Identiteter, likninger og uttrykk

Her har vi en identitet – vi ser at dette er et eksempel på konjugatsetningen. Uansett hvilken verdi vi setter inn for x, er høyre side lik venstre side.

Dette er ikke en identitet, for likhetstegnet gjelder bare for$$ x=\pm 4$$.

Dette er en identitet. Hvis vi opphøyer 4a i 2, får vi $$ 16a^2$$ uavhengig av verdien til a.

Dette er en identitet, det følger av potensregnereglene.

Dette er ikke en identitet siden likheten bare vil være oppfylt av spesifikke par av tall. For eksempel er likheten oppfylt hvis $$ x=1$$ og $$ y=8$$.

Dette er ikke en identitet, for $$ 2^3= 8$$.

Linje 1 gir at vi har en identitet.

Linje 1 gir at vi ikke har en identitet, så vi sjekker i linje 2 om vi har reelle løsninger. Vi har altså en likning med én løsning. Uttrykkene er bare lik hverandre når $$ x=2$$.

Linje 1 gir at vi ikke har en identitet, og vi har heller ingen likning med reelle løsninger (linje 2).

Vi får at vi ikke har en identitet, men en likning med to reelle løsninger.

Vi har ingen identitet og heller ingen reelle løsninger til likningen.

Vi har ingen identitet, men en likning med én reell løsning.

Her har vi en identitet.

Vi faktoriserer uttrykket på venstresiden:

$$ x^2-4x-3=\left(x-3\right)\left(x-1\right)$$

Vi må ha $$ a=-3 \wedge b=-1$$ eller omvendt for at likningen skal bli en identitet.

Vi regner ut uttrykket på høyre side:

$$ {\left(x+b\right)}^2=x^2+2bx+b^2$$

Dette gir oss at $$ b^2=9$$, som videre gir at $$ b=\pm \sqrt{b^2}=\pm \sqrt{9}=\pm 3$$.

Vi har at $$ ax = 2bx$$, noe som gir at

$$ a=2b=2·\left(\pm 3\right)=\pm 6$$

Dette gir løsningen

$$ a=6\wedge b=3 \vee a=-6\wedge b=-3$$

Vi regner ut uttrykket til høyre for likhetstegnet:

$$ \left(x+3\right)\left(ax+b\right)=a{x}^2+bx+3ax+3b$$

Dette gir følgende to likninger:

$$ \begin{array}{rcl}6 & =& 3b\\ b+3a & =& 8\end{array}$$

Vi løser den øverste likningen og får at $$ b=2$$. Vi setter det inn i den nederste likningen:

$$ \begin{array}{rcl}2+3a & =& 8\\ 3a & =& 6\\ a & =& 2\end{array}$$

Vi har at

$$ a=2\wedge b=2$$