Task

Skalarproduktet til vektorer gitt på koordinatform

Her får du jobbe med oppgaver om skalarproduktet på koordinatform.

4.2.30

Vi har gitt vektorene $[3, 2] og [1, 4]$ .

a) Skriv vektorene uttrykt med enhetsvektorene.

Løsning

$\begin{array}{l} [3, 2] = (3 \vec{e_{x}} + 2 \vec{e_{y}}) \\ [1, 4] = (\vec{e_{x}} + 4 \vec{e_{y}}) \end{array}$

b) Vis at $(3 \vec{e_{x}} + 2 \vec{e_{y}}) \cdot (\vec{e_{x}} + 4 \vec{e_{y}})$ kan skrives som $3 {\vec{e_{x}}}^{2} + 14 \vec{e_{x} \cdot} \vec{e_{y}} + 8 {\vec{e_{y}}}^{2}$ .

Løsning

$\begin{array}{rcl} (3 \vec{e_{x}} + 2 \vec{e_{y}}) \cdot (\vec{e_{x}} + 4 \vec{e_{y}}) & = & 3 \vec{e_{x}} \cdot \vec{e_{x}} + 12 \vec{e_{x}} \cdot \vec{e_{y}} + 2 \vec{e_{y}} \cdot \vec{e_{x}} + 8 \vec{e_{y}} \cdot \vec{e_{y}} \\ = & 3 {\vec{e_{x}}}^{2} + 14 \vec{e_{x} \cdot} \vec{e_{y}} + 8 {\vec{e_{y}}}^{2} \end{array}$

c) Vis at skalarproduktene ${\begin{array}{rcl} \vec{e_{x}} \end{array}}^{2} = \begin{array}{rcl} \vec{e_{x}} \end{array} \cdot \begin{array}{rcl} \vec{e_{x}} \end{array} og {\begin{array}{rcl} \vec{e_{y}} \end{array}}^{2} = \begin{array}{rcl} \vec{e_{y}} \end{array} \cdot \begin{array}{rcl} \vec{e_{y}} \end{array}$ begge er lik 1.

Løsning

Vinkelen mellom to like vektorer er 0º. Lengden av enhetsvektoren er 1.

Vi får da:

$\begin{array}{rcl} \begin{array}{rcl} \vec{e_{x}} \end{array} \cdot \begin{array}{rcl} \vec{e_{x}} \end{array} & = & |\begin{array}{rcl} \vec{e_{x}} \end{array}| \cdot |\begin{array}{rcl} \vec{e_{x}} \end{array}| \cdot \cos (∠ (\begin{array}{rcl} \vec{e_{x}} \end{array}, \begin{array}{rcl} \vec{e_{x}} \end{array})) \\ = & 1 \cdot 1 \cdot \cos 0 ° \\ = & 1 \cdot 1 \cdot 1 \\ = & 1 \\ \begin{array}{rcl} \vec{e_{y}} \end{array} \cdot \begin{array}{rcl} \vec{e_{y}} \end{array} & = & |\begin{array}{rcl} \vec{e_{y}} \end{array}| \cdot |\begin{array}{rcl} \vec{e_{y}} \end{array}| \cdot \cos (∠ (\begin{array}{rcl} \vec{e_{y}} \end{array}, \begin{array}{rcl} \vec{e_{y}} \end{array})) \\ = & 1 \cdot 1 \cdot \cos 0 ° \\ = & 1 \cdot 1 \cdot 1 \\ = & 1 \end{array}$

d) Vis at skalarproduktet $\begin{array}{rcl} \vec{e_{x}} \end{array} \cdot \begin{array}{rcl} \vec{e_{y}} \end{array} = 0$ .

Løsning

Vinkelen mellom enhetsvektorene er 90^o. Vi får da:

$\begin{array}{rcl} \vec{e_{x}} \cdot \vec{e_{y}} & = & |\vec{e_{x}}| \cdot |\vec{e_{y}}| \cdot \cos (∠ (\vec{e_{x}}, \vec{e_{y}})) \\ = & 1 \cdot 1 \cdot \cos 90 ° \\ = & 1 \cdot 1 \cdot 0 \\ = & 0 \end{array}$

e) Bruk det du har funnet i c) og d), til å bestemme skalarproduktet fra b).

Løsning

$\begin{array}{rcl} (3 \vec{e_{x}} + 2 \vec{e_{y}}) \cdot (\vec{e_{x}} + 4 \vec{e_{y}}) & = & 3 {\vec{e_{x}}}^{2} + 14 \vec{e_{x} \cdot} \vec{e_{y}} + 8 {\vec{e_{y}}}^{2} \\ = & 3 \cdot 1 + 14 \cdot 0 + 8 \cdot 1 \\ = & 11 \end{array}$

f) Kan du på bakgrunn av det du har gjort i denne oppgaven, foreslå en formel for skalarproduktet mellom to vektorer gitt på koordinatform?

Tips

Legg merke til at det midterste leddet forsvinner fordi det blir multiplisert med 0. Fant du ikke ut av det? Sjekk teoriartikkelen!

4.2.31

Vi har gitt punktene $A (1, 3), B (4, 2), C (2, 2) og D (3, 5)$ .

a) Uttrykk vektorene $\vec{A B}, \vec{A C}, \vec{A D} og \vec{C D}$ på koordinatform.

Løsning

$\begin{array}{l} \vec{A B} = [4 - 1, 2 - 3] = [3, - 1] \\ \vec{A C} = [2 - 1, 2 - 3] = [1, - 1] \\ \vec{A D} = [3 - 1, 5 - 3] = [2, 2] \\ \vec{C D} = [3 - 2, 5 - 2] = [1, 3] \end{array}$

b) Undersøk om noen av vektorene står vinkelrett på hverandre.

Løsning

Dersom to vektorer står vinkelrett på hverandre, er skalarproduktet likt 0. Vi finner de ulike skalarproduktene:

$\begin{array}{l} \vec{A B} \cdot \vec{A C} = [3, - 1] \cdot [1, - 1] = 3 \cdot 1 + (- 1) \cdot (- 1) = 3 + 1 = 4 \neq 0 \\ \vec{A B} \cdot \vec{A D} = [3, - 1] \cdot [2, 2] = 3 \cdot 2 + (- 1) \cdot 2 = 6 - 2 = 4 \neq 0 \\ \vec{A B} \cdot \vec{C D} = [3, - 1] \cdot [1, 3] = 3 \cdot 1 + (- 1) \cdot 3 = 3 - 3 = 0 \\ \vec{A C} \cdot \vec{A D} = [1, - 1] \cdot [2, 2] = 1 \cdot 2 + (- 1) \cdot 2 = 2 - 2 = 0 \\ \vec{A C} \cdot \vec{C D} = [1, - 1] \cdot [1, 3] = 1 \cdot 1 + (- 1) \cdot 3 = 1 - 3 = - 2 \neq 0 \\ \vec{A D} \cdot \vec{C D} = [2, 2] \cdot [1, 3] = 2 \cdot 1 + 2 \cdot 3 = 2 + 6 = 8 \neq 0 \end{array}$

Vi ser at to av disse skalarproduktene blir lik 0. Vi har altså at $\vec{A B} ⊥ \vec{C D} og \vec{A C} ⊥ \vec{A D}$ .

c) Finn en vektor som står vinkelrett på $\vec{B D}$ .

Løsning

Vi har at $\vec{B D} = [- 1, 3]$ .

Vi har generelt at vektorer på formen $[x, y] og [y, - x]$ er parallelle. Dette bruker vi:

$\begin{array}{rcl} x (\vec{B D}) & = & - 1 \\ - x (\vec{B D}) & = & 1 \\ y (\vec{B D}) & = & 3 \end{array}$

En vektor som står vinkelrett på $\vec{B D}$ , er altså $[3, 1]$ .

d) Et punkt E ligger på y-aksen slik at $\vec{E B} ⊥ \vec{A D}$ . Finn koordinatene til E.

Løsning

Vi har at

$\begin{array}{rcl} \vec{A D} & = & [2, 2] \\ E & = & (0, y) \\ \vec{B E} & = & [0 - 4, y - 2] \\ = & [- 4, y - 2] \end{array}$

Vi vet at for to vektorer som står normalt på hverandre, er skalarproduktet lik 0:

$\begin{array}{rcl} \vec{A D} \cdot \vec{B E} & = & 0 \\ [2, 2] \cdot [- 4, y - 2] & = & 0 \\ 2 \cdot (- 4) + 2 (y - 2) & = & 0 \\ - 8 + 2 y - 4 & = & 0 \\ 2 y & = & 12 \\ y & = & 6 \end{array}$

Punktet E har altså koordinatene (0,6).

4.2.32

Vi har gitt vektorene $\vec{a} = [4, t], \vec{b} = [1, 5]$ .

a) Uttrykk $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ved $t$ .

Løsning

$\begin{array}{rcl} \vec{a} \cdot \vec{b} & = & [4, t] \cdot [1, 5] \\ = & 4 \cdot 1 + t \cdot 5 \\ = & 5 t + 4 \end{array}$

b) Bestem $t$ slik at $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ .

Løsning

$\begin{array}{rcl} \vec{a} ⊥ \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \\ \vec{a} \cdot \vec{b} & = & 0 \\ 5 t + 4 & = & 0 \\ 5 t & = & - 4 \\ t & = & - \frac{4}{5} \end{array}$

4.2.30

4.2.31

4.2.32

Rules for use of text "Skalarproduktet til vektorer gitt på koordinatform"