg \sqrt[3]{x}\\ & =& 2\lg x+\lg x^{\frac{2}{3}}+\lg 1-\lg x^{\frac{1}{3}}\\ & =& 2\lg x+\frac{2}{3}\lg x+\lg 1-\frac{1}{3}\lg x\\ & =& \frac{7}{3}\lg x+0\\ & =& \frac{7}{3}\lg x\end{array}$$

Logaritmen til et produkt er lik summen av logaritmen til hver av faktorene.

Logaritmen til en brøk er lik differansen mellom logaritmen til telleren og logaritmen til nevneren.

Logaritmen til en potens er lik produktet av eksponenten og logaritmen til grunntallet.

Ut ifra definisjonen av logaritmer gjelder følgende:

$$ a={10}^{\lg a} , \mathrm{b}={10}^{\lg b} \mathrm{og} \mathrm{a}·\mathrm{b}={10}^{\lg (a·b)}$$$$ $$

Derfra følger

$$ {10}^{\lg a}·{10}^{\lg b}={10}^{\lg (a·b)}$$

Potensreglene sier at vi adderer eksponentene når to potenser med det samme grunntallet multipliseres. Det gir

$$ {10}^{\lg a+\lg b}={10}^{\lg (a·b)}$$

Når grunntallene i likningen er like, må eksponentene også være like. Derfor

$$ \lg a+\lg b=\lg (a·b)$$

Vi bygger på definisjonen til potenser $$ x^2=(x{)}^2$$:

$$ {10}^{\lg x^2}=({10}^{\lg x}{)}^2$$

Reglene for potensregning sier at vi multipliserer eksponentene innenfor og utenfor parentesen til en potens:

$$ \mathrm{(}{10}^{\lg x}{)}^2={10}^{\lg x·2}={10}^{2·\lg x}$$

$$ {10}^{\lg x^2}={10}^{2·\lg x}$$

I en likhet hvor grunntallene på begge sider er like, må eksponentene være like hverandre. Derav følger

$$ \lg x^2=2\lg x$$

$$\begin{gathered} \lg \sqrt[3]{a}=\lg a^{\frac{1}{3}} \\ \end{gathered}$$

$$ {10}^{\lg a}=({10}^{3·\lg a}{)}^{\frac{1}{3}}$$

Reglene for potensregning sier at vi multipliserer eksponentene innenfor og utenfor parentesen til en potens:

$$ {10}^{\lg a}={10}^{3·\lg a·\frac{1}{3}}={10}^{3·\frac{1}{3}·\lg a}$$

$$ {10}^{\lg a}={10}^{\lg a}$$

$$ \begin{array}{lcl}& & 4(1+\ln x+\ln x)\\ & =& 4(1+2\ln x)\\ & =& 4+8\ln x \mathrm{eller}\\ & =& 4+\ln x^8\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}& & \lg 5+\lg 6-\lg 2\\ & =& \lg (5·6)-\lg 2\\ & =& \lg 30-\lg 2\\ & =& \lg \left(\frac{30}{2}\right)\\ & =& \lg 15\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}& & \frac{1}{3}(\lg a+2\lg b)\\ & =& \frac{1}{3}(\lg a+\lg b^2)\\ & =& \frac{1}{3}\lg (a·b^2)\\ & =& \lg (a·b^2{)}^{\frac{1}{3}}\\ & =& \lg \sqrt[3]{a{b}^2}\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}& & \ln (x+4)-3\ln x-\ln y\\ & =& \ln (x+4)-\ln x^3-\ln y\\ & =& \ln (x+4)-(\ln x^3+\ln y)\\ & =& \ln (x+4)-\ln (x^3·y)\\ & =& \ln \left(\frac{x+4}{x^{3}y}\right)\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}& & \lg 8x^2-2\lg 2x\\ & =& \lg 8+\lg x^2-2(\lg 2+\lg x)\\ & =& \lg 2^3+2\lg x-2\lg 2-2\lg x\\ & =& 3\lg 2-2\lg 2\\ & =& \lg 2\end{array}$$

$$ $ \begin{array}{rcl}& & \begin{array}{rcl}& & \ln 6+2\ln 2\\ & =& \ln 6+\ln 2^2\\ & =& \ln 6+\ln 4\\ & =& \ln \left(6·4\right)\end{array}\\ & & \begin{array}{rc}& =\end{array} \ln 24\end{array}$$$

$$ \begin{array}{rcl}& & \begin{array}{rcl}& & \ln x+\ln 8x-\ln 2x\\ & =& \ln \left(x·8x\right)-\ln 2x\\ & =& \ln \left(\frac{8x^2}{2x}\right)\end{array}\\ & & \begin{array}{rc}& =\end{array} \ln 4x\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}& & \begin{array}{rcl}& & 2\lg 6-\lg 9+\frac{1}{3}\lg 27\\ & =& \lg 6^2-\lg 9+\lg {27}^{\frac{1}{3}}\\ & =& \lg 36-\lg 9+\lg 3\\ & =& \lg \left(36·3\right)-\lg 9\\ & =& \lg \left(\frac{36·3}{9}\right)\end{array}\\ & & \begin{array}{rc}& =\end{array} \lg 12\end{array}$$

$$ $ \begin{array}{rcl}& & \ln x+2\ln \sqrt{x}-\ln x^2\\ & =& \ln x+2\ln x^{\frac{1}{2}}-2\ln x\\ & =& \ln x+\frac{1}{2}·2\ln x-2\ln x\\ & =& \ln x+\ln x-2\ln x\\ & =& 0\end{array}$$$

$$ \begin{array}{rcl}& & \begin{array}{rcl}& & \lg 24\\ & =& \lg \left(8·3\right)\\ & =& \lg 8+\lg 3\\ & =& \lg 2^3+\lg 3\end{array}\\ & & \begin{array}{rc}& =\end{array} 3\lg 2+\lg 3\\ & & \begin{array}{rc}& =\end{array} 3a+b\end{array}$$

$$ $ \begin{array}{rcl}& & \lg 72\\ & =& \lg \left(8·9\right)\\ & =& \lg 8+\lg 9\\ & =& \lg 2^3+\lg 3^2\\ & =& 3\lg 2+2\lg 3\\ & =& 3a+2b\end{array}$$$

$$ \begin{array}{rcl}& & \lg \frac{9}{8}\\ & =& \lg 9-\lg 8\\ & =& \lg 3^2-\lg 2^3\\ & =& 2\lg 3-3\lg 2\\ & =& 2b-3a\end{array}$$

$$ \begin{array}{rcl}& & \begin{array}{rcl}& & \lg \frac{64}{81}\\ & =& \lg \frac{8^2}{3^4}\\ & =& \lg 8^2-\lg 3^4\\ & =& 2\lg 8-4\lg 3\\ & =& 2\lg 2^3-4\lg 3\end{array}\\ & & \begin{array}{rc}& =\end{array} 3·2\lg 2-4\lg 3\\ & & \begin{array}{rc}& =\end{array} 6\lg 2-4\lg 3\\ & & \begin{array}{rc}& =\end{array} 6a-4b\end{array}$$

Første feil:

$$\begin{gathered} \begin{array}{l} \ln 8x^2-\ln \frac{4}{x}+\ln \frac{2}{x^3}\\ =\boxed{2\ln 8x}-\ln 4-\ln x+\ln 2-\ln x^3\end{array} \\ \end{gathered}$$

Eksponenten 2 hører kun til $$ x$$ og ikke til hele leddet. Det er forskjell på $$ 8x^2$$ og $$ {\left(8x\right)}^2$$.

Andre feil:

$$\begin{gathered} \begin{array}{l} \ln 8x^2-\ln \frac{4}{x}+\ln \frac{2}{x^3}\\ =2\ln 8x\boxed{-\ln 4-\ln x}+\ln 2-\ln x^3\end{array} \\ \end{gathered}$$

Det må settes parentes rundt uttrykket slik at $$ -\ln \frac{4}{x}$$ blir $$ -\left(\ln 4-\ln x\right)$$. Slik vil det siste leddet i parentesen, $$ -\ln x$$, bli positivt når vi løser opp parentesen.

Nytt løsningsforslag:

$$ \begin{array}{rcl}& & \ln 8x^2-\ln \frac{4}{x}+\ln \frac{2}{x^3}\\ & =& \ln 8+\ln x^2-\left(\ln 4-\ln x\right)+\ln 2-\ln x^3\\ & =& \ln 2^3+2\ln x-\left(\ln 2^2-\ln x\right)+\ln 2-3\ln x\\ & =& 3\ln 2+2\ln x-\left(2\ln 2-\ln x\right)+\ln 2-3\ln x\\ & =& 3\ln 2+2\ln x-2\ln 2+\ln x+\ln 2-3\ln x\\ & =& 2\ln 2\end{array}$$