Rasjonale funksjoner

Den vertikale asymptoten finner vi ved å sette nevneren i funksjonsuttrykket lik 0.

Vi får $x+2=0$ som gir $x=-2$.

Den vertikale asymptoten blir $x=-2$.

Den horisontale asymptoten finner vi ved å la $x$-leddet gå mot et uendelig stort positivt eller negativt tall. Konstantene i brøken betyr da minimalt, og vi kan skrive $f\left(x\right)=\frac{x}{x+2}\approx \frac{x}{x}=1$.

Horisontal asymptote blir  $y=1$.

I GeoGebra kan vi finne begge asymptotene ved kommandoen Asymptote(f).

Vi har $x+2=0$ som gir den vertikale asymptoten $x=-2$.

Den horisontale asymptoten finner vi ved å la $x$-leddet gå mot et uendelig stort positivt eller negativt tall. Konstantene i brøken betyr da minimalt, og vi kan skrive $g\left(x\right)=\frac{3x-1}{x+2}\approx \frac{3x}{x}=3$.

Horisontal asymptote blir $y=3$.

Vi har $2x+4=0$ som gir den vertikale asymptoten $x=-2$.

Den horisontale asymptoten finner du ved å la $x$-leddet gå mot et uendelig stort positivt eller negativt tall. Konstantene i brøken betyr da minimalt, og vi kan skrive $h\left(x\right)=\frac{2}{2x+4}\approx \frac{0}{2x}=0$.

Horisontal asymptote blir $y=0$ (altså $x$-aksen).

Vi har $x-1=0$ som gir den vertikale asymptoten $x=1$.

Her har vi i tillegg en skråasymptote $y=x+1$.

(Du finner eventuelle skråasymptoter i GeoGebra på samme måte som du finner vertikale og horisontale asymptoter.)

Vi bruker kommandoen $$ \text{ K}\left(\text{x}\right)=\mathrm{Funksjon}\left(\frac{0.49\text{x}+59}{\text{x}}, 0, 1400\right)$$ til å tegne funksjonen.

Når Morten ringer svært mye, vil den faste månedsavgiften bety svært lite, og kostnadene per minutt vil nærme seg 49 øre. Se linja $$ y=0,49$$ .

Vi skriver inn punktet $(300, K(300\left)\right)$. Se punkt $A$ på grafen. Prisen per minutt blir 69 øre når Morten ringer 300 minutter en måned.

Vi tegner linja $$ y=0,60$$. Vi finner skjæringspunktet mellom denne linja og grafen til $K$ med verktøyet "Skjæring mellom to objekt". Se punkt $B$ på grafen. Han må ringe 536 minutt dersom prisen per minutt skal bli 60 øre.

$$ K\left(300\right)=150·300+10 500=55 500$$.

Det koster 55 500 kr å produsere 300 sykkelhjelmer.

$$ \begin{array}{ccl}f\left(x\right)& =& \frac{150x+10500}{x}\\ & =& \frac{150x}{x}+\frac{10500}{x}\\ & =& \frac{10500}{x}+150\end{array}$$

Vi bruker kommandoen

 $$ \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{Funksjon}\left(\frac{10500}{\mathrm{x}}+150, 0, 500\right)$$

til å tegne grafen.

Med en totalkostnad på 84 300 kr produseres det 492 sykkelhjelmer.

$$ \begin{array}{rcl}84 300& =& 150x+10 500\\ 84 300-10 500& =& 150x\\ x& =& 492\end{array}$$

Dette gir en gjennomsnittskostnad på

$$ \begin{array}{rcl}f\left(492\right)& =& \frac{10 500}{492}+150\\ & =& 171,34\end{array}$$

Når det produseres hjelmer for 84 300 kr, koster hver hjelm 171 kr.

Vi kan ikke ha null i nevner, altså er funksjonen ikke definert for $$ x=-2$$.

Vi sjekker bruddpunktet $$ x=-2$$. Hvis dette skal være en asymptote, kan ikke $$ x=-2$$ være et nullpunkt for telleren også. Vi ser at $$ {\left(-2\right)}^2-4=4-4=0$$, altså har funksjonen ingen vertikal asymptote.

Vi sjekker om vi kan finne en fast verdi som funksjonsverdien nærmer seg hvis vi lar $$ x$$ gå mot uendelig.

$$ \frac{x^2-4}{x+2}\to \frac{x^2}{x}=x \mathrm{når} x\to \infty $$

Vi finner ingen fast verdi, altså har ikke funksjonen noen horisontal asymptote.

$$ \frac{x^2-4}{x+2}=\frac{\cancel{\left(x+2\right)}\left(x-2\right)}{\cancel{x+2}}=x-2$$.

Grafen blir ei rett linje med brudd for $$ x=-2$$.

GeoGebra markerer ikke bruddpunktet, så vi har markert det manuelt ved å legge på en tekstboks med et kryss.

Vi ser at vi har $$ x-2 $$ i nevneren. Dette uttrykket er null når $$ x=2$$, altså er funksjonen ikke definert for denne $$ x$$-verdien.

Hvis en rasjonal funksjon skal ha en horisontal asymptote, må vi finne en verdi som funksjonen går mot når $$ x$$ går mot pluss uendelig eller minus uendelig. Da ser vi bort fra konstantleddene i uttrykket:

$$ \frac{x^2-9}{x-2}\to \frac{x^2}{x}=x \mathrm{når} x\to \infty $$

Vi ser at vi her ikke finner noen fast verdi, altså har ikke funksjonen en horisontal asymptote.

Siden vi har $$ -5$$ i rest når vi utfører polynomdivisjonen, får vi uttrykket over.

$$ \begin{array}{l} \left(x^2-9\right):\left(x-2\right)=x+2\\ \underline{-\left(x^2-2x\right)}\\ 2x-9\\ \underline{-\left(2x-4\right)}\\ -5\end{array}$$

Vi ser at linja $$ y=x+2 $$ er en asymptote til $$ g\left(x\right)$$.