Article

Vektorer på koordinatform

Ved å plassere vektorer i et koordinatsystem kan vi beskrive dem ved tallkoordinater.

Det er ikke særlig effektivt å regne med vektorer når de er representert med piler. Da må vi for eksempel parallellforskyve vektorpilene for å finne summer og differanser.

Det er imidlertid mulig å beskrive vektorene med tall slik at vi kan regne oss fram til for eksempel summer, differanser og skalarprodukt. Det oppnår vi ved å plassere vektorene i et koordinatsystem.

Bilde av grafikkfeltet i GeoGebra. Det er tegnet inn en vektor a som går fem skritt til høyre og tre skritt opp. Det er tegnet inn en vektor a_x = 5 multiplisert med e_x som går fem skritt rett til høyre fra startpunktet til a-vektor. Det er tegnet inn en vektor som går tre skritt rett opp fra endepunktet til a_x og som ender i endepunktet til a. enhetsvektorene er tegnet inn fra origo. Skjermutklipp. — Image: Tove Annette Holter / CC BY-SA 4.0

I koordinatsystemet på figuren har vi plassert to vektorer med utgangspunkt i origo. Vektoren $\vec{e_{x}}$ går fra origo til punktet $(1, 0)$ , og $\vec{e_{y}}$ går fra origo til punktet $(0, 1)$ .

Disse vektorene har lengde 1, er parallelle med henholdsvis $x$ -aksen og $y$ -aksen og står normalt på hverandre. Vi kaller dem enhetsvektorer.

I koordinatsystemet har vi også tegnet $\vec{a}$ . Vi ser at vi kan skrive $\vec{a}$ som en sum av de to vektorene $\vec{a_{x}}$ og $\vec{a_{y}}$ .

$\vec{a} = \vec{a_{x}} + \vec{a_{y}} = 5 \cdot \vec{e_{x}} + 3 \cdot \vec{e_{y}}$

Alle vektorer kan på tilsvarende måte skrives som en kombinasjon av enhetsvektorene.

Når vi skal tegne $\vec{a}$ , kan vi starte hvor som helst i koordinatsystemet og så gå 5 enheter mot høyre og 3 enheter oppover for å finne vektorens endepunkt. Når tallene 5 og 3 er kjent, er vektoren bestemt. Vi innfører en forenklet skrivemåte for $\vec{a}$ :

$\vec{a} = [5, 3]$

Denne skrivemåten ligner på måten punkt blir angitt på, men det er en viktig forskjell. For vektorer bruker vi klammeparenteser mens vi for punkt bruker vanlige parenteser.

$(5, 3)$ kalles punktkoordinater og angir punktet som har $x$ -koordinat lik 5 og $y$ -koordinat lik 3.

$[5, 3]$ kalles vektorkoordinater, og det er det samme som vektoren $5 \cdot \vec{e_{x}} + 3 \cdot \vec{e_{y}}$ .

b-vektor som pil i koordinatsystem. Illustrasjon. — Image: Tove Annette Holter / CC BY-SA 4.0

Eksempel

$\begin{array}{rcl} \vec{b} & = & - 2 \cdot \vec{e_{x}} + (- 3) \cdot \vec{e_{y}} \\ = & [- 2, - 3] \end{array}$

Når vi skal tegne $\vec{b}$ , kan vi starte hvor som helst i koordinatsystemet og så gå 2 enheter mot venstre og 3 enheter nedover for å finne vektorens endepunkt.

Definisjon

Alle vektorer kan skrives som en vektorsum av enhetsvektorer. Dette gir grunnlag for innføring av vektorkoordinater.

$[x, y] = x \cdot \vec{e_{x}} + y \cdot \vec{e_{y}}$

Vi bruker klammeparenteser for å betegne en vektor mens vi bruker vanlige parenteser for å betegne et punkt.

I GeoGebra brukes ikke klammeparenteser. Her kan $(5, 3)$ angi både en vektor og et punkt. Bruker du stor bokstav og skriver $A = (5, 3)$ , får du punktet. Bruker du liten bokstav og skriver $v = (5, 3)$ , får du vektoren $[5, 3]$ med start i origo. GeoGebra bruker også skrivemåten $(\begin{matrix} 5 \\ 3 \end{matrix})$ for vektorer, som vi ser av bildet nedenfor.

Koordinatsystem med et punkt og en vektor som begge har koordinatene 5 og 3. Skjermutklipp. — Vektor og punkt med de samme koordinatene. Image: Olav Kristensen / CC BY-SA 4.0

Video om vektorer på koordinatform

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0