Kvadratrøtter

Vet du at kvadratroten til 4 er 2?

Eksempel

$\sqrt{9}=3 \mathrm{fordi} 3·3=9$ og fordi $3$ ikke er negativt.

Merk at også $\left(-3\right)·\left(-3\right)=9$, men $-3$ er et negativt tall og er dermed ikke definert som kvadratroten av $9$.

Ved å bruke definisjonen på kvadratrøtter får vi at

$\sqrt{4}·\sqrt{9}=2·3=6$

Vi får samme svar hvis vi først multipliserer og så trekker ut roten

$\sqrt{4}·\sqrt{9}=\sqrt{4·9}=\sqrt{36}=6$

Dette gjelder også ved divisjon av kvadratrøtter.

Ved å bruke definisjonen på kvadratrøtter blir

$\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{9}}=\frac{6}{3}=2$

Hvis vi først dividerer og så trekker ut roten, får vi

$\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{9}}=\sqrt{\frac{36}{9}}=\sqrt{4}=2$

Vi kan vise at dette gjelder generelt.

Bevis for multiplikasjonsregelen

$\begin{array}{rcl}{\left(\sqrt{a}·\sqrt{b}\right)}^2& = & \left(\sqrt{a}·\sqrt{b}\right)·\left(\sqrt{a}·\sqrt{b}\right)\\ & & \\ & =& \sqrt{a}·\sqrt{b}·\sqrt{a}·\sqrt{b}={\left(\sqrt{a}\right)}^2·{\left(\sqrt{b}\right)}^2\\ & & \\ & =& a·b\end{array}$

Vi har altså at

$a·b={\left(\sqrt{a}·\sqrt{b}\right)}^2$

Per definisjon er da

$\sqrt{a·b}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$

Prøv å bevise divisjonsregelen på samme måte!

Du må ofte bruke reglene motsatt vei. Da bør du, hvis det er mulig, skille ut kvadrattallene, de tallene som gir heltallig svar når du tar kvadratroten av dem.

Eksempel

$\begin{array}{rcl}\frac{\sqrt{18}}{3}& = & \frac{\sqrt{9·2}}{3}=\frac{\sqrt{9}·\sqrt{2}}{3}\\ & & \\ & =& \frac{3·\sqrt{2}}{3}=\sqrt{2}\end{array}$

Eksempel

$\begin{array}{rcl}& & 3\sqrt{50}-2\sqrt{32}\\ & & \\ & = & 3\sqrt{25·2}-2\sqrt{16·2}\\ & & \\ & =& 3·\sqrt{25}·\sqrt{2}-2·\sqrt{16}·\sqrt{2}\\ & & \\ & =& 3·5·\sqrt{2}-2·4·\sqrt{2}\\ & & \\ & =& 15\sqrt{2}-8\sqrt{2}\\ & & \\ & =& 7\sqrt{2}\end{array}$