Article

Modellering med prosentvis vekst

Eksponentiell vekst og prosentvis vekst er det samme. Prosentvis vekst over flere perioder gir oss eksponentialfunksjoner.

Eksempel med kjent prosent

Kvinne som kaster mange pengesedler opp i lufta. Foto. — Image: Shutterstock, NTB / CC BY-NC 4.0

Du arver 50 000 kroner av en onkel. I en bank får du 5,5 prosent rente per år hvis du setter pengene i et aksjefond. Vi skal studere dette eksempelet i detalj ved hjelp av noen spørsmål.

Hvor mye har du innestående etter 6 år dersom du ikke rører pengene?

Løsning

Vanligvis vil renta endre seg noe i løpet av 6 år, men her regner vi med at renta er lik alle de 6 årene. Det innestående beløpet øker da med 5,5 prosent for hvert år. Da er det lurt å bruke vekstfaktoren, for da multipliserer vi bare arven med vekstfaktoren 6 ganger, som er det samme som å multiplisere med vekstfaktoren opphøyd i 6.

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er det skrevet 1 pluss 5,5 delt på 100. Svaret med tilnærming er 1,055. På linje 2 er det skrevet 50000 k r multiplisert med dollartegn 1 opphøyd i 6. Svaret med tilnærming er 68942,14 k r. Skjermutklipp. — Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Innestående beløp blir 68 942 kroner.

Hvor mye har du innestående dersom du lar pengene stå urørt i $x$ år?

Løsning

Innestående beløp, $B$ , er en funksjon av antall år $x$ beløpet står inne i banken, og funksjonsuttrykket blir

$B (x) = 50 000 \cdot 1, 055^{x}$

Funksjonen kalles en eksponentialfunksjon siden variabelen $x$ opptrer som eksponent i en potens.

Tegn grafen til funksjonen $B$ , og finn grafisk og ved regning hvor lang tid det tar før pengene har vokst til 75 000 kroner.

Grafisk løsning

Vi skriver inn funksjonsuttrykket i algebrafeltet, og for å få riktig navn på funksjonen, skriver vi B(x)=50000·1.055^x. Så skriver vi inn y=75000 for å få den vannrette linja. Vi finner skjæringspunktet mellom linja og grafen med verktøyet "Skjæring mellom to objekt".

Grafen til funksjonen B av x er lik 50000 multiplisert med 1,055 opphøyd i x er tegnet for x-verdier mellom 0 og 18. Den rette linja y er lik 75000 er også tegnet. Skjæringspunktet mellom grafen til B og linja er markert og har koordinatene 7,573 og 75000. Illustrasjon. — Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Fra $y$ -koordinaten til skjæringspunktet får vi at det tar cirka 7,5 år før pengene har vokst til 75 000 kroner.

Løsning ved regning

Matematisk betyr oppgaven at vi ønsker å finne ut når funksjonen $B$ har verdien 75 000. Dette gir oss likningen

$B (x) = 75 000$

Denne løser vi direkte i CAS. Siden vi har kalt funksjonen $B (x)$ i GeoGebra, kan vi referere direkte til den i CAS-feltet.

CAS-utregning med GeoGebra. På linje 1 er det skrevet B av x er lik 75000. Svaret med "Løs" er x er lik et stort og komplisert uttrykk som vi forenkler på neste linje. På linje 2 er det skrevet dollartegn 1. Svaret med tilnærming er x er lik 7,573. Skjermutklipp. — Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Vi får det samme svaret som ved grafisk løsning.

Siden $B (x)$ er en eksponentialfunksjon, kalles likningen vi løser for en eksponentiallikning.

Eksempel med ukjent prosent

Som vi skrev i det forrige eksempelet, vil renta ved sparing i aksjefond endre seg med ujevne mellomrom. Nå tenker vi oss at det har gått 10 år. Pengene har stått urørt hele tida. Du husker ikke nøyaktig hvor mye du satte inn, men du finner 3 gamle årsoppgaver som forteller hvor mye du hadde etter 2 år, etter 6 år og etter 7 år. Du vet dessuten at nå etter 10 år har du 87 432 kroner innestående. Det betyr at du har følgende opplysninger:

År siden sparingen startet	Sum innestående (kr)
2	55 567
6	72 679
7	77 302
10	87 432

Du ønsker å si noe om hvordan renta har vært i gjennomsnitt disse 10 årene. Du ønsker også å finne ut omtrent hvor mye du satte inn da du startet sparingen.

Hvordan går vi fram for å finne svaret på disse spørsmålene?

Løsning

Siden pengene vokser eksponentielt, kan vi prøve å finne en eksponentialfunksjon som passer best mulig med tallene i tabellen over. Dette gjør vi med regresjon, og vi bruker et verktøy som GeoGebra.

Vi sier at den eksponentialfunksjonen vi kommer fram til, er en modell for sparingen.

Forklar gangen i framgangsmåten når vi skal finne den eksponentialfunksjonen som passer best.

Forklaring

Vi skriver tallene i tabellen inn i regnearkdelen i GeoGebra.
Vi markerer tallene.
Så åpner vi regresjonsanalyseverktøyet og velger regresjonsmodellen "Eksponentiell". Da lager GeoGebra den eksponentialfunksjonen som passer best med tallene.
Vi velger "Kopier til grafikkfeltet" for å få eksponentialfunksjonen over i grafikkfeltet i GeoGebra (og i algebrafeltet).

Dersom vi gjør som beskrevet over, får vi funksjonen

$B (x) = 50 487, 672 \cdot 1, 059^{x}$

Regresjonsanalyseverktøyet

Regresjonsanalyse av tallene i eksempelet. Til venstre vises et utsnitt av regnearkdelen i GeoGebra der cellene A 2 til A 5 inneholder tallene 2, 5, 7 og 10, mens cellene B 2 til B 5 inneholder summene oppgitt i oppgaven. Til høyre vises regresjonsanalyseverktøyet. Det er valgt eksponentiell regresjonsmodell, og funksjonen som passer best med tallene, er y er lik 50457,6717 multiplisert med 1,0591 opphøyd i x. Skjermutklipp. — Eksponentialregresjon av tallene i eksempelet. Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Grafikkfeltet i GeoGebra vil nå vise grafen til eksponentialfunksjonen og punktene fra tabellen tilsvarende som på bildet nedenfor. Grafen passer ganske bra med punktene.

Grafen til funksjonen B av x er lik 50487,672 multiplisert med 1,059 opphøyd i x er tegnet for x-verdier mellom 0 og 12. I tillegg er punktene som funksjonen er basert på, tegnet inn. Grafen passer relativt bra med punktene. Illustrasjon. — Image: Bjarne Skurdal / CC BY-SA 4.0

Nå går vi tilbake til spørsmålene vi stilte i starten av eksempelet.

Foreslå måter som kan brukes for å finne ut hvor mye du satte inn på sparing i aksjefond for 10 år siden. Finn beløpet.

Løsning

Funksjonen $B (x)$ gir oss svaret. Når sparingen starter, er $x = 0$ . Det betyr at vi må finne $B (0)$ . Det kan vi gjøre grafisk og med CAS, men her er det enkelt å finne svaret for hånd siden vi skal sette inn tallet 0 i funksjonen.

$B (0) = 50 487, 672 \cdot 1, 059^{0} = 50 488$

Etter modellen satte du inn 50 488 kroner da du startet sparingen.

Hva har renta vært i gjennomsnitt disse årene?

Tips til oppgaven

Stikkordet her er vekstfaktor.

Løsning

Vi leser av vekstfaktoren som grunntallet 1,059 i potensen i eksponentialfunksjonen. Det betyr at den gjennomsnittlige årlige veksten, det vil si renta, har vært på 5,9 prosent.

Vi kan vise dette ved å sette opp uttrykket for vekstfaktoren, som gir likningen

$1 + \frac{x}{100} = 1, 059$

Likningen løser vi ved regning for hånd eller med CAS. Nedenfor har vi løst likningen med CAS.

Eksempel med kjent prosent

Eksempel med ukjent prosent

Rules for use of text "Modellering med prosentvis vekst"